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이 문제의 가정.
가정1. 바닥의 마찰은 없다.
가정2. 줄의 질량은 없다, 늘어나거나 뭐 그런것도 없다.
아래와 그림과 같이 표현된 "단순화된 모델"을 생각하자.
중력가속도는 아래방향으로 g 일정한 걸로 계산한다.
도르래 및 줄의 질량은 무시한다.
좌우 균형이라던가 그밖의 다른 관심없는 내용들은 다 무시한다. (제..제발... 좀...)
문제.
그림과 같이, 질량 M 인 사람이 땅위에 놓인 질량 m ( 단, M>m ) 인 판자위에서, 줄을 힘 F로 "수직으로 아래쪽으로" 잡아당긴다.
1) F로 당겼음에도 불구하고, 아무런 움직임도 없을때, 판자가 지면에 작용하는 힘의 크기 n을 구하라.
2) F를 증가시켜, 판자와 사람이 위쪽으로 같은 가속도 a (>0) 를 가지고 가속되고 있다.
이때, 줄의 장력 T와 사람이 판자에 작용하는 힘의 크기 N을 구하라.
시간여행을 주제로 한 영화는 참 많고, 참 재밌는 영화도 많은데, 이거는 별로 재미가 없다.
공상과학적인 영화라는 느낌보다, 시간여행자의 고충 상담을 듣는 것 같았다. 몇 몇 재밌는 장면이 있긴했지만 역시 전반적으로 루즈하다.
제일 큰 건, 너무 예상가능하다는것. (predictable)
바이크 등록 절차.
1. 책임보험(=의무)
차량운전자 보험이랑 세트로 되는거 있나 물어봤더니, 그런건 없고 새로 가입해야하는데 새로 가입하려니 보험비가 보통 45만원을 넘더라는...
인터넷에 바이크 보험만 대행으로 해주는 곳이 많아서 그곳 통해서 제일 싸구려상품(대인 1억 + 대물 1천만원)을 LIG 에서 가입함.
27만 얼마. 원래 이거보다 초큼 쌌는데, 작년 말엔가 신호위반 딱지뗀거있네요 이러더니 쵸큼 올라갔음.
사실 그때 신호위반 딱지는 낚시 단속에 걸린거임. 뭐 잘못한거긴 하지만 그래도 ㅠㅠ
아, 참고로 바이크 보험은 1년 단위로 한번 납부하며, 매년 갱신해야 하고, 나이에 따라 책정가격이 다름. 일반적으로 해마다 올라간다고 들은거 같은데, 왜 그런지 이해는 못하고 있음. 반대로 알고잇나 ?
2. 제작증, 보험확인증, 신분증 들고 주민등록상 주소지의 구청 이나 읍사무소 따위로 감.
신차 구입의 경우 오토바이 서류는 달랑 1 장 . '제작증' , 중고로 구입했을시에는 무슨 양도하는 서류하고 이전 소유자의 등록 폐지증인가 뭔가 해서 암튼 서류가 3장이라고 함.
오토바이 관련 행정은 정말 최악인게, 아무 구청이나 가서 그냥 등록해주면 좋으련만, 직접 주민등록지로 가야됨. 나는 주민등록지가 경기도 여주라서 직접 여주 읍사무소에 갔다왔음. ( 이건 정말 아니야 OTL... )
가는데 초큼 막혀서 두시간 좀 넘게 걸렸음. 컬투쇼가 심하게 재밌다는 사실을 발견함. ( 107.7 MHz )
아아아아아아 진짜, 컬투쇼 정말 최고임 ㅋ
그리고 어떤 라디오 광고를 반복하여 듣게됨.
"조강지처가 좋더라, 썬연료가 좋더라~ 국민연료 썬연료 " 대충 이런식임.
자꾸 입에서 안떨어져서 짱남.
여주는 말이 경기도지 강원도임. 라디오 방송도 강원도께 나옴.
여주 읍사무소 직원 중 한명이 줜나 불친절했음. 면상을 날려버리고 싶었지만 그냥 미소를 머금고 어금니를 꽉 깨뭄. 아 희밤... 괜히 여주갔다가 주민세, 토지세 밀린거 내라고 해서 그자리에서 10만원 깨짐. 괜히 억울했음.
제작증에 오토바이 가격을 안써놨었는데, 담당자가 물어봄. 얼마주고 샀어요?
순간, 나는 이것이 세금을 메기기 위한 정보를 요구하는 구나 라고 직감함.
1 나노 세컨드 동안 좀나 갈등함. 뇌가 납세의 의무에 대해 갈등하고 있는 동안, 입은 제멋대로 구라를 침.
2백만원요. 음 50만원 어치의 양심은 버렸음. 다시 1 나노초 동안 죄책감. 그러나 곧바로 음 아는사람 통해서 샀다면 50만원 정도는 깎아서 살수 있었을 것이라고 자기 합리화에 성공. 죄책감을 털어버림.
취득세는 거의 5만원이 나옴.
도합 15만원, 카드결제 하려는데, 미납세금은 비씨카드로도 되는데, 취득세는 비씨카드는 안된다고 함. 일단 이부분은 이해가 안됨. -_- 대체 왜?
미납세금만 내고, 취득세는 지로로 받음. 1달안에만 납부하면 됨. 관련서류를 모두 받고, '경기' 라고 써있는, 은색 봉인 딱지를 받음. 번호판 봉인에 쓰인다고 함.
이제 번호판을 받으러 차량등록소 라는 곳으로 감. 사람 졸라 뺑뺑이 시킴. 바로 옆에있는것도 아니고 몇키로 떨어진 곳에 ㅡㅡ. 암튼 거기갔더니 차량번호판 받으러 온 차들이 빼곡함. 다행히 상냥한 아가씨가 번호판을 주면서 이것저것 설명해줌.
번호판 받는데 왠지 가슴이 짠했음. 이야 이거 받을라고 이 개고생을 하는구나....
곧바로 번호판을 가슴에 안고, 집으로 향함. 서초 IC 까지는 안막혀서 1시간도 안걸렸는데, 거기서 부터 퇴근시간에 걸림. 슈ㅣ발...
그때 처음으로 차량 번호판을 유심히 관찰해봄. 왜냐면 오토바이 번호판 봉인 껍데기를 한짝만 받았으므로... 차량은 어떨지 궁금해짐. 그리고 깨달은 점.
모든 차량의 번호판의 조임쇄가 양쪽이 짝짝이임. 한쪽은 은색으로 봉인용, 반대쪽은 그냥 일반 조임쇄. 헉 진짜 모든 차량이 그랬음. 여태껏 아무런 차이도 몰랐던게 신기함. 역시 사람은 관심이 있을때에만 자세한 것들이 보이는 것 같음.
그런 점에셔, 여친에게 관심이 많으면 진짜로 머리를 했다든가, 귀고리를 바껐다든가 하는 차이를 감별해 낼수 있다는 이론이 사실일지도 모른다는 생각이 들었음. 나는 그런 남자들이 단지 나와는 별개의 인간 유형인줄 알았음.
3. 번호판의 부착
저녁이 다 되어서야 집에 도착, 차를 대자마자 바로 오로바이랑 번호판떼기를 들고 인근 센타로 감. 달아주셈 하니까 바로 달아줌. 왼쪽봉인도 뚝딱 달아줌. 드뎌 법적으로 완벽한 오토바이가 되었음.
오예 신나서 좀 달려줬음. 여전히 2단에선 좀 꿀렁거리고 로데오임 ㅠㅠ
그러나 한가지 알아낸 사실은, 스로틀 그립을 놓아줄때 엔진 브레이크가 걸리는데 그것을 방지하기 위해 동시에 클러치를 살짝 잡아주면 된다는 것임. 생각해 보니 이론적으로 당연함.
반면, 다시 스로틀을 땡길려면 기어가 걸려야하므로 클러치를 놓아주어야 함.
따라서 왼손과 오른손의 페어링(pairing) 을 통해, 꿀렁거림을 다소 해결할 수 있었음.
그러나 생각한 페어링을 몸이 반대로 실천한 경우에는 최악임. 오늘도 시동 여러번 꺼먹음.
그래도 합법적인 라이더가 된 것은 참 뿌듯함.
도로교통법상으루 나는 세가지 다른 종류의 인간으로서 존재한다.
1. 보행자 (a pedestrian)
2. 차량운전자 (a car driver)
3. 2륜차 운전자 ( a bike rider )
근데 각각의 서로다른 자아는 실로 간사하여 자신에게 유리한 방식으로만 생각한다.
가령 보행자인 나는 길을 걷다가 차량이 접근하면, 아 싀밤 "사람나고 차났지 차나고 사람났나" 라는 생각이 든다.
그래서 모든 통행 원리는 보행자 우선이고, 차는 보행자를 보호할 의무가 있으며, 따라서 니들이 방어운전해야 한다고 생각한다.
반면, 차량운전자 인 나는 차를 무서워하지 않는 보행자를 보면, 아 싀밤 저게 뒤지고 싶어 환장했나 라는 생각이 들고, 부딪히면 아픈건 너희들이잖아, 니들이 조심하는게 결국 너희들한테 좋을것이라고 생각한다.
한편, 2륜차 운전자로서 나는, 도로교통법상으로 2륜차도 도로를 통행할 권리가 있으며, 따라서 차선(엄밀히는 차로) 하나를 확실히 점유해야한다는 생각을 한다. 그래서 차에 비해 덩치가 작은 오토바이가 도로상에서 무시당한다는 생각이 들땐, 수년간 동물의 왕국을 보면서 깨달은 자연의 섭리이자 약소동물의 비기(祕技) "몸부풀리기"를 사용한다.
틀어놓고 공부하기 괜찮은 7곡을 모아봄.
퀴즈) 다음 7곡의 작곡가와 곡명을 맞춰보삼.
rank가 2인 covariant tensor를 Vij 라고 할 때, covariant derivative 가 다음과 같이 됨을 증명하라.
( 단, Γ 는 2종 Christoffel symbol , 중복첨자 d 는 서메이션임)
애들을 가르치다 보면 가끔 느끼는 게, 얘네들 수학책이 은근 사기를 많이 친다는 거다. 내용이 틀린건 아니지만, 논리적으로 빵꾸난 부분을 고의적으로 숨기는 것이다.
물론, 의도는 이해하지만, 그래도 상황이 어떻게 돌아가는건지 얘기를 해주는 것이 수학책으로서의 자존심이 아닌가생각된다.
실례를 들어보자.
역행렬의 정의는 다음과 같다.
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어떠한 n차 정사각행렬 A 에 대하여,
AX = XA = I 가 되는 n차 정사각행렬 X를 A의 역행렬 이라고 한다.
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그런데 대부분의 책에서, 이후에 전개되는 내용을 보면, AB = I 이기만 하면, 은근슬쩍 B를 A의 역행렬이라고 하고 문제를 푼다.
사실 여기에 숨겨진 내용은 다음의 질문이다.
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두 n차 정사각행렬 A, B 에 대해, AB = I 이면 BA = I 인가?
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당신은 이것을 증명할 수 있는가?
실제로 옛날에 몇사람에게 물어적이 있는데, 대부분은 당연히 증명할수 있다는 반응을 보였고, 그럼에도 내가 바보같이, 왜? 라고 묻자. 식은죽 먹기라는 듯이, B를 A의 역행렬이라고 쓰더니 A 앞에다가 곱해서 I 가 된다고 증명을 마치기 일쑤였다.
푸헐... 그러나 그것은 내가 물어본것을 고대로 " 이름만 바꿔서" 다시 말한것과 다르지 않다.
사실 위의 질문은 역행렬을 정의하기 이전에 먼저 할 수 있는 질문이다. 즉, 역행렬을 전혀 안배운 사람에게도, 행렬의 곱과 단위행렬만 알고있는 사람이라면, 충분히 낼 수 있는 문제인 것이다.
따라서, B가 A의 역행렬이니까... 로 시작하는 증명은 이미 핀트가 벗어났다고 할 수 있다. 위의 질문의 참거짓을 증명해야 그다음부터 AB = I 이면, 당연히 AB = BA = I 가 되어, 역행렬이다 라고 얘기를 할 수 있는 거니까...
열 마디 말보단, 일단 증명부터 해보자.
양자역학 서적 ( 아마도 몇 권은 봐야 할 것이다. ) 을 독학으로 공부한 후, 내가 궁금해 하는 것들에 대해 모순되지 않게 답해줄수 있다면, 나는 당신을 진정한 천재라고 부르겠다. ( 여기서, 양자역학을 이해한 사람은 없다며 귀동냥을 내뱉지는 말자. 나는 지금 텍스트북에 대한 이야기를 하고 있다. )
상대론이 가장 많은 소설을 만들어내는 분야라면, 양자역학은 가장 많은 오개념을 양산해내는 분야이다. 물론 그것이 양자역학의 잘못은 아니다. 양자역학을 그렇게 만든 사람의 잘못이거나, 그렇게 가르친 사람 혹은 그렇게 이해한 사람의 잘못이다. 아마도 나를 포함한 대부분의 보통 사람들은 그것으로부터 자유롭지 않을 것이다. 책임은 우리에게 있다.
물론, 오개념도 필요한 녀석이다. 그러나 그건 오개념이 언젠간 바로잡힌다는 전제위에서만 그렇다. 나는 오개념이 바로잡히는 순간에 학문적 쾌락을 맛보는 경우가 많다. 그런의미에서 나에게 오개념은 오히려 학문적 원동력을 위한 필수 코스와 같은 것이다. 그러면서도 항상 반드시 풀어야 할 골칫거리이기도 하다.
경험에 비추어볼때, 오개념을 바로잡는 가장 좋은 방법은 여러사람들과 의견을 교환하는 것이다. 최석봉선생님의 말마따나 이것은 소위 명문대에 가는 이유이기도 하다. 우수한 사람들과 토론하며 의견을 나누는 것은 특권이다. ( 같은 주제에 대한 여러권의 책을 읽는것도 좋다. )
선생님은 학부때 정원이 너무 적어서, 학우들과 토론하고 의견 교환하는데에 어려움이 많으셨다나? 덕분에 미국 유학때에 미국학생들에게 개념 싸움에서 처절하게 짓밟히셨다고...
돌아보니, 나야말로 오개념 덩어리인데 어디가서 마치 무언가 아는 것처럼 떠드는 것이 새삼 부끄럽다.
추신,변명) 침묵은 병을 키우고, 병은 소문내야 된다고. 여기저기서 나의 병을 떠들지 않으면, 고치는 것이 쉽지 않으니 이또한 딜레마라 하겠다.
v3 플래티넘을 버리고 결국 다시 이렇게 v3 라이트로...
페이지 열때마다 콩알만한게 달려있는게 거슬리는 성격이라면, 싸이트가드는 설치하지 않는게 나을듯.
f(z)의 싱귤러 포인츠가 유한개이고, 컨투어가 그것들을 모두 감싸고 있을때, 레지두 정리는 각각의 싱귤러 포인트에서 레지두를 구할것을 요구한다.
하지만, f(z)를 약간 변형해서, 레지두 한개로 적분을 계산하는 방법이 있다.
싱귤러 포인트가 유한개이므로, 그것을 감싼 컨투어 C 는 바운디드 되어있고, 따라서, 원점에서 충분한 반경 r 에 의해 C 를 포함하는 원 Cr 을 생각할 수 있다. 그러면, 코시-구르사 정리에 의해, C 에 대한 적분이나, Cr 에 대한 적분이나 같다.
f(z) 가 , r < |z| < ∞ 에서 어낼러틱하므로, 그것을 수렴영역으로 하는 중심 0 의 로렌트 시리즈가 존재한다. 그리고 항별적분하면 다음과 같이 된다.
그런데 살아남은 -1 차항의 계수는 0 에서의 레지두가 아니다. 우선 0 이 싱귤러 포인트인지 아닌지도 모르고, 게다가 수렴영역이 0 만 구멍이 뚤린 punctured disk 가 아니기 때문이다.
이제 , f(z) 에서 z 대신 1/z 을 대입하고, 전체를 z2 으로 나누면, z = 0 은 싱귤러 포인트가 되고 ( 물론, 리무버블이 되면, 테일러가 된다 ) , 변형된 함수의 0 을 중심으로 한 로렌트 전개의 수렴영역도 0 만 구멍난 punctured disk 가 된다. 게다가, 같은 계수가 여전히 -1 차 항의 계수가 된다.
즉, r < |z| < ∞ 을 수렴영역으로 해서 , f(z) 의 로렌트 시리즈의 -1 차 항의 계수는 , f(1/z) / z2 의 0 에서의 레지두 인것이다.
또한, 그것은 결과적으로, f(z) 가 유한개의 싱귤러 포인트를 갖을때, 모든 레지두를 더한 값과 같다.
제로(zero) 는 복소함수를 0 으로 만드는 점들을 말한다. 번역은 영점이라고 하는듯. 폴(pole) 은 극점이라고 하고...
아무튼, 제로에도 오더를 주는데, 대충 중복도의 느낌으로... ( z - z0 ) 이런 때의 제로 z0 를 오더를 1 이라고 한다면, ( z - z0 )m 으로 m 번 중복된 제로 z0 를 오더 m 으로 생각하는 식이다.
같은 맥락인데, 함수가 어낼러틱해서 미분이 가능할때, 제로 오브 오더 m 을 다음과 같이 정의한다.
invalid-file
