그룹 ( Group , 군 ) , 링 ( Ring , 환 ) , 필드 ( Field , 체 ), 벡터 스페이스 ( Vector Space )
Math/Algebra(Abstract & Linear)2008. 3. 26. 09:57 |앞에서 계속 물리적 벡터가 벡터스페이스의 원소와는 다른 것이라고 강조하면서도, 정작 벡터스페이스에 대한 언급은 별로 없었던것 같다. 벡터스페이스의 정의에 대해 좀 살펴보고, 벡터스페이스의 원소로서의 벡터가 물리적벡터와 다른 예를 알아보자.
일단 벡터스페이스의 모델이 된것은 분명히 물리적벡터이다. 그것들이 더해지는 방식의 특이함(?) 으로 부터 영감을 받았을 것이다. 벡터스페이스는 두개의 집합이 혼합된 구조이다.
하나는 벡터스페이스라고 불리는 그 자신이고, 또다른 하나는 그것과 엮인 필드이다.
여기서 필드는 물리학의 벡터필드가 아니고 수학적 구조인 필드를 가리킨다. 우리말로는 체 라고 하는데, 링의 특수한 경우이다.
어쩔수 없이, 그룹(군), 링(환), 필드(체) 에 대한 이야기를 해야겠다.
그룹이 집합과 연산 하나로 구성된 구조인 반면, 링은 집합과 연산 두개로 구성된 녀석들을 말한다. 링 중에서도 필드는 "실수"를 모델로 하여 링을 특수화 시킨것이라고 이해하면 편하다. ( 물론 반대로 실수모델로 부터 필드 라는 구조를 연구했고, 더 일반화 시켜 링을 연구했다고 해도 상관은 없다. )
대수학을 공부하다보면, 나중엔 온갖 수식을 몇페이지씩 쓰는데 정작 나 뭐하고있는거지? 하는 느낌이 들때가 있다. 그러한 공허함을 피하기 위해, 뭔가 실질적으로 연관된 대상을 떠올릴수 있게 공부하는것은 도움이 된다. 개인적으로 그 어떤 분야보다도 가장 그러한 현상이 심한 분야라고 생각된다.
그러한 의미에서 일단 필드가 실수를 모델로 한 녀석이다 라고 기억해두는 것은 여러모로 도움이 된다. 물론, 실수는 무한집합이므로, 유한 필드에 대해서는 좀 주의를 할 필요가 있긴 하지만 말이다. (무한과 유한은 거의항상 성격이 상당히 다르다.)
그룹 -> 링 -> 필드 의 순으로 살펴보겠다.
----------------------------------- 그룹 ( Group , 군 ) ------------------------------------
어떤집합 G 가 이항연산 · 과 함께 다음의 성질들을 만족할때,
알제브레익 스트럭처 < G , · > 를 group 이라고 한다.
G1 ) associativity of ·
G2 ) 항등원 1 존재 for ·
G3 ) 역원 x -¹ 존재 of x ∈ G for ·
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연산에 대해 닫혀있을 조건은 따로 쓰지 않았지만, 기본적으로 만족되어야 할 조건이다. 제일 먼저 체크해야하는 조건이라고 하겟다.
관습상 연산을 생략하고 집합자체를 그룹이라고 부른다. 단, 어떠한 연산인가에 대해서는 오해의 소지가 없는 경우에 한한다. 또한, 대수학자들은 · 표기를 자주 생략하고, 원소를 나란히 쓰는것을 선호한다.
위에 · 로 표시한 연산을 · 로 표기해야 할 이유는 없다. * 도 좋고 아무래도 좋은데, 그냥 관습상 · 로 표기하는 경우가 많고, 생략하길 좋아할 뿐이다. · 는 곱셈도 될수 있고, 덧셈도 될수 있고, 또는 행렬곱이 될수도 있다.
항등원도 e 등으로 표기해도 좋으나 대수학자들이 1로 표기하는 걸 좋아하는 경우가 많다. 역원도 마찬가지다. 분수꼴로 표기하고 싶으면 그래도 되고 지수에 -1 을 쓰거나 프라임을 붙여도 좋다. 어떠한 표기를 쓰던지 간에 그것이 통상적인 표기와는 아무런 상관이 없다는 걸 인식하고 있는 것이 중요하다.
예를 들어보자.
예1 ) 정수집합 Z 는 보통의 덧셈 + 에 대해 군이다. ( Z under the ordinary addition is a group )
닫혀있고, + 는 결합적이고, 항등원 0 ( 진짜 숫자 0 ) 이 있고, 모든 원소가 + 에 대한 역원을 갖는다.
예2 ) 성분이 모두 실수로 되어있고, n x n matrix 들 중에서 invertible 한 것들의 집합은 보통의 행렬곱에 대해 그룹이다.
---------------------- 아벨리안 그룹 ( Abelian Group , 아벨군 , 가환군 ) ----------------------
어떤 집합 G 가 commutative 연산 · 에 대하여 group 이면, 이를 Abelian Group 이라고 한다.
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관습적으로, commutative 한 연산을 + 로 표시한다. ( 물론 보통의 + 과는 상관이 없다. )
< G , + > 으로 표시하면 아벨군임을 나타내는 것이 보통이다.
위에서의 (예1) 은 아벨군인데 반해, (예2) 는 비아벨군이다.
하나의 연산으로 구성된 구조인 군과는 달리, 두개의 연산으로 구성된 구조가 링이다.
------------------------------- 링 ( Ring , 환 ) -------------------------------------
어떤집합 R 이 두개의 이항연산 + , · 과 함께 다음의 성질들을 만족할때,
알제브레익 스트럭처 < R , + , · > 를 ring 이라고 한다.
R1 ) < R , + > 는 아벨리언 그룹이다.
R2 ) · 는 associative 하다
R3 ) left & right distributive law of · over + 가 성립한다.
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두개의 연산과 함께 묶은 수학적 구조를 링이라고 하지만, 군에서와 마찬가지로 혼동의 우려가 없을때 연산에 대한 언급을 대체로 생략하고 집합자체를 링이라고 부른다. 연산에 대해 닫혀있을 조건은 당연해서 쓰지 않았지만, 항상 기본적으로 염두에 두어야 한다.
위에서 R 로 나타난건 링을 나타내기 위한거지 리얼넘버 집합을 말하는게 아니다. 또한 위의 이항연산 + 도 커뮤터티브(교환법칙성립하는) 연산을 나타내는거지 실수의 덧셈이 아니다. 마찬가지로 · 도 실수의 곱셈이 아니다. 그냥 일반 이항연산이다. 그럼에도 불구하고, + 을 addition(덧셈) 이라고 부르고, · 을 multiplication(곱셈) 이라고 부른다.
헷갈리게 왜 + , · 로 했느냐 하는것은 대수학자들의 관습이다. 혼란을 가중시킬 우려가 있긴 하지만 익숙해지면 오히려 편하다.
또한, · 은 그룹에서와 마찬가지로, 생략한다. 즉 문자를 연달아쓰면 그것을 · 이 적용된것으로 이해한다. 이러한 관습은 비록 약간의 혼동을 야기시킬수 있지만 우리의 습관과 일치한다.
한술 더떠서, 멀티플리케이티브 아이덴티티를 1 로 "표시"한다. ( 진짜 숫자 1 을 의미하는 것이 아니다. 참고로 unity 라고 부른다. ) 감 잡았겠지만, 어디티브 아이덴티티는 0 으로 "표시" 한다. ( 역시 실수의 덧셈도 아니고, 값 0 도 아니다. )
링의 조건에 멀티케이티브 아이덴티티 조건이 없음에 주의하자. 즉, 1 이 있을수도 있고, 없을수도 있다. 반면에 0 은 있어야 겠다. ( 연산 + 에 대해서 아벨군이라고 했으므로... ) 아무튼 1은 없을수도 있고 있을수도 있으므로, 1이 있으면 Ring with unity 라고 말하면 된다. 그리고, 링의 각 원소에 대해서, 멀티플리케이티브 인버스를 가지는 녀석들을 unit 이라고 부른다.
예를 들어보자.
예1 ) 정수집합을 Z 라고 하자, + 를 보통의 덧셈으로 , · 을 보통의 곱셈으로 하면, < Z , + , · > 는 링이다. 간단히 "정수집합은 링"이다.
예 2 ) 어떤 집합 A 에 대해 A의 원소들을 성분으로 갖는 n x n matrix 들의 집합을 Mn( A ) 라고 나타내기로 하고, + 를 보통의 행렬합, · 를 보통의 행렬곱(이따위로 말하는건 행렬곱의 종류가 다양하기 때문이다.)으로하면, A 가 링일경우, < Mn( A ) , + , · > 도 링이다. 연산표시를 생략하는 이유가 느껴지지 않는가. 어차피 맨날 + , · 로 쓰는거... Mn( A ) 가 링이다 라고 말하는게 더 편하다. ( 물론, 각연산이 무엇을 가리키는지에 대해서는 혼동의 여지가 없어야 한다. )
------------------------------ 디비전 링 ( Division Ring ) -------------------------------------
Ring with unity (≠ 0) R 에 대해, 모든 논제로 엘레먼트가 유닛이면 R을 디비전링 이라고 한다.
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즉, · 에 대한 항등원과 + 에 대한 항등원이 각각 따로 있으면서, 모든 0아닌 원소가 곱에대한 역원을 갖고 있으면 그 링을 디비전 링 이라고 한다. (곱에 대한 역원을 갖으므로 나눗셈이 정의가능하고, 따라서 디비전 링이라고 부른다.)
------------------------------- 필드 ( Field , 체 ) , 링으로 부터 ... ----------------------------------
Field := commutative 디비전 링
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그니까 · 도 가환연산이어야 되는것이고 ( 마치 실수에서의 곱셈이 그렇듯 ! ) , 모든 논제로 엘레멘트가 곱에대한 역원을 가져야 하는것이다. ( 마치 실수가 그렇듯 )
즉, 링중에서
1) 0 아닌 1 을 가져야하고
2) · 가 커뮤터티브 해야하고
3) 모든 0 아닌 원소가 · 에 대한 역원을 가질때... ( 즉 유닛 일때... )
그러한 링을 필드 라고 한다는 말이다. 그런데, 이미 링조건에서 · 이 associative 인데다, · 에 대한 항등원 (즉, 1) 있어야 되고, 0만 빼면 · 에 대한 역원도 있어야 되기 때문에... < F - {0} , · > 은 그룹이된다. 게다가 · 가 commutative 해야 한다고 했으므로 < F - {0} , · > 은 아벨군이어야 한다는 뜻이다.
위에서 필드를 정의한 방식은 링 -> 디비전 링 -> 커뮤터티브 디비전링 으로 정의를 했지만, 그룹이나 링에 대한 설명없이 ( 그러한 것들이 주된 내용이 아닐 때 ) 그냥 바로 필드 컨디션을 정의하면... 다음과 같이 쓸수 있다.
--------------------------------- 필드 (Field , 체 ) , 연산의 관점에서 ... -----------------------------------
어떤집합 F 가 두개의 이항연산 + , · 과 함께 다음의 성질들을 만족할때,
알제브레익 스트럭처 < F , + , · > 를 field 라고 한다.
F1 ) + , · 둘다 commutative
F2 ) + , · 둘다 associative
F3 ) + , · 둘다 항등원 존재
꽃보다 남자 ) + 는 역원 존재, · 는 0 빼고 역원 존재
F5) 좌우 분배법칙 ( of · over + )
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그러나 뭐니뭐니해도 역시, 간단하게 기억하는것이 좋은것같다. 앞에서 이미 언급했던 것처럼 < F - {0} , · > 가 아벨군임을 상기하며, 두개의 아벨군과 두 연산사이의 분배법칙으로 필드를 간단하게 정의할 수 있다.
--------------------------- 필드 ( Field ) , 두개의 아벨군의 관점에서... ---------------------------
< F , + , · > 가 필드라는 것은,
1. < F , + > 가 아벨군 ( R1 과 동일 )
2. < F - {0} , · > 도 아벨군
3. · 의 + 위로의 분배법칙 ( R3 와 동일 )
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예를 들어보자.
예1 ) 정수집합은 보통의 덧셈과 곱셈에 대해 링이지만 필드는 아니다. ( 곱셈에 대한 역원이 없다. )
예2 ) 어떤 링 R 에 대해, Mn( R ) 은 링이지만 필드는 아니다. ( 연산은 보통의 행렬합, 보통의 행렬곱 )
예3 ) 실수집합 R (예2의 R과 다름) 은 보통의 덧셈, 곱셈에 대해 필드이다.
예4 ) Zn = { 0, 1, ... , n-1 } 이라고 하고, 덧셈과 곱셈을 modulo n 으로 하면, n 이 prime number p 이면, Zp 는 field 이다. ( why ? )
이제 벡터스페이스를 정의할 준비가 완료되었다.
-------------------------- 벡터스페이스 ( Vector Space ) -------------------------------------------
어떤 집합 V 가 어떠한 필드 F 에 대하여, 두 연산 addition + , scalar multiplication · 과 함께, 다음과 같은 조건을 만족할때, V 를 a Vector space over F 라고 한다.
( 아래의 표기에서, a, b ∈ F , x , y ∈ V 라고 하자 )
- Addition + -
VS1 ) commutative
VS2 ) Associative
VS3 ) identity , 0 ( zero vector , F 의 0 과 구별하기 위해 표기상 뭔짓이든 하는게 좋다. 볼드체를 쓴다던가... )
VS4 ) inverse , -x for each x
- Scalar multiplication · -
VS5 ) 1x = x ( 1 ∈ F )
VS6 ) (ab)x = a(bx) ( 일종의 결합률 이라고도 할 수 있지만, 엄밀하게는 결합률은 아님 )
- Distributivity -
VS7 ) a ( x + y ) = ax + ay
VS8 ) ( a + b ) x = ax + bx ( 일종의 분배율 이라고 볼 수 있지만, 엄밀하게는 분배율은 아님 )
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연산에 대해 닫혀있음은 당연해서 따로 쓰지 않았다. 하지만 항상 제일먼저 체크해야 할 항목이기도 하다.
위에서 필드 F 역시도 알제브레익 스트럭처로 두개의 연산을 가지고 있는데, 우리의 관습상 역시 + 와 · 로 표기하는것을 선호하므로, 혼동을 야기시킬수 있음에 주의한다. 게다가 F 에서의 연산 · 과 V 에서의 연산 · 는 둘다 표기를 생략하고 문자를 나란히 쓰는것을 좋아한다.
특히 · 은 진하게 쓰면 , 통상적으로 벡터의 닷프로덕트로 쓰여서, 표기시 여간 짜증이 나는게 아니다.
닷프로덕트는 이너프로덕트의 범주에 따라 그것과 일치하기도 혹은 포함되기도 하는데, 이너프로덕트는 V x V -> F 로 가는 펑셔널이고, 이너프로덕트 스페이스는 선형대수의 중요한 테마이기도 하다. 아무튼 일일이 언급하기도 짜증난다. 하지만 그 차이들은 반드시 염두에 두어야 한다. 그렇지 않으면 다른 공간에서의 연산간의 맵을 이해하는데 총체적인 혼란을 겪게 될 것이다.
위의 내용을 좀 살펴보자.
VS1 부터 VS4 까지 addition 에 대해 서술해놨는데, 이 addition 은 V 에서의 연산이다. 0 역시도 F 에서의 0 이 아닌 V 에서의 0 이다. x ∈ V 일때 -x 는 x의 역원을 나타내고 이것은 모두 V 에서의 일이다. 저 마이너스와 숫자 마이너스와는 상관이 없다. 또한 F 에서의 -는 F에서의 덧셈에 대한 역원을 나타내기 위한 것이고, 저 마이너스는 V에서의 - 이므로 V 에서의 역원을 나타내는것이다. 예를들면, -1 은 1 ∈ F 의 역원이다.
그래서, ( -1 ) x 는 x ∈ V 에 -1 ∈ F 를 scalar multi. 한것이고, -x 는 x ∈ V 의 역원이므로 개념상 완전히 다른것이다. 하지만, (-1)x = -x 임을 "증명"함으로써, 상관이 있음을 알수 있다. 참고로 이것을 증명할때 (-1)x = -(1x) = -x 는 잘못된 증명이다. 첫번째 등호는 VS6 가 아니다. 첫번째 등호는 다른방법으로 증명해야한다.
VS5 의 1 은 F 에서의 멀티케이티브 아이덴티티이지, 숫자 1이 아니다. 그것이 V 의 scalar multiplication 이라는 연산에 대해 어떠한 역할을 하는지를 보여준다. 즉 V와 F 사이에 직접적인 관계를 이야기 하고 있다.
VS6 도 마찬가지로 V 와 F 사이의 연결을 보여준다. 이것은 통상의 결합법칙이 아니다. ab 와 x 가 서로 다른 집합에 속해있기 때문이다. 동등한 대상이 아니다.
VS7, VS8 은 통상의 분배법칙이 아니다. 특히, VS7 은 좌변과 우변이 같은 연산인 반면, VS8 은 좌우 연산이 다르다. 이게 아주 중요한 컨셉인데... ( a + b ) x 에서 의 + 는 F 의 덧셈이고, ax + bx 의 + 는 V 에서의 덧셈이다. 상당히 복잡하면서도 흥미로운 맵이다.
참고로, VS2 ~ VS4 는 < V , + > 가 그룹임을 말하고 있고, VS 1 까지 추가되면서 , < V , + > 가 아벨군임을 말하고 있다.
따라서, 좀더 간단히 벡터스페이스를 말할 수 있다.
----------------------------------- Vector Space , 좀더 간단히 ... ----------------------------------
a Vector Space V over a field F
1. < V , + > 는 아벨군
2. 1x = x ( where 1 = multiplicative identity in F )
3. (ab)x = a(bx)
4. a ( x + y ) = ax + ay
5. ( a + b ) x = ax + bx
( where a , b ∈ F , x , y ∈ V )
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리니어 앨지브라에서 V over F 에서 F의 원소를 스케일러라고 하고, V 의 원소를 벡터라고 부르지만... 여기서의 벡터와 스케일러 두가지 개념 모두 물리학에서 정의하는 벡터, 스케일러와는 다른 개념의 것이다.
선형대수의 벡터와 물리적인 벡터와는 차이가 있음을 예를 통해 확인해보자.
예1 ) a nonmepty set S 와 어떤 필드 F 에 대하여,
F ( S , F ) 를 S 에서 F 로 가는 모든 함수들의 콜렉션이라고 하자.
addition 과 scalar multi. 를 통상적인 방식으로 정의하면...
F ( S , F ) 는 벡터스페이스 over F 가 된다.
즉, 이경우 벡터는 함수이다. ( 크기와 방향을 갖는 물리적 벡터와는 다르다. )
예2 ) P(F) 를 필드 F 의 원소들을 계수로 하는 모든 다항식의 집합이라고 하자.
addition 과 scalar multi. 를 통상적인 방식으로 정의하면...
P(F) 는 벡터스페이스 over F 가 된다.
즉, 이경우 벡터는 다항식이다. ( 역시 물리적 벡터와는 다르다. )