두집합 A, B 의 카테션곱은 다음과 같다.
A X B = { ( a , b )  :   a ∈ A   ,  b ∈ B }

카테션 프로덕트 연산자 X 에 대해 다음이 성립한다.
A X ( B ㅁ C ) =  ( A X B )  ㅁ  ( A X C )                  여기서 ㅁ  는  ∩ , ∪ 또는  -   이다.


증명.

Index Sets
집합의 원소들에 인덱스를 붙이는 것은 여러모로 많은 편의를 제공한다.

가령,  A = { 3, φ , 10 } 를 A = { a₁ , a₂ , a₃ } where  a₁ = 3 , a₂ = φ , a₃ = 10  으로 쓰는 것이다.


여기서 인덱스쎗(index set) 을 도입함으로써, 이러한 아이디어는 더욱 강력한 툴을 제공한다.

인덱스 셋을 도입하면, set builder notation 으로 집합을 다음과 같은 형식으로 표기할 수 있다.

문득 문득 생각났다가 또 금방 뒤돌아서 서면 까먹고 그러다가 또 문득 생각났다가 ... 그렇게 살기 때문에 좀 적어놓고, 나중에 시간날때 보고 글을 쓰는게 좋을 것 같다. 일단 생각나는 것들 몇가지.

수학과 물리에서의 벡터의 정의에대한 차이. : 벡터 스페이스 vs 텐서
임프라퍼 로테이션과 수도... : 호모몰피즘과 함께
좌표계와 텐서 (  위의 발생적 배경으로 부터 개념 및 수식화 ...)
다이애드

제너럴 오소고날 코오디네이트와 기저벡터들
그레이디언트, 다이버전스, 컬, 라플라시안 in 제너럴 오소고날 코오디네이트
커비리니어 좌표계에 적용

등확률공간과 경우의 수에 의한 확률 : 등확률공간이 전제될 때에만 경우의수에 의한 수학적확률 정리 사용가능
조건부확률과 확률의 곱셈정리 : 확률의 곱셈정리 = 조건부확률의 정의.
독립사건과 배반사건 : 등확률공간에서의 예를 통해.

컬리스 - 스케일러 포텐셜 , 다이버젼스리스 - 벡터 포텐셜
포텐셜 그리고 포텐셜 에너지
델타펑션과 다이버전스
벡터필드의 플럭스와 가우스정리 : 필드라인을 살펴봄으로써.
가우스정리 : 중력장과 전기장에 대한.
푸와송 방정식과 라플라스 방정식 : 중력장과 전기장을 살펴봄으로써.

푸리에 시리즈
적분변환
푸리에 트랜스폼의 물리적의미
레저두 & 폴
로렌트 급수 : 테일러 시리즈로 부터 시작하여, 레저두와 폴의 개념을 통해.

리스트 액션과 오일러 이퀘이션
라그랑지안
라그랑지 이퀘이션에 이르는 다양한 길
일반화좌표
해밀토니안

멀티케이티브 넘버띠어레릭 펑션
점화수열의 캐릭터리스틱 이퀘이션
제너레이팅 펑션
피보나치수열의 제너레이팅 펑션
제너레이팅 펑션 일반화
일반화된 이항계수에 대한 몇가지 식들 유도
르장드르 폴리나미얼의 고찰 : 제너레이팅 펑션과 이항계수로 부터
스털링 넘버와 스털링 근사식


음... 방금도 몇개 생각났었는데 금새 또 까먹었다. 뭐 쓸지 생각나면 그때마다 덧붙여 적어놔야겠다.

물리 관련 포스팅을 좀 많이 하고싶은데, 어떤 말을 하고 싶어도 한번에 그걸 다 말하려면 포스팅이 너무 길어진다는 문제가 있다. 한번은 "좌표변환, 벡터 그리고 텐서" 라는 제목으로 글을 시작한적이 있느데, 글이 너무 심하게 길어져서 도저히 못쓰겠더라.

그래서, 얘기를 할때 편하도록 미리 언급해 두고 싶은 몇몇 단편적인 것들이 있다. 내용의 핵심이거나 뭔가 깊은 통찰을 주는것은 아니지만, 나중에 본론을 이야기할때 곁가지에 대한 부담을 덜어주고 글이 컴팩트해지도록 도움을 주기 때문이다. 하이퍼링크만 걸어주면 된다.

이미 감마펑션은 간단히 언급을 해놨고, 더블팩토리얼도 언급을 해놨으니, 바이노미얼 코이피션트만 언급을 하면 르장드르 폴리노미얼이나 베셀펑션을 언급할때 한결 간결해질것임은 분명하다. 그러한 단편들이 몇개 더 있는데, 가령, 디랙 델타펑션과 다이버젼스의 관계 라던가, 솔리드앵글 같은 것들이다.

여기선, 솔리드 앵글에 대해서 간단하게 미리 언급을 해두고 싶다.

레이디언( radian , 라디안)을 먼저 생각해보자. 어차피 각도라고 하는건 얼만큼 벌어져 있는가를 나타내는 지표일 뿐이다. 한바퀴를 360도로 보는것도 편리한 면이 많지만, 라디안은 그 이름에서 보듯이 radi - an , 반지름을 세는 단위로 쓴다.

어떠한 반지름을 잡고 빙둘러서 원을 그리면, 그 둘레에 지름이 몇개 들어가는가 (원주율) 에 대한 연구는 매우 오래된 것으로, 대략 3개가 들어가고 좀 남는다고 한다. 즉 반지름의 단위로 세면 6개들어가고 좀 남는것이다. 따라서 한바퀴라는 것은 360도라고 불러도 되지만, "6점몇 반지름" 이라고 불러도 똑같은 것이다. 여기서 저 "반지름" 이라고 부르는 것이 바로 라디안의 본질이다.

( 여기서 잠시 딴소리를 하자면, 중1때 열심히 외웠던 "원의 둘레 = 2 π r " 이라는 공식은 단지 원주율의 정의에 불과할뿐, 그 이상도 그 이하도 아니다. 차라리, 어깨너머로 줏어들은 파이는 무리수라 카더라는 것과 조합해서, "원의 둘레가 유리수라면 반지름은 무리수여야 겠군요"  같은게 더 유익하다고 하겠다. )

아무튼, 라디안은 둘레길이를 반지름으로 나눈것과 같으므로, 무차원이지만 내막은 길이/길이 가 되겠다. 또한 반지름으로 나누니까 반지름 1 인 원으로 축소시키면 호의 길이가 곧바로 각도가 될 것이다. ( 단, 무차원이다 )

그림으로 보면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

전체집합 ( Universal Sets )
Domain of discourse 를 나타내는 집합을 전체집합 U 로 놓고, 특별한 언급이 없더라도 논의되는 모든 집합들은 원소를 U에서 취한다.


집합의 원소의 개수 ( Number of elements )
집합 A의 원소의 개수를 |A| 로 표기하기로 한다.
원소의 개수가 유한개인 집합을 유한집합(finite set) , 무한개인 집합을 무한집합(infinite set) 이라고 한다.
이후에, 무한집합들에 대해서 까지 원소의 개수 개념을 확장하여 카디널리티(cardinality)를 정의하고 마찬가지로  |A| 로 표기한다.
특히, 유한집합에 대한 카디널리티는 원소의 개수이다.


집합의 상등 ( Equality of sets )
A=B   ≡    ∀x  (  x∈A   ⇔   x∈B  )


부분집합 (Subsets)
A⊂B    ≡     ∀x  (  x∈A   ⇒   x∈B  )
A를 B의 부분집합, B를 A의 super set 이라고 부른다.

모든 집합은 자기자신의 부분집합이고, 공집합은 모든집합의 부분집합이다. 이것은 정의를 통해 간단히 증명되는 정리이므로 증명을 생략한다.
특히, 자기자신이 아닌 부분집합을 proper subset 이라고 칭하기로 한다.

또한, 상등과 부분집합의 정의로 부터 다음의 정리는 자명하다.
A=B    ≡    A⊂B  ∧  A⊃B


진리집합 (truth sets)
the truth set of the propositional function p(x) is the set P = { x | p(x) }


교집합 (Intersections)
A∩B  =  { x |  x∈A ∧ x∈B }

A∩B = φ   일때, A와 B를 서로 disjoint 라고 한다.


합집합 (Unions)
A∪B  =  { x |  x∈A ∨ x∈B }


여집합 (Complements)
relative complement of A in B   :   A ＼ B  =  { x |  x∈A  ∧   x  !∈  B }                  단,  !∈ 는 속하지 않는다의 기호로 사용했다.  
A ＼ B  을 A - B 로도 쓴다.

특히,  A^c  = U ∖ A     로 쓰기로 한다.

따라서,  A ＼ B  =   A ∩ B^c 으로 쓸 수 있다.

다음의 정리는 모두 자명하다. ( 모두 논리식으로 간단히 증명가능함 )
(A^c)^c =  A
A ∩ A^c = φ     ,    A ∪ A^c = U
φ^c =  U          ,    U^c = φ
A ⊂ B   ⇔    A^c ⊃  B^c
(A∪B)^c   =   (A^c∩ B^c)   ,    (A∩B)^c   =   (A^c∪B^c)                  : De Morgan's Laws


디스조인트 셋과 여집합에 대한 다음의 정리가 성립한다.
A∩B = φ     ⇔     A ⊂ B^c     ⇔     A^c ⊃ B

따라서 다음의 정리도 참이다.
 A ⊂ B    ⇔    A ∩ B^c = φ     ⇔    A ＼ B = φ    


멱집합 (Power sets)
P(A) = { x | x ⊂ A }

멱집합에 대한 다음의 정리는 자명하다.
A⊂B   ⇒   P(A) ⊂ P(B)

또한 다음의 정리들이 성립한다.
P(A) ∩ P(B) = P(A∩B)
P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A∪B)


유한 멱집합의 카디널리티
|A| = n   이면,  |P(A)| =  2 ⁿ 이다.

컴비네토리얼 프루프로 간단히 증명된다. A의 각 원소를 부분집합에 포함시킬까 말까라는 두가지 선택권으로 부터 위의 정리는 자명하다.

또한 이것으로 부터 이항계수에 대한 다음의 정리도 증명할 수 있다.

Nested Quantifiers
Nested quantifiers are ones that occur within the scope of other quantifiers.

예.
∀x ∃y ( x+y=0 )   이것을 스코프를 더 명확히 나타내면 ∀x [ ∃y ( x+y=0 ) ]   로 쓸 수 있다.


한정자가 네스티드 되어있더라도, 전체 문장을 변화시키지 않는 범위내에서 한정자들을 이동시킬 수 있다.
즉, 프리한 변수에 대한 프레디컷이라던가, 한정자가 바인딩하고있는 변수외에 다른 변수의 프레디컷에 대해서는 한정자가 자유롭게 움직일 수 있다. 단, 프레디컷에 대해서 뛰어넘어 다닌다는 것이지, 한정자끼리 넘어다니지 않도록 주의한다.

즉, 한정자들의 순서를 임의대로 바꿀 수 없다.

예.            
∀x p(x) → ∃y q(x,y)     는      ∀x ∃y p(x)→q(x,y)        와 같지만,  ∃y ∀x  p(x)→q(x,y) 와는 다르다.

예.
p(x,y) = " x+y=0 "   이라고 하자.   ( on 실수집합)
∀x ∃y p(x,y)    :    모든 x에 대해, ∃y p(x,y) 는 참이다.             " x + y = 0 을 참이되게 하는  y 가 존재한다는 것" 은 모든 x에 대해 참이다.
∃y ∀x p(x,y)    :    ∀x p(x,y) 를 참이되게 하는 y가 존재한다.      " 모든 x 에 대해 x + y = 0 이 참이다" 를 만족하는 y 가 존재한다.

따라서, ∀x ∃y p(x,y) 는 참인 명제고, ∃y ∀x p(x,y) 는 거짓명제이다.


nested quantifiers 에 대해 다음이 성립한다.

특히 3번과 같이 다른종류의 한정자가 네스티드 되어있을때, 믹스트 퀀터파이어 라고 한다.

증명.
1 번.

2번은 ∧ 만 모두 ∨ 로 바꿔주면 1번과 마찬가지다.


3번.

앞서 추론규칙(inferrence rules) 편에서, 대우법칙과 귀류법을 알아보았다. 가끔 보면, 귀류법과 대우법칙을 헷갈려들하는데, 여기서 그 차이를 짚고 넘어가도록 한다.

일단 두가지 법칙의 정의부터 살펴보자.
Contrapositive Law (Contrap.)                                  Reductio ad Absurdum (R.A.)
p → q    ≡    ￢q → ￢p                                                           ￢p → F  ≡ p       

우선, 대우법칙의 경우 합성명제, 즉 컨디셔널에 대한 이야기이다.  이는 직접적으로 해당 컨디셔널 p→q 자체를 증명하는데, 그것의 대우가 참임을 보이는것이 그와 동치라는 것이다. 반면, 귀류법은 명제에 대한 제약이 없다.

귀류법으로 컨디셔널을 증명하는 것은, 귀류법 정의식의 p자리에 컨디셔널 p→q 만 넣어주면 된다.
즉, ￢(p→q) → F  ≡    p→q   이 되고, 좌변은   ￢(p→q) → F  ≡   ￢(￢p∨q) → F   ≡   (p∧￢q) → F  이 되므로, 컨디셔널에 대한 귀류법은 다음과 같다.

(p∧￢q) → F  ≡   p→q            :  컨디셔널에 대한 귀류법

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

대우법칙이 비록 컨디셔널에 대한 법칙이지만, 추가적으로 가정명제가 참임이 보장되면, 결론명제를 증명하는데 사용할 수 있다.
이것은  Modus Ponens  :  (p→q) ∧ p ⇒ q   의 컨디셔널 부분을 대우명제로 증명하여, q를 이끌어내는 것이다.

결과적으로, 그것은 다음과 같이 Modus Tollens 가 된다.
(￢q →￢p) ∧ p   ⇒   q

종종, 마치 ￢p 와  p 가 모순되는어 귀류법으로 증명한것처럼 오해할 수 있는데, ￢q →￢p 이 참이라고 했지, ￢p 가 참이라고 한적이 없으므로 이는 귀류법이 아니다.

Conditional Statements

컨디셔널은 보통 논리기호로   →  로 쓰고 , 우리말의 "~이면 " 정도로 표현된다.
( " p → q  "   is read " if p , then q "  and so on )

우리는 아래에서 implication(함의) 와 conditional 과 구분하여 정의했지만, 교재에 따라 구분하지 않고, 컨디셔널을 implication 으로 부르기도 한다.

컨디셔널의 연산자 우선순위는 논리곱(conjunction) ∧ 이나, 논리합(disjunctin) ∨ 보다 늦는걸로 약속한다.

컨디셔널에 대한 트루뜨 테이블은 다음과 같이 정의한다.

Another Dream ~

열역학 1법칙은 두개의 다른 표현을 갖는다.

하나는   dU = δq - δw    :  계의 내부에너지는 계에 준 열량 만큼은 증가하고, 계가 한 일 만큼 줄어든다
하나는   dU = δq + δw    :  계의 내부에너지는 계에 준 열량 만큼은 증가하고, 계에 해준 일 만큼도 증가한다.

두 식의 차이를 알아보기 위해, 일부러 δq 와 δw 를 따로 이상한 말투로 서술하였다.

첫번째 식과 두번째식의 차이는 눈에서 보이듯이 δw 의 부호 차이다. 이항을 어떻게 시켜서 δq = dU + δw 따위의 폼을 갖던지간에 보통 저 두가지 식으로 정리할 수 있다. 같은 법칙을 왜 달리 기술하는가?  그것은 열역학이 1법칙이 물리학에서 나와 화학에서 더욱 발전하였기 때문이라고 할 수 있다. (물론, 물리학자들과 화학자들이 노테이션 통합을 하지 않아서 라고 할 수도 있다.)

결론부터 말하자면, 같은 w를, so to speak, "다른이름"으로 사용한다는 것이 핵심이다.

첫번째 식은 주로 물리학을 베이스로 하는 사람들이 많이 쓰고, 두번째 식은 주로 화학을 베이스로 하는 사람들이 많이 쓴다. 대충 짐작컨대, 공대쪽에서, 아마도 기계과 쪽은 첫번째 식을 주로 쓸 것 같고, 화공과는 두번째 식을 쓸 확률이 높을 듯 싶다. 음...전기쪽은 둘 다 쓸 것 같은데 아마도 배터리쪽이 두번째 식을 쓸 가능성이 높을 듯?

첫번째 식을 살펴보자. 물리학의 베이스는 역학이다.

우선 계의 역학적 포텐셜에너지와 계의 일에 관한 식 dU = - dw 에서 출발하자. 이것은 계가 역학적 일을 하면 계의 역학적 포텐셜에너지가 낮아진다는 것을 말하는 식이다. 가령 사과가 떨어지는동안 중력이 양의 일을 하고 그만큼 사과-지구 계의 포텐셜에너지는 감소한다. 여기서 포텐셜이라는게 정의 되었다는 것 자체가 ( 엄밀히 말해, 스케일러포텐셜 ) 이미 저 일이 보존력에 의한 것이라는것을 염두에 두자. 또, 지금 논의에서는 그냥 포텐셜 에너지 라고 하는게 더 낫지만, 굳이 역학적이라는 어색한 말을 붙인건 나중에 포텐셜의 개념이 확대되어 케미컬 포텐셜 따위가 나오기 때문에 그렇게 말해봤다.

이 식은 역학 문제를 기술할때 에너지라는 개념을 이용하여 문제를 매우 쉽게 풀게 해주는 식으로, 매우 널리 사용된다. 여기서 dw 는 이미 말했듯이 계가 하는 일이다. 따라서 계가 발현하는 힘 F 에 의해, dw = F dl 로 쓸수 있다.

그러다가 줄이 열의 정체가 역학과 직접적으로 관련이 있음을 증명하게 되고, 그로 인하여 이 식에 δq 가 추가되어 결과적으로, dU = δq - δw 가 된다. 이제, U 는 이미 열 에너지 개념을 포함해 버렸고, 더이상 역학적인 포텐셜 에너지라고 할 수 없다. 그래서 좀더 확장된 개념으로써 내부에너지라고 한다. 이것이 열역학 1법칙의 물리사적 플롯이다. 그리고 이 열역학 1법칙은 화학에서 화학적입장에 맞게 손봐진다.

화학의 핵심 컨셉은 계 사이의 주고받음에 있다. 계에 대한 역학적인 관심보다 계 사이에 주고받는 에너지에 더 관심이 있는것이다. 에너지 출입 입장에서 본다면 들어가고 나가는 것에 대한 부호의 일관성이 더 그들의 논리에 맞는것이며, 일반화 하는데도 편리하게 된다.

그리하여, 계로 들어오는 것은 + , 나가는 것은 - 라고 놓는다. 여기서 δw 는 이제 "외부에서 계에 해주는 일"로 이름을 갈아타게 된다. 그러면 dU = δq + δw 로 쓸수 있게 되고, 이때 δq 든 δw 든 그 값의 음,양에 상관없이 형식적인 + 부호는 "계에 가해준" 이라는 간편한 해석을 할 수 있게 해준다. 반면, - 부호는 "계가 외부에 준" 으로 해석하면 된다.

이로부터 일은 더이상 특별한 것이 아닌 단지 에너지를 전달하는 하나의 수단으로 이해된다. 가령, 화학적 일, 전기적 일 등등...
특히, δw 가 역학적 일인 경우에, 외부에서 해 준 일인 만큼 외력(external force) F_ext 에 의해 ( F_ext ) dl 로 쓸수 있다. 그런데, 결국, F_ext 가 첫번째 식에서의 F 에 대해 , F_ext = - F 이므로, 결국 두식은 같은 식이 된다.

단지 관점의 차이, 컨벤션의 차이일뿐 본질적인 차이는 없는 것이다. 어느쪽을 사용하건 그건 선택의 문제이다. 정확한 상황이해와 꼼꼼한 적용이 요구될 뿐이다. (공식의 단순 암기는 생각보다 문제가 잘 안풀리는 사태를 초래하곤 한다.)

그럼에도 불구하고 , 서로 다른 컨벤션과 그에 따른 노테이션의 차이로 인해, 열역학 1법칙으로 부터 파생되는, 혹은 조합되어 만들어지는 다른 여러 식의 경우에 종종 부호가 다르게 나타나는 경우가 있으므로 주의를 요한다. 물론, 어느쪽 노테이션을 써도 결국 얻어지는 정량적인 답은 같다.


간단히 결론만 말하자면, δw 를 계가 한일 이라고 하면 dU에 대해 -δw 인 것이고, 계에 해준일 이라고 하면 +δw 인 것이다. 결국 δw 를 뭐라고 부를 것이냐의 컨벤션 문제일 뿐 실제로는 같은 식이다.


어쩌다가, 열역학 1법칙이 dU = δq - δw 냐 dU = δq + δw 냐 따위로 서로 자기가 맞다고 주장하는 경우를 보게된다. 아마도 문제는 많은 텍스트북들이 교재가 속한 영역에 따라 (혹은 저자의 취향에 따라) 열역학의 부호를 마치 불변의 진리인것처럼 말하는 데에 있지 않나 싶다.

사람은 딱 자신이 아는 것 만큼만 보인다고 했다.

나는 그말이 나에게 학문을 하는데 얼마나 겸손해져야 하며 또한 자신의 것 이외에 다른 것에 대해서도 얼마나 배타적이지 않아야하는가를 가르쳐주고 있다고 생각한다.

ADD: 열역학은 그 노테이션의 다양성 만큼이나  커뮤니케이션에 있어 "오해"가 많은 학문이다.
        계가 하는일인지 계가 받는 일인지 명확히 언급해야 할 것이다.

중복조합과 이항계수
중복을 허용하는 조합의 수는...  n개의 물건에서 r개를 고르는 것이 아니라, n개의 카테고리에서 r개를 고르는 것이다.
즉, 각각의 카테고리에 충분히 많은 물건이 있다고 할때, 마음대로 중복해서 r개를 선택하는 것이다.

잘 쓰지는 않지만, 경우에 따라서는 상당한 편리함을 주기 때문에, 특히 르장드르 폴리나미얼 이나 베셀펑션 같이 데피니션만으로도 엿같은 그런 식들을 다룰때는 종종 사용해도 나쁘지 않다. 또 카탈란 시퀀스 따위를 다룰때도 제법 쓸만하다. 그래도, 사용할때는 되도록 노테이션에 대해서 미리 언급을 하고 쓰는게 좋다.

더블펙토리얼은 나름대로 식을 보는 인사이트를 준다. 그러니 굳이 최종식에 쓰지는 않더라도, 적어도 중간과정의 처리에 있어서 만큼은 유용한 놈임에 틀림없다.

일단 자연수에 대해서 기본적인 데피'니'션( 니 에 강세 ) 은

n !!  =   n *  ( n - 2 ) * ( n -4 ) * ...         인데, 보다시피, n 이 아드-_-ㅋ일때하고 이븐-_-ㅋㅋㅋ일때가 달라진다.   홀수면 1 까지 내려오고, 짝수면 2까지로 한다.  

주의)  factorial 의 factorial 이 아니다.   이것도 더블펙토리얼 잘 안쓰는 이유중에 하나인듯. -_- 보기에 헷갈려...

5 !! = 5 * 3 * 1     ,  cf )   ( 5 ! ) !  = ...  아 너무 커서 못하겠다.

겹계승이라는 단어는 더더욱 ( n ! ) ! 스럽기 때문에 사용을 꺼리고 싶은 심정이 된다.

factorial 에서 처음에 0 ! = 1 로 정의했던 이유가 ( 첨엔 별다른 이유는 없었고 ..) 몇몇 식들에서 팩토리얼이 분모로 내려가거나, 서메이션등에서 첨자가 0 까지 떨어졌을때 등에서도 잘 성립하도록 확장했던 것에 불과한것과 마찬가지로... 더블펙토리얼도 0 !! = 1 로 정의를 하고, 여기에 한술 더떠서 -1 !! = 1 로 정의한다.

그렇다고 무조건 그렇게 두서없이 기분내키는대로 정의한것은 아니다. 감마펑션으로 팩토리얼을 실수까지 완전하게 확장한것처럼 더블팩토리얼도 비슷한 확장을 할 수 있다.

아무튼... 이렇게 정의하고 가장 기본적인 프라퍼티를 살펴보면 ...  n !!  (n-1) !!   =  n !   하고,   (2n) !!  =  2^n * n !   정도 되겠다.

예를들면...    (2n-1) !!  =  (2n-1) !!   *   (2n) !!  /  (2n) !!   =    (2n) !  /  2^n * n!      처럼 쓰면 된다.


마찬가지로  ! 를 나란히 연달아 쓰는 표기는 멀티팩토리얼을 나타낸다.  뭔소리냐면,  ! 를 연속해서 k 번 반복해서 표기하면 k 스텝씩 뛰면서 곱하라는 뜻이 된다.

예를들면...   7 !!!  =  7 * 4 * 1    이런식이다.  역시 n !!  에서 n 이 짝수일때랑 홀수일때로 식이 갈렸듯이, 여기선 !!! 이 세개이므로, 3으로 나눈 나머지에 따른 분류를 해야한다. 즉, 일반zerg로 ! 가 k 개 겹쳐진 멀티팩토리얼이면 k 로 나눈 나머지에 따른 분류를 통해 식을 디테일하게 정의하면 된다.

그런데, 이때 느낌표의 개수가 많아지면 저거 보는것도 일이된다. 이쯤되면 그냥 대문자 파이 노테이션을 쓰지 느낌표 기호 잘 안쓴다. 그래도 차선책으로 나온표기가 있는데 매우 직관적이다.  ! 에 수퍼스크립트를 쓰는것이다. ! 가 세개이면 ! 에 3제곱한것처럼 우측상단에 작게 3을 써주면 된다. 실로 수학은 세상에서 가장 자유로운 학문이라 하겠다.  누구든 마음대로 정의하고 논의를 전개할 수 있으니 말이다.

별로 쓸일은 없어 보이지만, 그건 어디까지나 사용자의 몫이다. 그래도 역시 사용전에 노테이션 언급을 해주는것이 보는이로 하여금 혼동을 피하는데 도움을 줄 것이다.

선형대수를 들은지 아무리 오래되더라도 잊지말아야하는 기본개념들이 있다. 변환행렬을 구하는것은 선대의 중요 테마중에 하나이다. 다음은 어떠한 변환에 대응하는 메이트릭스를 구할때, "베이시스들의 변화를 관찰함으로써" 변환행렬을 구하는 기본적이면서도 유용한 테크닉이다. 기억해두면 두고두고 써먹을데가 많다. 개인적으로 가장 선호하는 방법이기도 하다.

이 얼마나 심플하고 멋진 결과인가!  이제 이것을 이용해서 간단한 예제를 풀어보자.

감마 1/2 구하는 과정에 등장하는 저 적분은, 정규분포식 앞에 붙는 희한한 상수에 대한 답을 준다.

Generalization of Factorial : Gamma Function