수열의 입장에서 보면 산술평균은 등차수열의 중간항으로 생각되어질 수 있다. 가령 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... 처럼 4씩 증가하는 등차수열을 보면, 각 항은 자신의 바로앞뒤에 있는 두항의 산술평균이된다.


등차수열과 마찬가지로 기하순열(geometric sequence)의 각 항은 앞뒤항의 일종의 중간치로 볼 수 있는데, 이를 기하평균이라고 부른다. 가령 1, 3, 9, 27, 81, ...   처럼 3배씩 뛰는 기하순열에서 3을 1과 9의 기하평균이라고 부르고, 9를 3과 27의 기하평균이라고 부르는 식이다. 산술평균이 두값을 더해서 2로 나누는것과는 달리, 기하평균은 두값을 곱하고 루트를 씌우면 된다.

마찬가지로 등차순열을 분수꼴로 뒤집어서 조화수열(harmonic seq.) 이라는 것을 만들면, 위와 똑같은 컨셉으로 조화평균을 정의할 수 있다. 가령, 앞에서 예로든 등차수열, 1, 5, 9, 13, 17, 21 , ... 에 대응되는 조화수열은 1, 1/5, 1/9, 1/13, 1/17, 1/21 , ... 이 되는데, 이때 1/13 을 1/9 과 1/17 의 조화평균이라고 부른다.


산술평균과 기하평균을 작도의 관점에서 생각해보자.

두개의 서로다른 길이를 갖는 선분AB 와 선분 BC 를 생각하자. 두 선분을 나란히 붙히고, 중선을 긋고 원을 그리면, 쉽게 두 선분의 평균을 작도할 수 있다.

한편 기하평균은, B점에서 수선을 그어, 원과 만나는 길이가 된다.

위의 그림에서 AB 의 길이를 줄이고 그만큼 BC 의 길이를 늘리면, 결과적으로 점B 의 위치만 이동하게 되는데, 그러한 이동에 대해서 산술평균 EF 는 변함이 없고, 기하평균 BG 만 변하게 된다.

그림으로 부터 "산술평균 ≥ 기하평균" 의 유용한 부등식을 확인하게 된다.

양자역학계의 상태들은 힐버트 스페이스의 벡터들이고, 옵저버블들은 그 스페이스의 허미션 연산자들이며, 계의 대칭성은 유니타리 연산자이고, 측정은 오소고날 프로젝션이다.

질량이 m 인 직각삼각형 쇄기(wedge)형의 나무블락이 있다. 그것을 마찰이 없는 바닥위에 놓고, 질량이 M 이고 반지름이 R 인 구(sphere)를 그 위에 구르게 한다. 이때 구가 빗면위를 미끄러짐(slipping)없이 구른다고 하자.

일반용 , 공학용에 단위 컨버전 기능이 추가된 버전

invalid-file

오늘 학교로 돌아오던 예비군 호송버스에 탑승해 있던 1人

충돌순간 전면유리가 와르르 무너져 내리는 장면을 목격하는 공포에 이어, 곧바로 차가 돌아가면서 전복되려고 할 때의 극도의 공포.

어떤 베이시스에 대해, 그것의 듀얼베이시스는 각 베이시스 벡터들의 계수로 가는 맵이라고 했다.

기하학적 느낌을 얻기위해, 유클리디안 R2 스페이스부터 생각하도록 한다.

어떤 임의의 베이시스 β = { e1 , e2 } 가 주어져 있다고 하자. 이것은 직교도 아니고 노말라이즈드 되어있지도 않다. 그냥 제멋대로인 베이시스라고 하자.


이제 임의의 벡터는 β 베이시스 상에서 전개하면, 그 계수에 의해 레프리젠트 된다. 임의의 벡터 A 에 대해, e1 의 계수를 A1 , e2 의 계수를 A2 라고 하자.


우리가 원하는 맵은 A 를 넣으면, A1 이 나오는 맵 f1 과, A를 넣으면 A2 가 나오는 맵 f2 이다.


맵핑의 연산을 내적으로 고정하고 다음과 같이 셋팅하자.

e1* 는 A 에 내적하면 e1 의 계수를 주고, e2* 는 A에 내적하면 e2 의 계수를 주는 벡터.

오소노말일때는 어떤 녀석들이 그렇게 만드는지 바로 눈에 보인다. 그리고 그것은 우리가 오소노말베이시스를 선호하는 이유이기도 하다.

아무튼 일반적인 베이시스에 대해, 다음과 같이 된다.

1. 선형조합 계수와 재료배합의 레서피


유클리디안 R3 스페이스를 생각하자. 그리고 임의의 어떠한 베이시스가 있다고 하자. 그 베이시스는 같은 공간내의 벡터3개로 이루어져 있을것이다. 일반성을 갖기위해 오소노말하지도 오소고날하지도 않다고 하자.


이제 이 벡터공간내의 임의의 벡터는 이 베이시스들의 선형조합으로 표현된다.

자, 그렇다면 현재의 상황, 즉 베이시스가 고정된 상황에서, 각각의 벡터를 표현하는 가장 핵심적이고 본질적인 정보는 무엇일까?

그리피스의 Introduction to Quantum Mechanics 에 보면, 브라 벡터가 켓 벡터의 듀얼 베이시스라는 말이 나오는데, 이것은 켓이 오소노말임을 전제하고 한 말이다. 단지 헤르미트 컨주게이트 했다고 듀얼이 되는건 아니라는 말이다. 근데 뭐 어차피, 양자역학에서 고려하는, 그러니까 웨이브 펑션이 "살고있는" 힐베르트 스페이스는 베이시스가 모두 오소노말이므로 어차피 뭐 상관은 없다.

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사실, 듀얼 스페이스는 작년 여름부터 포스팅하려고 목록까지 만들어 놓고 벼르고 있었는데, "수학은 항상 원론부터 시작해야 합니다" 라는 모 교수님의 말씀처럼 지극히 기초적인 부분부터 이야기를 시작하려고 하다보니, 지나치게 많은 노동과 시간이 요구되었고, 결국 중간에 쓰다마는 일이 많아졌다. 그래서 결국은 내가 감동을 받았던 그부분에 대한 이야기는 시작도 해보지 못하고 얼버무리게 되는 일이 많아졌다. ( 예로, 텐서만 봐도 ㅡㅡ;;; ...,  뭐 언젠간 쓰겠지만... )

암튼, 그런데 이렇게 중도에 그만두는 일이 많아지면서, 가끔 포스팅의 목적에 대한 회의가 들곤한다. 사실 그것은 어떠한 학문적 감동에 대한 회상이고, 기본적으로 그것은 나 자신을 위한 것이다. 물론, 부수적으로 불특정다수와의 공감을 목적으로 하기도 하지만... 뭐, 아무튼 그래서, 그럴바에야 그냥 "중얼거림"의 형식이 가장 마음도 편하고 자연스럽지 않겠나 라는 결론을 내렸다. 누가 알아듣거나 말거나 말이다...

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일단 정의부터 살펴보자. 아래는 Friedberg, Linear Algebra, 4th ed. 에서 발췌했다.

리니어 트랜스포메이션 스페이스를 다음과 같이 정의하자.

Note. L(V,W) 도 벡터스페이스가 된다. 이것은 우리가 선형 대수학, 다시말해, 대수학 중에서 리니어한 분야를 공부하는데 왜 자꾸 행렬을 공부하는가에 대한 대답이기도 하다.

이제, 듀얼 스페이스를 다음과 같이 정의한다.

Note. 달리말하면, V 위에서의 Linear Functional 들의 공간이다.

듀얼 베이시스를 정의하기에 앞서, Coordinate Function 을 아래와 같이 정의하자.

아주 단순한 맵이다. 참고로 [x]β 라고 쓴것은 이책에서 자주 쓰이는 노테이션으로, 벡터 x 의 β 베이시스에 대한 컴포넌트 벡터를 말한다.

Note. 이 맵이 Linear Functional 임에 유의하자.

이제 위의 노테이션을 이용해서, 듀얼 베이시스를 정의하자.

이것으로 듀얼 스페이스와 듀얼 베이시스에 대한 정의는 끝났다.

근데, 이것이 정말로 듀얼 스페이스의 베이시스가 되는가 에 대한 의심을 갖을 수도 있을 것이다. 일단 듀얼 스페이스의 디멘션이 원래의 벡터 스페이스와 같다는 것 부터 짚고 넘어가자. (물리적 디멘션을 말하는게 아님.)

pf ) dim(V*) = dim(L(V,F)) = dim(V)dim(F) = dim(V) x 1 = dim(V)  ,   ∴ dim(V*) = dim(V)

그러니까 듀얼 베이시스가 원래 베이시스와 개수가 같은건 메익 센스 하다고 하겠다. 또한 각 f_i 들이 Linear Functional on V 니까, V* 의 원소들인것도 맞다.


아래의 정리는, 앞에서 정의한 듀얼 베이시스가, 듀얼스페이스에 대해서 정말로 베이시스가 된다는 것과, 동시에 그것이 유니크함을 보장해준다. 그니까 믿고 써도 좋다는 말씀.

뭐, 데피니션이 여러개 등장했지만, 별거 없다. 단지 여기선, 듀얼 스페이스와 듀얼 베이시스를 정의하려고 도입한 것뿐이다.

중요한 건, 이제 우리는 임의의 벡터스페이스에 대해 새 베이시스들로, 듀얼을  구성할 수 있다는 것이다.

일단 졸려서 안되겠다. 정의를 소개한데에 만족하기로 하고 ... 다음번 포스팅에서 그 물리적 의미를 살펴보도록 하겠다.

책을 스캔해서 올리는게, 생각했던것보다 더 귀찮다 ㅡㅡ  분명 데자부 파일 있었는데 어디로 간거지...

선형대수를 아예 접해본 적이 없는 사람들을 위해, 위의 정의들에 해설을 덧붙이는 것도 좋겠지만, 어차피 그런 상황이라면 앞으로의 논의가 별 감흥을 줄 것 같진 않다.

일전에 정수론 시험을 보는데 시험시간 1시간 15분에 문제가 증명문제 다수 포함해서 40개가 나온적이 있었다.

한문제 증명할려면, 암기를 했다쳐도, 광속으로 써내려간다쳐도, 5분은 족히 걸리는 정리들이 많은데, 1시간에 40문제는 너무 심하지 않은가. 시험중 여기저기서 불만섞인 한숨이 터져나왔고, 급기야 질문이 나왔다. 시험시간이 너무 부족하다고. 그러자 선생님께서는 어차피 다 똑같은 조건 아닌가요? 아는것만 골라서 푸세요. 라고 하더라는...


어차피 다 똑같다 !?...  난 속으로 참 천박한 사고방식이라고 생각했다. 물론 나와 생각이 다르다고 해서 이런 표현을 쓰는데 마음이 편한건 아니다. 하지만, 솔직하게 그런생각이 들었던 것은 사실이다. 아...강사수업은 듣는게 아닌데... 하는 후회가 밀려왔다. 실제로 나는 강사수업은 별로 선호하지 않는데, 시간표상 어쩔수 없이 들어야 할 때가 있다.


만약, "그것도 다 실력이다" 라고 말한다면, 뭔가 세상을 달관한것과도 같은 말투에, 나는 순간 할말을 잃을것이다.그러나 저 말을 곰곰히 곱씹어 보면, "어차피 세상 사는게 다 그런거지" 와 별반 다르지 않다는 것을 알수있다. 실력이라는 애매한 단어하나로 쉽게 표현하기엔 사람이 갖는 스펙트럼이 너무 넓은거 아닌가 하는 생각도 들고...적어도 대학이라면 좀 진지한 척이라도 해야하는거 아닌가 하는 생각도 든다.


이상하게, 수업을 듣다보면 강사님수업하고 교수님수업의 차이를 자꾸 느끼게 된다. 물론 지극히 개인적인 경험에서 오는 판단이겠지만, 아무튼 나는 확실히 그렇게 느낀다. 교수님들의 수업이나 시험에서 느껴지는 포스같은것이 이상하게 강사분들 수업에서는 느끼기가 힘들다. 수업의 깊이는 말할 것도 없고, 시험문제도 동일한 파워로 다가오질 않고, 이상하게 좀 가볍다. 왠지 동네 학원에서 시험 보는 듯한 느낌이 들때가 있다.


매우 대비되는 태도 두가지를 떠올려보면....

1. 시험성적분포가 적당하게 분포를 이루어줬으면 좋겠다는, 강사님의 마음. 그래서 다들 시험 잘보면 좀 곤란하시다는 뭔가에 쫓기는 듯한 입장. 
-> 이해는 하지만, 그래도 결과적으로  "평가를 위한 평가" 적인 측면이 있다.


2. A 받을 실력있는 학생이 없으면, A는 한명도 안나간다. 전원 실력이 떨어지면 전원 F다. 그러나 전부 실력이 출중하다면 내가 학적과하고 싸워서라도 전원 A를 주겠다 라는 교수님의 권위 넘치는 말씀.

-> 뭔가 우러러보게 되는 마음이 된다.


물론 이것은 편견이다. 그리고 이런류의 편견은 내가 혐오하는 부류의 편견이다. 그럼에도 불구하고, 자꾸 이런 느낌을 지울수가 없다. 일종의 반복경험에 따른 스트레스 때문이라고 생각한다.



아 갑자기,  "어차피 다 똑같잖아" 하니까 생각나는게 있다.


논리적 성향이 강한 학문에서 많이 나타나는 성향중에, 문제를 해결할때, 문제의 바운더리를 고려하는 습관이 있는데, 일종의 극단적인 케이스를 미리 고려해 봄으로써, 절대로 불가능한 기본 전제를 얻고 시작하는 방법이다. 극단적인 케이스를 고려하는 습관은, 매우 쓸모있는 방법이긴 하지만, 간혹, 사람들과의 대화에 문제를 유발시키기도 한다. 어떤 면에서, 일상언어는 모호함 그 자체이기 때문이다.

그것은 또한 사람을 좀 시니컬하게 만들기도 한다. "어차피 다 똑같은거면 달리기로 하지 그래요? " 따위의 불손한 마음이 그것이다. 이러한 종류의 시니시즘은, 사람들이 주로 범하는 전건부정의 오류나 후건긍정의 오류와는 다른 얘기이다. 오히려 이러한 오류에 더 민감해진다.

A: 사랑하면 예뻐진대.
B: 참내, 그럼 예쁜애들은 다 사랑하는거냐?

B같은 사람과는 논리적인 말을 섞고싶지않은 마음이 생길수 있다.





그건 그렇고.... 하려던 얘긴 이게 아닌데 ....


그러니까...  오늘 시험이 정말 훈훈했다는 기억을 꼭 남겨높고 싶었던 거다.


시험문제 4개에 시험시간은 자그마치 4시간 !!!!!


" 이원종교수님 존경합니다. 수업중에도 존경심이 샘솟을 때가 많았지만, 오늘은 특히 존경스러웠습니다.
저녁 안먹은 사람들 빵사다주시고 시험보라고 하실때는 정말 감동적이었습니다. "



아~~ 문제 4개에 4시간이라... 이 얼마나 감동적인가.


사실 문제당 대략 1시간 이라는 시간은 나에게 있어서는 적정시간이다. 실제로 숙제를 할때 한문제에 한시간은 훌쩍 넘길때가 많다. 시험문제가 적어도 숙제급 문제라면 문제당 1시간은 적절하다는 생각이 든다.


뭐 사람마다 생각이 다른거니까 옳다 그르다 할수는 없는 문제고, 그냥 개인적으로, 시험을 잘보고 못보고를 떠나서, 1시간에 40문제짜리 시험하고, 4시간에 4문제 짜리 시험하고 놓고 볼때, 후자가 더 나의 성향에 맞다는 얘기다.


그나저나 오늘 하루 참 빡세다. 오후 1시에 양자수업, 4시에 해석수업, 7시부터 11시까지 역학중간고사( 역학은 재수강이라 큰 부담은 없지만..). 아 게다가, 내일 오전 10시 (아 오늘이구나) 까지 양자숙제...  지금부터 하면, 한 4시쯤에나 스쿠터달려서 내고 올수 있겠다. ....새벽엔 추운데...

역학적 평형점에는 안정한 평형점(stable equilibrium point) 과 불안정한 평형점(unstable equilibrium point)이 있다. 우리가 원하는 상태가 안정적 평형점인가 불안정한 평형점인가는 매우 중요한 테마이다.


그것이 안정적 평형점이라면 그 근처에만 갖다 놓아도 지가 알아서 그점으로 수렴해가는 경우도 많고, 또한 한번 도달하면, 주위에서 자잘한 간섭을 받더라도 그 상태를 유지하는것이 비교적 안정적이다.


이것은 때때로 직접적으로 그 일이 쉬운일인가 아닌가를 판가름하게도 해주는데, 가령 연필을 똑바로 세우는것이 상당히 어려운 이유를 말해준다. 그것이 설령 어느순간 평형을 이루더라도 주위의 간섭에 쉽게 교란되어 평형이 깨지게 된다. 불안정 평형에 관한 흥미로운 정리로는 "언쇼정리"가 있다. 대략, 정지 전하들을 적당히 분포시켜서 어떤 전하를 안정적 평형점에 가둘 생각은 꿈도 꾸지 말라는 정리 정도 되겠다. 그래서 전하를 공간상에 안정적으로 가둘때 자기장을 쓴다.

나는 학교가 끝나고 집에 오는 길에, 자주 이런짓을 하곤 했는데, 이게 생각보다 쉽진 않다.

원통위에 큐브가 서있다. 마찰은 충분히 커서 미끄러짐은 없다고 가정한다. 위의 평형이 안정적 평형이 되기 위한 조건을 a 와 R 사이의 관계식으로 구해라.

만약, 당신이 저 원기둥위에 서있는 큐브라면, 원기둥의 두께가 두꺼운게 안정감이 있겠는가, 가는게 안정감이 있겠는가. 우리의 답은 직관에 비추어서도 리즈너블해야 할 것이다. 참고로 답은 심하게 간단하다. ( 퀴즈출처 : 마리온 역학 연습문제 )

전하 q로 대전된 반지름 R 인 도체구의 북반구와 남반구 사이의 척력은 ?



대전된 도체상의 알짜전하들은 서로 척력을 작용할 것이다. 구형대칭이 있으므로, 각각의 미소전하가 받는 힘은 방사형으로 퍼져나가는 방향일껀데, 북반구 남반구로 계산하라고 했으므로, 한축방향에 대한 성분만 고려하면 된다.


정답은  F =   q^2   /   (  n π ε0 R^2  )  꼴로 나온다.    [  참고  :   두 점전하 q1, q2 사이의 쿨롱힘 F = q1 q2 / ( 4 π ε0  r^2  )  ]



정답체크페이지 :  http://sciphy.tistory.com/627  ( 답이 F = q^2 /  n π ε0 R^2  꼴로 정리 될때, n 이 비밀번호 )

어디에서든 누군가 피아노를 치는걸 듣게 되면 잠시라도 멈추어서게된다.