Weistern's

[복소변수함수] Residues at Poles

Math/Complex2009. 7. 30. 01:55 |

레지두에 대한 이야기를 더 전개하기 위해서, 우리는 isolated 싱귤러 포인트를 분류하려고 한다.

특히, 로렌트 시리즈의 음의지수 파트의 형태를 가지고 분류를 하는데, 그 음의지수 파트를 간단히 principal part of f at z0 라고 부르자
( when f 를 싱귤러 포인트 z0 를 중심으로 로렌트 전개했을때... )

프린서펄 파트에 의한 isolated 싱귤러 포인트는 다음과 같이 세가지로 분류할 수 있다. ( 여기서는 그것들의 본질적인 성질을 다루는것은 아니다. 가령 pole 을 왜 pole 이라고 부르는지 따위에 대해서는 나중에 더 생각해보자. )

1. pole
2. removable singular point
3. essential singular point

1. pole
pole 은... f(z) 를 isolated singular point z0 를 중심으로 로렌트 전개했을때, 프린서펄 파트가 있으나 유한개일 때를 말한다.
principal part 가 m 개일때, z0 를 pole of order m 이라고 부르고, 오더가 1 일때를 보통 simple pole 이라고 부른다.
예) sinh z / z^4 은 폴 오브 오더 3 at z=0 , with residue 1/6 를 갖는다.

2. removable singular point
어떤 경우에 f(z) 가 z0 에서 싱귤러리티를 갖음에도 불구하고, 막상 전개해보면 프린서펄 파트가 없을때를 말한다. (즉, 대응되는 계수가 전부 0 이 되어버림 )
이러한 싱귤러 포인트들은 f(z0) 를 재정의 해줌으로써 제거가 가능하다. 리무버블 싱귤러 포인트인 경우에는 레지두는 당연히 0 이다.
예) ( 1 - cos z ) / z^2 은 z=0 에서 리무버블 싱귤러 포인트를 갖고, f(0) = 1/2 로 redefine 해주면, f 는 entire 해진다.

3. essential singular point
이건 프린서펄 파트가 무한개일 때를 말한다.
예) exp ( 1/z ) 는 z=0 에서 이센셜 싱귤러 포인트를 갖는다. with residue = 1 .

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이제 isolated 싱귤러 포인트가 폴인 경우에 대해 좀 더 살펴보자.

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( Φ(z) 는 z0 에서 어낼러틱 )

우선. => 방향 증명부터...

zo 가 폴 오브 오더 m 이면, zo 를 중심으로 하는 어떤 punctured disk 에서, z0 를 중심으로 다음과 같은 로렌트 시리즈를 갖는다.

(z-z0)^m 으로 통분하면...

<= 방향 증명은... 분자의 Φ(z) 가 어낼러틱하므로, 테일러 전개한다음, 분모 (z-z0)^m 으로 나누면 쉽게 보일 수 있다.

특히, 이렇게 전개된 상태에서, Residue 는 a_m-1 이므로, 이것을 구하면 된다. 이것은 단지 Φ(z) 의 m-1 승 텀의 테일러 계수일 뿐이다. 즉, 아래의 결과는 당연하다.

특히, 심플 폴일때 , 즉 m=1 일때는, 레지두 값이 그냥 분자함수에 z0 를 대입한것과 같아진다. 단, 0 이 아니어야 한다.

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예제를 풀어보자.

Cauchy's Residue Theorem ( 유수 정리 )

Math/Complex2009. 7. 29. 10:06 |

코시 인테그랄 포뮬러를 다시 살펴보자.

코시 인테그랄 포뮬러의 적분식을 보면, f(z)/(z-w) 형태인데, 특히 f가 어낼러틱해서, 컨투어에 의해 감싸진 영역에서는 싱귤러 포인트는 w 하나만 갖게 된다.

컨투어 내부에 싱귤러 포인트가 한개가 아니라 몇 개가 있는 경우에는 path deformation 을 해주면 되는데, 각 싱귤러 포인트들을 하나씩만 감싸는 작은 컨투어들을 잡으면 ( 당연히 positively oriented 로 다가.. ) 결과적으로 각 컨투어들에 대해서 적분한것들의 합이 전체를 감싼 컨투어 인테그랄과 같게 된다 by Cauchy-Goursat Thm.

그러니까, 각각의 싱귤러 포인트를 하나씩만 감싼 컨투어 인테그랄을 코시 적분공식으로 구해서 더하면 되는데, 그럴려면 각 싱귤러 포인트들이 독립적으로 한개씩 찢어져 있어야 한다는 말이 된다.

즉, 두개의 싱귤러 포인트가 무한히 가깝게 붙어있어서 아무리 작은 네이버후드를 잡아도 한놈만 포함할수 없는 지경이라면, 코시 적분공식을 쓸수가 없는 것이다. ( 물론, 달랑 두개로는 이런짓을 할 수 없다. )

아무튼, 우리의 전략이 요구하는 바는, 싱귤러 포인트들이 각각 따로 따로 하나씩 떨어져있어야 한다는 것이다.

조금더 정제해서 타펄롸지컬리 표현하자면, f(z)의 모든 싱귤러 포인트들의 집합을 S 라고 할때, 우리가 적분하고자 하는 컨투어에 의해 감싸져 있는 싱귤러 포인트들 ( 당연히 S 의 원소들이다 ) 이 S 의 리미트 포인트가 아니어야 한다. 즉, isolated points of S 여야 한다는 거다.

S의 리미트 포인트 라면, 아무리 그 싱귤러 포인트를 중심으로 네이버후드를 잡아도, 항상 다른 싱귤러 포인트를 포함하게 되므로, 한 놈만 감싸는 그런 컨투어는 잡을 수가 없다. 반대로, limit point of S 가 아니라면, ( 즉, isolated pt of S 라면 ) 그 싱귤러 포인트만을 포함하는 네이버후드가 존재하고, 따라서 그 네이버후드의 바운더리를 컨투어로 잡으면 원하는 목적을 달성할수 있게된다.

참고로 S가 리미트 포인트를 갖으려면, S가 무한집합이어야 하므로, 싱귤러 포인트가 고작 유한개인 경우는 무조건 isolated singular point 들 밖에 갖을 수 없다.

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이제 f(z) 를 컨투어 C 에 대해서 적분하려고 할때, C 내부에서 f(z) 가 싱귤러 포인트 몇개를 갖는다고 하자. 즉, 모두 isolated singular points 들이다.

이제, 각각의 싱귤러 포인트들을 하나씩만 감싸는 컨투어를 잡은다음 각각 적분값을 더하면 그만인데, 문제는, 코시 적분공식을 쓰려면 싱귤러 포인트 s 에 대해 1 / ( z - s )^n 따위의 항을 가지고 있어야 한다는 것이다.

방법은, 적분하려고 하는 함수 f(z) 를 싱귤러 포인트 s 를 중심으로 로렌트 전개하면 1/(z-s)^n 과 같은 항들이 나오게 되고, f(z)의 적분을 로렌트 시리즈의 항별적분으로 ( 유니폼 컨버전스 이야기는 생략한다. ) 계산하는데, 이것을 코시 적분공식으로 하는 것이다.

싱귤러 포인트 s가 isolated 되어 있으면, s를 중심으로한 f(z)의 로렌트 시리즈는, s만 포함하도록 잡은 컨투어를 포함하는 punctured disk ( 0 < |z-s| < r ) 를 도메인으로 해서 전개된다. 물론, punctured disk의 구멍은 그 싱귤러 포인트 s 가 된다.

예를들어, exp ( 1/z ) 를 중심이 원점인 원 위에서 적분한다고 하자. (말없으면 ccw)

exp (1/z) 는 원점에서만 싱귤러 포인트를 갖으므로, 당연히 isolated 되어있고, 이것을 원점에 대해서 로렌트 전개한후에, 항별적분한다.

우변의 두번째 적분을 제외한 모든 적분항은 0 이 되는데, 그것은 적분하고자 하는 컨투어위와 내부에서 모두 역도함수를 갖기 때문이다. 역도함수를 갖으면, 적분이 경로에 무관해지고 따라서 closed contour 에 대한 적분은 0 이다.

반면, 두번째 항은 브랜치 컷에서 역도함수를 갖는데 실패하므로, 0 이 된다고 말할수 없고, 간단히 코시 인테그랄 포뮬러에 의해 2 π i 가 된다. 물론, 세번재항 이후의 적분들은 , 제너럴 라이즈드 코시 인테그랄 포뮬러를 쓰면 모두 0 이 됨을 확인 할 수 있다.

위의 느낌을 좀 더 진행시키면, f(z) 의 어떤 isolated 싱귤러 포인트 zo 를 하나만 감싸는 simple closed contour C 에 대한 적분을 살펴보자.

그럼 앞에서 한것처럼 , 중심이 z0 인 punctured disk 를 C 를 포함해서 잡는다. 물론, 다른 싱귤러 포인트는 들어가지 않도록... 그래서 그 영역을 수렴영역으로 해서, z0 를 중심으로 하는 f(z) 의 로렌트 전개를 하고, 제너럴라이즈드 코시 적분공식으로 항별 적분하면...

로렌트 시리즈의 각 계수는 상수들 이므로, 적분기호 밖으로 빼고, 지수가 nonnegative 인 항들의 적분은 모두 0 이된다. ( 피적분함수가 해당영역에서 모두 어낼러틱함 , 따라서 Cauchy-Goursat 에 의해 적분은 0 )

지수가 -1 보다 작은 텀들, -2 , -3 , -4 , .. 들도 모두 적분은 0 이다. 제너럴 라이즈드 코시 인테그랄 포뮬러를 쓰면 상수를 미분해야 되므로, 모두 0 이다.

따라서, 다 죽고, 지수가 -1 인 항의 적분만 남는다. 이런 젼차로, 그 계수를 f(z)의 z0 에서의 Residue 라고 부른다. 번역 용어로는 "유수" 라고 부른다고 한다.

레지두(residue) 의 정의는 다음과 같다.

복소함수 f(z) 를 isolated 싱귤러 포인트 s 하나를 중심으로 punctured disk 에서 로렌트 전개했을때,
-1 차항의 계수를 f 의 s 에서의 레지두 라고 부른다.

그리고, 레지두와 함께 살아남은 적분항의 값은 2 π i 이므로, 좌변의 적분값은 Residue * 2 π i 가 된다.

따라서, 일반적으로, 싱귤러 포인트 하나만 감싸는 컨투어에 대한 적분은 다음과 같다고 할 수 있다.

그러므로, 맨 처음에 했던 이야기와 접목시키면... 컨투어 내부에 유한개의 isolated 싱귤러 포인트들이 있을때, 각각의 싱귤러 포인트 한개씩만 감싸는 컨투어들에 대해서 residue 값으로 적분값을 구한다음 모두 더하면, 원래의 컨투어에 대한 적분값이 나올것이므로... 다음의 Cauchy's Residue Theorem 을 얻는다.

Residue 를 나타내는 기호가 two line 노테이션이라서, 타자로 칠때 좀 불편하므로, 종종 Res( f ; s0 ) 따위의 노테이션을 쓰도록 하겠다. 뜻은 똑같다. f 의 s0 에서의 레지두. ( 참고로, 꼭 positively oriented simple closed contour 가 아니더라도, 가령 반대로 돈다던가 하면, 그땐 2 π i 대신 - 2 π i 이므로, - 부호만 써주면 된다. )

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예제를 풀어보자.

피적분 함수의 싱귤러 포인트는 원점과 z=2 인데, 적분하고자 하는 컨투어 내부에 들어간 싱귤러포인트는 z=2 밖에 없다.

피적분함수를 z=2 를 중심으로 로렌트 전개하고, 레지두를 구한다음, 2 π i 를 곱하면, 적분값을 계산할 수 있다.

같은 계산을 이번에는, 코시 인테그랄 포뮬러로 구해보자. 왜냐면 컨투어 내부에 싱귤러 포인트가 하나밖에 없으으니까...

피적분함수의 분모를 z-4 의 4승 으로 보고, 분자 g(z) = 1/z 라고 하면, 이 적분값은 1/z 를 3번 미분하고, z=2 를 대입한 후에, 3 ! 로 나누고, 2 π i 를 곱해주면 된다.

1/z 를 세번 미분하면... -6 z^(-4) 이고, z=2 를 대입하면... -6 * (1/16) 이된다. 이걸 3 ! 로 나누면... - 1/16 이 되고... 여기에 2 π i 를 곱하면, - π i / 8 로 동일한 답이 나온다.

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이번에는 컨투어 안에 두개의 싱귤러 포인트가 있는 경우를 적분해보자.

참고로 이경우에는, 부분분수로 쪼개서 푸는게 더 쉽다.

[복소변수함수] Laurent Series (로렌트 급수, 로랑 급수)

Math/Complex2009. 7. 27. 10:25 |

캘큘러스에서 배웠던 테일러 시리즈는 복소에서도 마찬가지로 유효하다.

대신, 수렴반경이 진짜 "반경" 이 된다. 그리고, 오픈디스크 내에서 holomorphic 이기만 하면 충분하다.

보통, 테일러 정리 증명은 시리즈의 파샬섬과 함수사이의 차이가 0 으로 다가간다는 것을 보이는 데, 우리는 그러한 엄밀한 방법 말고, 느낌만 얻을수 있는 스토리로 가자.

f(z) 가 중심이 원점이고, 반경 R 인 반시계방향으로 도는 컨투어 위와 안쪽에서 어낼러틱하다고 하자. 그러면 임의의 내부점 z 에 대해서 f(z) 는 코시 인테그랄 포뮬러에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

이때 피적분식에서 1 / ( w-z ) 를 기하급수로 전개하자.

w 는 C 위에 있고, z 는 안쪽에 있으므로 수렴조건을 만족한다.

이제 서메이션 기호를 적분식 밖으로 빼자. 이때 요구되는 조건은 유니폼 컨버전스인데, 해석때 얘기하기로 하고, 된다고 치고 그냥 빼자.

그런데, 계수 an 을 나타내는 적분식의 w 는 어차피 dummy variable 이므로, 아래와 같이 써도 된다.

단, 좌변의 f(z) 에서 z 는 도메인 내부점이어야 하지만, an 을 나타내는 적분식 안에 들어있는 f(z) 의 z는 더미 베리어블이므로, 좌변의 z와는 무관하다. 대신 적분경로에 드러나있듯이 C 상의 점들이다.

참고로 중심을 z0 로 쉬프트 시키고, 코시 적분공식을 쓰면, 원하는 결과를 얻는다.

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이제 로렌트 급수를 볼 차례이다.

미적시간의 기억을 되살려보자. 테일러 급수가 중심이 0 일때를 특히 맥로린 급수라고 했는데, 문제는 1/x 는 맥로린 급수로 전개할 수가 없다는 것이다. 1/x^2 도 마찬가지고, 1/x^3 도 마찬가지다. 즉, 저런녀석들은 0 에서 어낼러틱 하지 않다.

그러면, 임의의 함수를 1/x , 1/x^2 , 1/x^3 , ... 쪽으로도 전개하는 건 어떨까?

마찬가지로, 중심을 z0 로 쉬프트 시키면...

이제 할일은 계수를 계산하는 일 ( with 어떤 조건하에서... ) 이다.

로렌트 시리즈는 테일러 시리즈의 일반화로 생각될수 있으므로, 테일러 시리즈는 로렌트 시리즈에서 음수차수를 갖는 항들의 계수가 모두 0 인 특별한 케이스라고 말할 수 있다.

로렌트 시리즈에 대한 감을 얻기 위해, 직접 예를 하나 살펴보자.

결과적으로, 로렌트 시리즈를 두 파트로 나누면, 양수 지수쪽은 반경 R 안쪽에서 수렴하는 테일러 급수고, 음수 지수쪽은 1/z = w 로 치환하면 역시 테일러급수이고, w가 반경 r 안쪽에서 수렴하는데, 다시 환원시키면 z 가 반경 r 바깥쪽에서 수렴하게 되어, 결국 위와같은 도넛모양의 수렴영역이 나오게 된다.

중심을 z0 로 이동시키면, 로렌트시리즈의 수렴영역은 보통 r < | z - z0 | < R 꼴이고, R 이 무한대 일수도 있고, r 이 0 일수도 있다. 물론 r=R 이 되어버린다던가 하면 테일러때도 그랬던 것처럼 수렴영역이 없어져버린다. 그리고, r = 0 인 경우, 수렴영역은 punctured disk 이다.

아무튼, 그래서 로렌트 시리즈는 다음과 같다.

일단 이것이 테일러 급수를 포함하는 개념인지 확인해보기 위해, 테일러급수의 상황, 즉, f 가 반경 R 안쪽에서 어낼러틱하다고 해보자. 즉 내부에 싱귤러 포인트가 없는경우다.

그러면, 음수지수에 대한 계수의 피적분식은 n=-k ( k ≥ 1 ) 라고 하면, f(z) / (z-z0)^(-k+1) 가 되고, 이것은 f(z) (z-z0)^(k-1) 이므로, 이 자체가 z0 에서도 어탤러틱하다. 따라서, 코시-구르사 정리에 의해 적분값은 0 이 된다. 즉, 음수 지수에 대한 계수들이 모두 0 이 되고, 곧 테일러 급수가 된다.

Note. 여기서 zo 는 도넛, 즉, 원의 중심이다. 그런데 f 는 도넛내부에서만 어낼러틱하면 되고, 도넛의 가운데 구멍영역에서는 어낼러틱하지 않아도 되는 상황이다. 그런데 z0 는 도넛의 중심이므로 도넛의 안쪽 구멍에 위치한다. 전개되는 항들을 보면 (z-z0) 의 음수지수들은 모두 z0 에서 어낼러틱하지 않다. 결국, 음수지수들은 z0 에 대해 어낼러틱하지 않은 텀들로 전개하고 있는것이다. 즉, 0에서 어낼러틱하지 않은 함수를 0 을 중심으로 전개할때, 중심에서 어낼러틱하지 않는 1/z , 1/z^2 , ... 들로 전개하는 것이다. (물론 양수지수 텀들에 추가적으로 ... )

아무튼 위의 정리가 사실이라면, 신기하게도 음수지수에 대한 계수도 양수지수에 대한 계수와 형식적으로 같은 폼을 갖는다는 것인데... 사실 이것은 이미 우리가 앞의 예제에서 음의지수쪽도 1/z = w 로 치환해서 테일러 급수를 얻었던 아이디어를 생각해보면, 매우 그럴싸한 것이다.

증명은, 우선 원점이 중심일때를 하고, 그리고 나서 중심을 이동시키기로 하자.

우선 중심이 원점인 도넛영역에서 f 가 어낼러틱 하다고 하자. 안쪽 반지름을 r , 바깥쪽 반지름을 R 이라고 하자. positively oriented 된 두개의 컨투어를 각각 Cr , CR 이라고 하자.

도메인내에 임의의 점 z 에 대해, z를 둘러싸는 아주아주 작은 원 cρ 를 잡고, 다음과 같이 컨투어를 deform 하자.

그러면, 변수를 w 라고 하면, f(w) 는 C1 과 C2 내부에서 어낼러틱하고, C1 , C2 의 내부영역이 z 를 포함하지 않으므로, f(w) / ( w - z ) 는 C1 , C2 내부에서 어낼러틱 하다. 따라서 Cauchy-Goursat theorem 에 의해 아래와 같이 된다.

특히, 세번째 적분은 코시 인테그랄 포뮬러를 쓰면...

가 되므로... f(z) 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이제 테일러때 했던것 처럼, 1/(w-z) 와 1/(z-w) 를 시리즈로 전개하자.

그런데, f(w) / w^(n+1) 은 Cr 과 CR 사이의 영역에서 어낼러틱 하므로, principle of deformation 에 의해서 그것의 Cr 에 대한 적분이나 CR 에 대한 적분이나 같다. 마찬가지로 Cr 과 CR 사이에 있는 임의의 positive oriented simple closed contour C 에 대해서도 같다.

따라서...

그리고, 적분변수 w 는 dummy 이므로 그냥 z로 써도 상관없다. 결과적으로 두파트의 써메이션을 한번에 쓸수 있고, f(z) 는 다음과 같이 된다.

이제, 중심을 원점에서 z0 로 이동시키면, 최종적으로 원하는 식이 얻어진다.

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예제로 exp ( 1/z ) 의 시리즈 레프리젠테이션을 구해보자. 이경우는 exp z 를 알고있으므로, 간단하게 로렌트 시리즈를 구할 수 있다.

Cauchy Integral Formula ( 코시 적분공식 )

Math/Complex2009. 7. 25. 02:22 |

C 가 어떤 simple closed contour in the positive sense 라고 하고, f 는 C 위 & 내부에서 어낼러틱 하다고 하자.

그러면, C 의 내부에 있는 모든점 w 에 대해 다음이 성립하고, Cauchy Integral Formula 라고 부른다.

이때, f 는 C 안쪽에서 어낼러틱하지만, 1/(z-w) 가 곱해졌으므로, 내부영역의 어떠한 w 도, f(z) / (z-w) 에 대한 singluar point 임에 유의하자. 그렇지 않다면 코시-구르사 정리에 의해 적분값은 0 이 될 것이다.

특히, 피적분함수 f/(z-w) 가, 컨투어의 내부에서 싱귤러 포인트를 오직 하나 w 만 가지고 있음에 유의한다.

아무튼, 증명은 다음을 보이는 것으로 진행된다.

증명의 스케치는 이러하다. 우선 f(z) / (z - w ) 가 고려영역에서 w점을 빼고는 어낼러틱하다. 따라서, w 점을 감싸는 positive 방향으로 아주 작은 원으로 contour를 잡으면, 코시-구르사 정리와 path deformation 하면 C 에대한 적분이나 그 작은 원에대한 적분이나 같다.

또 f(w) / (z-w) 을 z로 적분할때 f(w) 가 밖으로 빠져나오고 2π i 가 되어 윗식의 두번째 항이 된다.

결국, 위에서 0 임을 보이고자 하는 좌변은 그 작은 원에 대해서 ( f(z) - f(w) ) / ( z - w ) 을 dz 로 적분한것과 같다. 즉, 이적분이 0 임을 보이면 된다. 적분에서의 삼각부등식과 입실론-델타를 써서, w를 감싸는 그 작은원을 작게만들어 이 적분값을 임의로 작게 만들수 있음을 보인다. 결과적으로 윗식을 증명한다.

코시 인테그랄 포뮬러는 변환관계로 볼수도 있는데, 아무튼 w 로 표시한 C 의 내부점을 변수로 볼 수 있으므로, w로 양변을 미분하면, 우변에서는 w로 미분하는것이 우변에서는 d/dw 가 적분식 안으로 들어갈수 있고, 몇 번 적용해보면 간단히 다음을 보일수 있다.

이식은 코시 적분 공식 자체를 포함하므로, Generalized Cauchy Integral Formula 라고 부르기도 한다. 당근 이거 하나만 기억하는게 더 경제적이다. 또한 위 식으로 부터, f 가 한번 복소미분 가능하면 ( holomorphic ) , 무한번 미분가능하다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 복소해석에서 왜 holomorphic 을 analytic 과 혼용해서 쓰는지를 말해준다. 복소에서는 한번 미분가능하면, 자동으로 무한번 미분가능해서 taylor 전개가 가능하다.

제너럴라이즈드 코시 인테그랄 포뮬러를 이용해 적분을 계산하는 예제를 풀어보자.

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그럼, 여기서 퀴즈~

FTC & Cauchy - Goursat theorem ( 코시 - 구르사 정리 )

Math/Complex2009. 7. 24. 02:01 |

f(z) 가 도메인 D 상에서 연속일때, 다음은 모두 동치이다.

이런걸 보통 줄여서 TFAE 라고 쓰는데, The Following Are Equivalent . 라는 뜻. 일전에 대수 수업때 선생님께서 , following은 복수취급이고 그래서 are 를 써야된다 라고 말씀하신 적이있는데, 이것은 following 자체가 복수이기 때문이 아니라, 뒤따라 나오는 것들이 복수이므로 지칭하는 바가 복수라서 복수취급되는 것이다. 가령 "다음(한가지 사항일때)은 참이다" 라고 할때는 The following is true. 라고 쓴다.

아무튼...

[TFAE] --------------------------------------------------------------
1) f(z) has an antiderivative in D
2) contour integral of f(z) is path independent in D
3) every contour integral of f(z) for any cloed contour in D is zero.
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사실 이 정리의 본질은 결국, FTC ( Fundamental Theorem of Calculus ) 와 같다. 간단하게 스케치만 해보자. ( 리얼에서의 FTC 는 이미 알고있다고 가정한다. )

사용자 삽입 이미지

이제 complex-valued 에 대한 FTC 가 되었고, 그것은 본질적으로 실적분과 다를게 없으므로 그대로 성립한다. 따라서...

사용자 삽입 이미지

복소수 버전의 FTC 인데, 이것은 실수일때 1차원의 양끝점에만 의존한다에서, 복소평면 2차원에서도 양끝점에만 의존한다는 더 파워풀하게 확장된 FTC 가 되겠다. 개념적으로 따지자면, 실적분의 FTC 가 정적분과 Antiderivatives 를 이어주었던것과 같이, 복소에서는 실적분의 정적분에 대응하는 개념이 컨투어 인테그랄이므로, 복소의 FTC 는 컨투어 인테그랄과 Antiderivatives 를 이어준다고 하겠다.

아무튼, 위의 TFAE 라고 한 정리는 이 FTC 만 알고있다면, 직관적으로 다 와닿는 이야기들이라고 생각한다.

물론, 이 FTC 가 실수일때보다 더 확장된 것은 맞지만, 복소에서는 실수일때보다 antiderivative 를 갖는것이 더 어렵다는 것을 간과해선 안된다.

또한가지 신경써야 할 것은, 칸투어가 포함된 도메인상에서 역도함수를 항상 갖어야 한다는 것인데, 그렇지 않을때는 위에서 TFAE 로 말했던 것들을 하나도 적용할 수 없다.

가령, -i 에서 출발해서 i 로 이르는 두개의 (원점이 중심인) 반원경로를 생각하자. 각각의 경로에 대해, 1/z 를 적분해보면, 한쪽은 π i 가 나오고 또다른 한쪽은 - π i 가 나온다. 즉, 적분값이 경로에 의존한다. 두 경로중에 - π i 가 나온쪽 경로를 반대방향으로 뒤집으면, 폐곡선에 대한 적분이 되고, 이때 적분값은 0 이 아닌 2 π i 가 된다. ( 이것은 [복소함수] #006 contour 적분 1 편 에서의 결과와 같다. )

폐곡선에 대해서 적분했는데도 0 이 안나온것은 폐곡선을 감싸는 어떠한 도메인을 잡더라도, 그안에 싱귤러 포인트인 원점이 들어있기 때문이고, antiderivative 인 log z 도 어떤 브랜치를 잡던지 간에, 그 브랜치 컷에서 log z 가 정의가 안되는데, 도메인 내에 브랜치 컷이 들어있어서, 그부분에서 1/z 을 antiderivative 를 갖지 않게 되기 때문이다.

그래도, FTC 를 이용해서 적분하는 방법이 있는데, 그것은 폐곡선 경로를 둘로 쪼개는 것이다. 그래서 폐곡선 C = C1 + C2 라는 두개의 조각으로 분리하고, C1 과 C2 를 감싸는 도메인 D1 , D2 를 원점 안지나게 잘 잡으면, 각각에 대해, 다른 브랜치컷을 갖어서, 각 브랜치 컷이 각 도메인을 크로스하지 않게 잡은 log z 는 역도함수가 되고, 곧바로 FTC 를 쓸수있게 된다. 이렇게 구한 값도 결국에는 앞에서 구한 결과 2 π i 와 같은 값이 나온다.

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이제 우리가 원하는 바는, 앤타이-디리버티브를 이용해서 끝점만 가지고 적분을 하는 것이다 !!

어떤 simple closed contour 를 생각해보자. ( simple closed contour 는 연결상태가 타폴롸지컬리 원과 같은 폐곡선으로, Jordan curve theorem 에 의해, 복소평면을 두 영역으로 나누고, 둘 중 하나는 반드시 bounded 된다. 증명은 터팔로지와 어낼러시스의 지식이 요구되나, 뭐 직관으로 충분하다. 특히, bounded 된 영역이 곧 interior of the contour 가 되고, 그렇지 않은 영역이 exterior of the contour 가 된다. 그리고, 그 컨투어는 당연히 boundary가 된다. 역시 , 직관으로 충분하다. )

아무튼, 어떤 f(z) 가 simple closed contour 에 대해서, 그 내부 (interior ) 와 컨투어 상에서 역도함수를 갖는다면, 이때는 당연히 적분값이 0 이 될 것이다.

그런데, exp ( z ² ) 의 적분을 생각해보자. simple closed contour 에 대해서 적분하려고 하는데, 문제는 저 함수가 antiderivative 를 갖는지 안갖는지를 잘 모르겠다는 말이다. antiderivative 를 알아야 갖는다고 말을 하겠는데, antiderivative 를 잘 모르겠다 이말이다. 그러니 지금으로썬 simple closed contour 에 대한 적분이 0 이라고 말할 수 없다. 앞에서 단순 폐곡선에 대한 적분이 0 이 아닌경우는 숱하게 보지 않았던가.

다행스럽게도, 위와 같은 문제를 해결해줄 아주 간결하면서도 중요한 정리가 있다.

Cauchy - Goursat theorem. ( 코시 - 구르사 정리 , 나는 코시-골삿 정리라고 읽곤했는데, 프랑스 사람이라 어떻게 발음해야 하는지 모르겠다. )

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코시는 f ' 이 연속이라는 가정을 하고, 정리를 증명했고, 50 년 뒤에, Goursat 이 그 가정을 제거했다. f' 이 연속이라는 조건을 제거하는 증명과정은 좀 어려우므로 생략한다. 자세한 내용은 관련 교과서를 참조하길 바란다. 참고로, 터팔로지 & 어낼러시스에 대한 내용이 주를 이룬다. 짜증나게 입실론 델타도 자꾸 나오고...암튼, 여기서는 코시의 정리만 증명한다. 즉, f' 이 연속이라고 가정한다.

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두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어가는 것은 Green's theorem 이다. 보통 그린의 정리는 잘 안외워지는 대신, 스토크스 정리하고 가우스 정리는 잘 외워지고 더 많이 쓰이는데, 그린 정리는 사실 그 둘의, 그리고 FTC 의 기하학적 확장에 대한 뿌리이다. 아무튼, Green's theorem 의 공간에서 선과 면에 대한 일반화가 Stokes' theorem 이므로, 그린의 정리가 생각이 안날땐, 스토크스 정리를 평면상의 simple closed path 에 적용하면 된다. 그니까 그냥 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어가는 부분을 스토크스 정리로 넘어와도 된다.

세번째 줄에서 네번째 줄로 넘어오는 것은 코시-리만을 대입한 것이다. 그래서 결과는 0 이 된다. 아 그리고, f' 이 연속이라고 하는것은 그린정리 쓸때 쓰였다. 그린정리를 쓰기위한 조건들로 편미분들이 연속이고 뭐 그런거 있는데, 복소에서 f' 이 연속이면, 결과적으로 f의 편미분들이 모두 연속이고, 그 성분함수들의 편미분들이 모두 연속이므로 그것이 쓰였다. 아 그리고 A 는 C 의 내부이다 -_-

아무튼, 심플 클로우즈드 컨투어에 대해서 적분값이 항상 0 이고, Goursat 에 의해 f' 이 연속일 조건도 제거되어, 간단히, f 가 어낼러틱이기만 하면 ( 물론, 폐곡선 위와 그 내부의 모든점에서 그래야 한다. ) 단순 폐곡선에 대한 적분은 0 이 된다.

따라서, 아까 exp ( z^2 ) 라는 함수는 정확히 역도함수가 뭔줄은 모르더라도, 어디서든 어낼러틱 하므로, 단순 폐곡선 잡아서 컨투어 인테그랄하면 적분값은 항상 0 이 된다.

그럼 이 결론으로 부터, 실적분에 대한 "뭔가" 를 얻을 순 없을까?

일단, 컨투어를 중심이 원점인 단위원으로 잡는다. 물론 반시계방향으루다가... 그리면, z = exp ( i t ) 이고, t 는 0 부터 2 π 까지다. 이제 이 적분이 0 이라는 결론을 알고있으므로, 적분식을 리얼파트와 이매져너리 파트로 쪼개면, 각각 0 이 되어야 할 것이다. 그로부터 뭔가 적분공식을 하나 얻을수 있지 않겠느냐 이말이다.

일단, 해보자.

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이렇게 얻어진 두개의 적분식은 복소수와는 전혀 무관한 실적분들이다. 우리는 지금껏 복소함수에 관한 이론을 전개해왔는데, 결과적으로 복소수와는 전혀상관없는 실함수 적분 두개를 얻었다.

누구한테든 가서, "당신 저거 적분할수 있어?" 라고 묻자. 그러면 아마도, 부분적분을 줄기차게 반복하거나, 적분표를 찾아보며 끙끙대겠지만, 위와 같은 형태는 왠만한 싸이즈의 적분표에는 안나올꺼라는 말씀. 이때, 속으로, "나는 할수있는데~ㅋㅋ, 답은 0 이라구 ! " 를 외치면 그것이 우리의 성과가 되겠다.

한편, 결과에 대한 의구심이 살짝 드는데, 왜냐면, 우리의 이론전개는 복소수에 대한 이론이었는데, 그것을 덥석 실함수에 관한 이론으로 받아들인다는것이 조금 찝찝한것이다. 왜냐하면, 솔직히 복소수에서야 별 그지같은 소리를 해도, 아 뭐 그렇게 정의하나보다 하고 넘어가면 그만이지만, 위의 두 실함수 적분은 말그대로 피적분함수들 그래프를 그려서 0부터 2π 까지 적분하면 진짜로 0 이 나와야 한다는 검증 툴이 있기 때문이다.

자, 이제 이 의구심을 어떻게 해결할 것인가, 직접 역도함수를 구해서 결과를 확인하던가, 아니면 그래프라도 그려서 어떻게 되는지 눈으로 봐야 의심이 해결될 것 같다. 역도함수를 구하는건 좀 어려워 보이니까, 그냥 그래프를 그려버리자.

좋아. 매쓰매티카로 한줄이면 끈날 일이다. ㅋㅋㅋ.

...

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ㅡ_ㅡ;;; 매쓰매티카를 다시 깔려니 안된다... ㅠㅠ

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...

...

아... 그렇다. 엑셀로 직접 그래프를 그려서, 모양이라도 보면, 0 부터 2 π 까지 적분했을때 0 이 될지 않될지 대충 감은 잡을 수 있을것 아닌가 'ㅁ' !!! 그..그렇다. 해보자...

일단, exp ( cos2t ) sin ( t + sin2t ) 의 그래프 부터 그려보자... 스텝싸이즈는 0.001 로 하고, 6.28 이 넘어가는 범위까지 계산하자. 수식한줄만 만들면, 나머지는 드래그로 해결되는 엑셀은 정말 사랑스럽다.

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헉!!!!! 그래프를 보는 순간 나는 희열을 느꼈다. 저 지저분한 식에서 저렇게 아름다운 그래프라니, 솔직히 저렇게 예쁜 그래프가 나올거라곤 생각도 못했다. 나는 보자마자, 저 그래프를 0 부터 2π 까지 적분하면 0 이 될꺼라는 확신이 들었다. 아마 누구나가 그렇게 생각할 것이다. 사실 그래프가 개떡같이 나오고 음수쪽과 양수쪽이 좀 애매하게 비슷한 비중으로 나오면, 사다리꼴 방법이나 심슨 메써드 따위를 써서라도 면적을 구해볼 생각이었으나 전혀 그럴 필요가 없게 됐다.

exp(cos2t) cos(t+sin2t) 의 그래프도 그려보자. 수식 하나만 고치면 된다.

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헐... 해보나마나 방금꺼하고 형태가 비슷할거라고 예상했는데, 완전 다르다. 그래도 대칭성으로 부터, 2 π 까지 적분하면 0 이 될것임에는 틀림없다. 특히, 요녀석은 그래프를 볼때, 0부터 π 까지만 적분해도 0 이 나올것으로 보인다. 그러고 보니, exp(cos2t)sin(t+sint) 도 - π/2 부터 π/2 까지 적분해도 0 이 겠구나...

아... 아무튼..... 아.... 아름답다 !!!! '0' !!!!

왠만한 미방이나 각종 문제를 고작(?) 엑셀만 이용해도 얼마든지 분석할 수 있다는 것을 항상 몸소 보여주신 김두철 선생님께 감사드린다.

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코시-구르사 정리는 쉽게 다음과 같이 확장시킬수 있다.
" If f is analytic throughout a simply connected domain D , then integral of f(z) on every closed contour lying in D " (증명생략) 주의: D 안에 있는 모든 closed contour 임, simple 아님.

또한, 그로부터, " f that is analytic throughout a simply connected domain D must have an antiderivative in D "

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마지막으로 contour 인테그랄을 하는데 있어, 직관적으로 당연한 그러면서 상당히 유용한 테크닉인 Principle of Deformation of Paths 에 대해 살펴보자. 사실 다 면적분할때 배웠던 개념들이다. 아래의 그림만 봐도 뭔내용인지 바로 알수있는 내용이다.

오렌지색으로 표시된 영역이 f 가 어낼러틱한 영역이라고 하자. (경계포함)

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이렇게 쪼개놓고 보면, 왼쪽그림을 따라 적분하나 오른쪽 그림을 따라 적분하나 같다. 오른쪽 그림은 피적분함수가 어낼러틱한 영역을 감싸는 단순폐곡선 두개므로 각각의 적분값은 0 이다. 즉, 왼쪽 그림의 컨투어 인테그랄은 0 이다. 이러한 테크닉은 실제로 매우 빈번하게 쓰인다.

위 성질을 이용하면, 다음의 사실도 쉽게 알 수 있다.

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위 그림에서, contour C = C1 - C2 일때 적분이 0 이므로, ( 여기서 - 는 반대방향을 뜻함 ) , 적분의 선형성을 이용해서 적분을 두개로 찢고, -C2 에 대한 적분을 반대쪽으로 이항시키면, C1 에 대한 적분과, C2 에 대한 적분이 같다는 것을 알 수 있다.

그러므로, 원점을 감싸는 어떠한 단순폐곡선에 대해서도 1/z 을 적분하면 항상 2 π i 이 된다.

Contour Integral

Math/Complex2009. 7. 22. 12:14 |

복소변수함수를 왜 하는가 에 대한 실용주의적 대답은 적분을 위해서? 라고 해도 과언이 아닐정도로, 복소함수의 이론은 적분에 있어서 강력한 도구를 제공한다. 그것이 진정 강력한 이유는 복소수가 전혀 등장하지 않는 실적분의 문제를 해결하는데 획기적인 방법을 제시한다는데에 있다.

가령, 아래와 같이 간단해 보이는 적분도, 실적분 테크닉만 가지고 풀어보면 드럽게 어렵다. ( 한번 도전해보는 것도 좋다. )

앞으로 메인으로 다루게 될 테마는 칸투어(contour) 인테그레이션과 레지두(residue) 캘큘러스이다.

그전에, 전혀 새로울게 없지만 complex-valued 의 적분부터 시작하는게 순서다.

Complex Variable Functions 가 복소수에서 복소수로 가는 함수임에 반해, Complex-valued Functions 은 실수에서 복소수로 가는 함수이다.

예를들어 f( t ) = 2 t + i t ² 같은 함수가 complex-valued 펑션이다. 변수가 실수이므로, 당연히 적분변수는 실변수이다. 이러한 적분은 실적분과 다를게 없다. 그냥 각 성분함수를 따로 실변수 t 로 적분해주면 된다.

complex-valued 펑션의 적분 ( 사실상 두개의 실적분 ) 은 어떠한 이견도 있을수 없기 때문에, 복소적분상황에서 애매한 경우에 어떠한 매개변수에 의해 위와같은 상황이 연출되었다면, 그것은 가장 기초적이고 신뢰할수있는 답임은 확실하다.

이제 복소변수함수의 contour 적분을 시작해보자.

실적분의 상하한은 실수축상에서의 적분경로라고 볼수 있는데, 복소적분에서는 2차원이므로 적분상한과 적분하한으로 표현하는데 애로사항이 있다.

실적분에서 적분상하한으로 1차원적인 적분경로를 주었듯이, 복소적분에서는 2차원상에서의 적분경로를 주는데 그것을 contour 라고 한다. 그니까 벡터 캘큘에서 선 적분하는거랑 같은개념이다. 보통, 실매개변수에 의해 표현되어 complex-valued 가 된다.

요컨대, 컨투어 인테그랄은 실적분으로 치자면 정적분과 같은 것이다.

더 나아가, 실적분에서 미적분학의 기본정리 ( FTC , fundamental theorem of calculus ) 가 역도함수(Anti-derivative) 와 정적분(definite integration) 을 연결해준것 같이, 복소적분에서도 FTC 가 있고, 그것은 컨투어 인테그랄과 역도함수를 연결해준다. 즉, 피적분함수의 역도함수를 구해서 적분을 간단히 계산하는 방법도 있는데, 이것은 나중에 살펴볼 것이다. Anti-derivative 입장에서 보자면, 그것은 analytic 한것이고, 복소에서 analytic 이면 자동으로 harmonic 이고, 그에 따라 유용한 정리들이 쏟아져나오는데, 나중에 살펴볼 것이다.

아무튼, 실매개변수를 통한 contour 인테그랄은 간단히 말해, contour 를 나타낼때 사용된 실변수로 좨다나타내서 그 변수로 complex-valued 적분하는 것이다.

이때 f 안에 들어가는 z 는 주어진 contour 에 의존하므로, 매개변수 t 에 의해 곧바로 나타내졌다. 만약 contour 가 서로 다른 두 곡선이 결합된 형태라고 하면, 경로를 두개로 찢어서 각각의 경로에서 f 에 들어가는 z 는 형태가 달라야 할것이다.

아무튼 예제를 풀어보자.

f 를 "인풋으로 들어온 복소수를 컴플렉스 컨주게이트해서 아웃풋으로 내놓는 함수" 라고 하자.
이 f 를, 중심이 원점인 반지름 2 인 반원 ( 각도는 -90도 에서 0 도를 거처 90 도에 이르는 , 즉, 4사분면에서 1사분면으로 진행되는... ) 상에서 적분을 해보자.

참고로, 주어진 함수 ( complex conjuate 를 취하는... ) 는 어낼러틱 하지 않다. 즉 미분이 안된다. 그럼에도 적분은 되는데, 이것은 실함수때와 마찬가지다.

아무튼, 적분경로는 매개변수를 t 라고 하면, z(t) = 2 exp ( i t ) with -π/2 ≤ t ≤ π/2 로 나타낼수 있다. 따라서...

한문제 더 풀어보자.

주어진 복소수의 역수를 취하는 함수, 즉 f = 1/z 을 반지를 R 이고 반시계방향으로 회전하는 원 위에서 적분해보자.

즉, 컨투어의 반지름에 상관없이, 중심이 원점인 원위에서의 1/z 을 적분하면 항상 2π i 가 된다. ( 복소에서는 보통 별말이 없으면 컨투어를 CCW ( counterclockwise ) 방향으로 잡는 컨벤션이 있다. 만약 위의 적분을 반대방향 경로로 적분하면 적분값은 - 2 π i 가 된다. )

원의 중심을 옮기고, 피적분함수도 그만큼 shift 시켜서 직접 적분해보면 다음을 확인할 수 있다.

마지막으로, 컨투어의 arc length 는 다음과 같이 구하면 된다.

알집 보다 좋은 압축 프로그램 7Zip

COM2009. 7. 22. 10:38 |

알집이 짜증날땐... 7Zip

invalid-file

마우스우클릭해서 써도 되고, 7Zip 파일매니저를 실행해도 됨.

정말 쓸수록 좋다는...

[복수변수함수] 초등함수(Elementary Functions)

Math/Complex2009. 7. 22. 00:56 |

복소지수를 정의할때 이미 지수함수와 로그함수는 정의했으므로, 얘네들은 간단히 미분만 살펴보자.

어떤 멀티벨류드 로그펑션의 임의의 브랜치를 잡아서 싱글벨류드로 만들었다고 하고 미분을 해보자.

따라서 브랜치를 어떻게 선택하던간에, 실수때 하던것처럼 로그의 미분을 하면된다.

지수함수도 미분해보자.

밑이 다른경우에, 밑을 e 로 바꾸고 지수에 로그를 올려서 정의했으므로, 그대로 하면되고, 해석때 합성함수의 미분을 임의의 메트릭 스페이스에서 증명했었으므로 그대로 쓰면 다음과 같이 된다. ( 메트릭 없이, 다른 방식으로 증명해도 마찬가지 )

Power Rule 을 살펴보자.

마지막 줄에, 지수 c 하고 지수 -1 을 지수법칙을 써서 붙여썼는데, 이것은 -1 이 정수이므로 가능하다.

이제 삼각함수(trigonometric functions)하고 쌍곡선함수(hyperbolic functions)를 살펴보자.

삼각함수와 쌍곡선함수의 정의는 다음과 같다.

tan , tanh , sec , sech 따위도 모두 위의 정의를 사용해서 정의한다.

z 대신 iz 를 넣으면 바로 다음을 확인한다.

이상태에서 z 대신 iz 를 한번더 대입하면 다음을 확인한다.

또한, cos ² z + sin ² z = 1 을 쉽게 확인할 수 있고, 역시 z대신 iz 대입하면 다음을 얻는다.

마찬가지로, sin ( z1 + z2 ) 와 cos ( z1 + z2 ) 공식을 유도할수 있고, z1 , z2 대신에 iz1 , iz2 를 대입하면 쌍곡선함수에 관한 공식을 얻을수 있다.

미분도 해보면 실수에서의 삼각함수때와 같은형태로 모두 성립한다.

극좌표에서의 코시 리만 방정식과 미분

Math2009. 7. 22. 00:34 |

prerequisite : 코시 - 리만 방정식

복소수를 지수형식으로 나타내는 일이 빈번하므로, 코시리만을 극좌표로 변환해서 사용하는것이 편리할때가 많다.

( 하첨자는 편미분임. )

코시리만이 말하는 바가 " 미분이 존재한다면 수평으로 접근할때나, 수직으로 접근할때나 미분값이 같아야 할 것이다 " 이므로, z 로 미분하는것은 어차피 x로 편미분한거나 , 혹은 iy 미분하거나 같다는 것이고, 다음과 같이 쓸수 있다. 이것을 극좌표로 변환만 하면 극좌표에서 미분하는것도 간단하게 해결된다.

[복소변수함수] 복소수 지수 ( Complex Exponents )

Math/Complex2009. 7. 21. 01:06 |

수체계의 확장은 방정식과 결부시켜 이해할수 있다. 방정식 x + a = b 의 처리는 음수에 대한 요구를 발생시키고, a x + b = c 의 처리는 유리수로의 확장을 요구한다. 방정식 x² + 1 = 3 따위로 부터, 두수의 비로 나타낼수 없는 수 까지 수의 개념이 확대되었고, 그것의 실존성을 기하학이 제공해주었다는 것이 이채롭다. 이로서 실수체가 완공이 되고, 이전에 존재하던 개념들을 실수체까지 확장하는 것은 대중적으로 꽤 성공을 거둔다.

반면, x² + 3 = 1 따위는 "해가 없다" 정도로 충분했는데, 그것의 "해없음"에 어떤 의미를 부여하려고 해도, 기하학이 무리수 개념을 서포트해주었던 것과 같은 그러한 빽이 없다는 점이 오랜기간 그러한 행위를 한낱 실없는 장난 쯤으로 여기게 만들었다. 아무튼 어찌어찌해서 우리는 복소수 체 까지 오게되었고, 그것은 대수구조(algebraic structure) 체(field) 로서 모든 요건을 갖추었으나, 본질적으로 추상적 대상임은 부인할 수 없다.

자연과학을 하다보면, 복소수 시스템이 얼마나 편리하고 유용한 놈인가를 깨달은 나머지, "세상은 복소수로 이루어져있다" 와 같은 말을 외치고 싶은 기분이 되는데, 사실 그 기분의 정체는 그것의 간결성과 편리성 그리고 효율성이 예상보다 대단한 것이어서 놀라움과 함께 생성된 것일뿐, 복소수 자체의 추상성은 달라질 것이 없다. 어쩌면, 수학 자체는 정의 그 이상도 그 이하도 아니라고 주장하던 어떤 철학자의 말 처럼 우리는 대단한 호들갑을 떨고있는건지도 모른다. 그것에 어떠한 의미를 부여하고 이롭게 사용하는 것은 순전히 인간의 몫이다. 한편, 자연과학자들의 생각은 다를지도 모른다. 특히, 양자물리를 하다보면, 자연을 기술하는 언어는 복소수인가 하는 생각이 드니 말이다.

아무튼, 이제 수 체가 복소수까지 확장되었으니, 밑과 지수도 복소수까지 확장하길 원하는데, 이것의 빌드 과정은 실수때와는 사뭇 다르게 전개된다. 왜냐하면, 실수때처럼 전개하다가는 예상치 못한 모순들이 숱하게 튀어나와 시작부터 순조롭지 못한것이 되므로, 우리는 시작부터 매우 조심스러워야 한다. 그렇지않으면 어느순간 뭔소린지 알수없는 소설을 쓰게 된다.

일단 복소평면상의 모든 점 , 즉, 모든 복소수는 ( 원점은 좀 그렇지만... ) 극형식(polar form)으로 표현이 가능하고 , 여기까지의 논의에는 아무런 문제가 발생하지 않는다. 그러나 지수형식 (exponential form ) 부터는 마음이 복잡해지게 마련이다.

익스포넨셜 폼의 태생적 기원은 오일러 식에 근거를 두는데, 그것은 정리라기보다는 정의임을 강조하는 바이다. 오일러식은 더 기본적인 논의에서 출발해서 복소지수로 차근차근 빌드업이 된게 아니라, 지수함수의 테일러 전개를 복소수 영역까지 확대하는 그 자체를 받아들이는 것으로, 정의를 아주 그럴싸하게(plausible) 만드는 선택이라고 할 수 있다.

이제 이 데피니션을 채택하면, 드 므아브르의 정리는 다음과 같이 표현된다.

아니 정의에 의해 너무 당연한것 아닌가 하고 물을수도 있지만, 복소수에서 지수법칙이 성립한다는 보장이 없기때문에 결코 당연한것이 아닌것이 된다. 실제로, 복소수에서 지수법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 위의 정리를 증명하라고 할때 n을 쏙 집어넣고는 증명했다고 하는 것은 현시점에서 넌센스다.

좌변에서 n 이 자연수이므로, 좌변의 괄호안을 정의에 따라 극형식으로 쓰고, 이항전개한후에 그것이 우변을 정의에 따라 극형식으로 쓴것과 같음을 보이면 쉽게 증명된다.

참고로, 오일러 식으로 부터 다음과 같이 쓸수있는데, 많은 사람들은 이것을 수학에서 가장 아름다운 식으로 꼽는다.

수학에서 열라 중요한 다섯개의 상수들 ( 0 , 1 , pi , e , i ) 과 가장 기본적인 연산 세개 (addition , multiplication , exponentiation)가 하나의 식에 들어갔다고...

처음에 미적분에서 오일러식을 통해 윗식을 접했을때, 그것은 상당히 감격스러운 것이었는데, 오히려 복소를 배우면서 오일러식을 정의로 채택하면서 그 감격이 상당히 반감되었다는 것은 꽤 슬픈일이다. 마치 나는 대단하다고 생각했던무언가를 누군가가 대수롭지 않게 비웃어 버릴때의 기분?

아무튼, 이제부터 할일은 복소수 지수를 well-behave 하도록 빌드해 나가는 것인데, 당연한 이야기지만, 우리는 이것이 실수체의 그것을 아우르는 더욱 확장된 개념이 되기를 희망한다.

내친김에 오일러식을 이용하여, 밑이 e 인 경우에 대한 복소지수를 정의하자.

이것은 앞에껏보다 더 확장된 정의이다. ( 그렇다고 일반적으로 지수의 덧셈에 관한 지수법칙이 성립한다고 오해해서는 안된다.)

일단 복소수에 대한 정수지수(integral exponents)는 실수에서와 마찬가지로 크게 문제될것이 없다. 자연수는 그만큼 곱하면 되고, 음수가 나오면 역수를 취하면 된다.

유리 지수 (rational exponents ) 부터가 문제이다.

실수였을때 우리는 유리지수를 그것의 밑이 양수일때만 정의했었던것을 상기하자. 그러나 이제 복소수로 온마당에 밑이 양수여야 한다는 제약은 너무나 터무니없는것이다. 실수에서야 음수가 양수와 대비되는 매우 비중있는 녀석인지는 몰라도, 복소수평면에서는 그정도로 비중이 있지는 않달까. 게다가 i 의 태생자체가 밑이 음수인것이지 않은가.

우선 nth root 를 찾는것에서 출발을 하자. ( 늘 그렇듯이 n 은 당근 자연수 )

복소수에서 1/n 승은 " n제곱시 그 수가 되는 수 " 들을 모두 일컫는다는 점에서 실수에서와 차이가 있다. 실수는 1차원적이므로, n-th root 가 기껏해야 +,- 두개밖에 없고, 따라서 + 인것을 정의로 삼고, - 인것은 앞에 - 를 붙여주는 것으로 정의해도 충분하지만, 복소수에서는 한두개도 아니고 또한 2차원적이라 그렇게 쓰는 것은 적절하지 않다. 따라서 1/n 승은 nth root 를 모두 일컫는 대상으로 사용한다.

또한 실수에서 했던 것처럼 다음과 같이 쓰자.

주의할것은 위와같이, 실수체계에서 많은경우, x의 1/n 승을, "n 제곱근 x " 로 본다는 것인데, 복소수체계에서는 모든 해를 통칭하므로, "x 의 n 제곱근" 으로 해석해야 된다는 것이다.

즉, 2 의 1/2 승을 , 실수체계에서는 보통 , 루트2 로 쓰고, 대신 나머지 또하나의 근을 그앞에 - 를 붙여서 쓴 반면, 복소수체계에서는 2 의 1/2 승 자체가 +,- 를 둘다 나타내게 된다.

그런데, 실수는 복소수에 포함되므로, 이것은 약간의 혼동을 야기시키는데, 어떠한 복소수의 1/n 승을, 그것의 nth root 를 모두 나타내는 것이라고 해놓고, 그 복소수가 실수가 되는 특별한 상황에서는 + , - 모두를 포함할 것이고, 아예 실수로 고정시켜놓고, 실수때의 시스템을 쓰겠다고 하면 + 일때만을 나타낼수도 있다는 것인데, 이것은 순전히 문맥에 의존하는 경우가 많다.

예를 들어보자.

즉, 같은 4에 1/2 승으로 표기햇음에도 불구하고 다른것을 나타내는 것을 볼 수 있다. 따라서, 우리의 컨벤션은 대상의 고려 영역에 따라, 같은 노테이션을 다른것을 나타내는데 사용할 수 있으므로 주의해야 한다.

또한, 실수에서 우리가 쓰던 노테이션은 지수법칙을 만족하고 있지만, 복소수의 경우, 지수법칙이 성립하지 않고있음을 확인할 수 있다.

이제, 1/n 승이 모든 nth root 를 지칭하는 것이라고 할때, 그것을 직접 구하는것은 별로 어렵지 않다. 복소수를 지수형식으로 쓰면, 두 복소수의 상등은 마듈러스는 같고, 편각은 mod 2π 에 대해서 합동임을 이르므로...

특히, modulus r 은 0 이상이고, 또, 2kπ / n 은 k 가 n 개면 한싸이클이 다 돌게되므로...

편의상 집합으로 표시했지만, 단지 multi-valued function임을 표현하기 위한 것이다. 또한, r 에 1/n 승으로 쓴것은, r 이 양의실수이므로 그부분에 대해서는 real 에서의 노테이션을 썼다. 복소수일때의 1/n 승과 함께 섞어서 쓴다는 것이 찜찜할수도 있겠지만, 의미상 혼동의 우려가 없으므로 그냥 쓰기로 하자.

아무튼, 위의 결론은 , 복소수의 1/n 승은 디스팅트한 정확히 n개의 대상을 나타내고, 그것은 복소평면상에서 기하학적으로 다음과 같이 컨스트럭트 할수 있다.
" 원점으로 부터 이르는 거리를 1/n 승 하고, 편각을 n 으로 나눈 다음, 그점을 기준으로 원을 n 등분한 점들"이 바로 모든 nth root 들을 나타낸다.

예를 들어 보자.

위에서 구한 3개의 수 C1 , C2 , C3 를 3제곱했을때 1 + i 로 돌아가는 방향은 다음과 같다.

( C3 는 한바퀴 돈다음에 1 + i 로 들어간다. )

또한가지 주의할 것이 있는데, 복소수를 속에다 집어넣은 루트(radical) 기호의 사용이다. 이것도 주의깊게 사용하지 않으면 왠갖 횡설수설은 다 할 수 있다. 고등학교때 이미 많이 겪어봤을것이다. 그러나 이것은 실제로 상당히 신중한 논의를 요하는 것으로 (참고: J. DePree and C. Oehring, Elements of Complex Analysis. Addison-Wesley, 1969), 대충 다루고 넘어갈 녀석이 아니다. 따라서 우리는 이러한 정의를 사용하지 않을 것이다.

이제, 밑이 복소수범위일때, 지수 1/n 을 정의했으므로, m승해서 m/n 꼴만 정의하면 유리지수는 끝나는 거다...? 앞에서 살펴보았듯이, 지수를 적용하는 순서에 의존한다. 따라서 안타깝게도 이것을 안전하게 정의할 방법은 없다. ... /OTL ...

대신, 우리의 정의를 되돌아 보면, 밑이 e 일때, 복소지수에 대해 정의를 해놨으므로, 밑을 e 로 바꿀수 있다면 상당히 편리할 것이다.

그리하여, 결론부터 말하자면, 복소수에서의 로그함수를 도입하고, 그것을 통해, 복소수 밑의 복소수 지수를 실수 밑 e 의 복소수 지수로 바꾸는 방법을 택한다.

복소수에서 로그함수를 정의해보자.

여기서 log 라고 쓴것도 밑이 e 이고, ln 이라고 쓴것도 밑이 e 인데, 굳이 ln 이라고 쓴 이유는 , 실수의 로그함수임을 나타내기 위해서 쓴것이다.
( 이러한 표기는 교과서마다 다른다. )

arg z 가 multi-valued 이므로, log z 도 multi-valued 이다. 특히, 동일한 z 에 대해 arg 값은 2π 단위로 무한히 만들어 내므로, arg 의 범위를 2π 단위로 끊어서 log z 를 싱글밸류드 함수로 만들수 있다. 그 각각을 log z 의 branch 라고 한다. 유사한 예로, 사인함수의 인버스펑션 만들때 구간을 끊어야 했던것을 상기하자.

그런데, 2π 단위로 끊을때, 이게 복소평면상에서 한바퀴가 되고, 그래서 구간의 양끝이 맞닿게 된다.
그 각은 복소평면상에서 원점으로 부터의 반직선이고, 그 반직선을 브랜치 컷 (branch cut ) 이라고 부른다. 주의할것은 브렌치 컷 에서는 로그값이 정의가 안된다는 것이다. 또한 원점에서도 로그가 정의가 안되는데, 그와같은 점을 브랜치 포인트 라고 한다. 브랜치 컷과 브랜치 포인트에 대해서는 이후에 좀더 제대로 포스팅을 하도록 하겠다.

예) the branch of log ( 1 - i ) with π/4 < arg < 9π/4 ( 참고, 1- i 에 대한 로그값을 구할때 branch cut 으로 -π/4 는 안된다. )

log ( 1 - i ) = ln √2 + i 7π/4

브랜치는 임의로 잡을수 있고, 특히, arg z 의 범위가 (-π , π ) 가 되도록 제한한 것을 principal branch 라고 하고 특히 Log z 로 표기한다. 로그함수에 대해서 log ( z1 z2 ) = log z1 + log z2 + i 2kπ 가 된다. 즉, log ( z1 z2 ) = log z1 + log z2 (mod 2π i ) 이다.

이제 복소수의 복소지수를 다음과 같이 정의한다.

그니까 z 의 w 승을 구할려면, 일단 log z 를 구하고, 그것과 w 를 곱한 결과값(=복소수)를 e 의 지수로 올리면 된다.

특히 z의 w 승을 구할때, principal 로그, Log z 로 하여 구한값을 pricipal value 라고 하고, z의 w승 앞에 p.v. 를 붙여서 쓴다.

이제 이 정의를 이용해서, 복소수의 nth root 를 구해보자. 가령 복소수에서의 2 의 1/2 승은 ±루트2 가 나와야한다.

비록 이제 복소지수를 일반적으로 다룰수 있게 되긴 했지만, 우리는 여전히 지수법칙을 사용할 수가 없다.

그나마 특수한 경우에 대해 쓸수있는것을 하나 들어보자면...

n 과 m 이 서로소인 자연수일때, 1/n 을 먼저하든 m 을 먼저하든 결과가 같게된다. 즉, 그 경우에 한해서는 지수법칙중에 지수의 곱 형태로 된걸 사용할수 있다. ( 복소지수에 대한 정의와 정수론적 지식을 이용하면 증명은 어렵지 않다. )

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연습문제. 다음을 구해라.

Holomorphic ( Analytic ) & Harmonic

Math2009. 7. 20. 01:41 |

prerequisite : 코시-리만

어떠한 복소변수함수가 복소평면상의 오픈셋 내의 모든점에 대해서 미분가능할때, 그 함수는 그 집합내에서 holomorphic 또는 analytic 하다고 한다. analytic 이 더 범용적으로 쓰이는 대신 여러가지 의미로 쓰일수 있음에 주의한다. 아무튼, 보통 복소해석쪽에서 어낼러틱 하다고 하면, holomorphic 의 의미라고 보면 된다.

참고로 복소평면 전체에 걸쳐 어낼리틱할때, entire function 이라고 한다.

코시리만은 단지 두경로에 대한 limit 의 수렴값만 비교한것이므로, 어낼러틱하기위한 필요조건이지 충분조건은 아니다. 반면, 그점에서 성분함수들이 편미분들이 모두 존재하고 그 편미분들이 연속일때 코시리만을 만족하면, 스무드 해지면서 어낼러틱하다고 말할수 있게된다. 즉, 부가 조건들과 함께 충분조건이 된다.

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어낼러틱한 펑션의 컴플렉스 컨주게이트도 어낼러틱하면, 그 함수는 상수함수이다.
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원래함수와 컴플렉스 컨주게이트한거 둘다에 코시리만 쓰면 성분함수들의 편미분이 모두 0 이 된다.

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어낼러틱한 펑션의 modulus 가 상수이면, 그 함수는 상수함수이다.
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성분함수들의 제곱합을 상수로 놓고, 음함수 꼴로 미분해서 코시리만을 적용하면 역시 성분함수들의 편미분들이 모두 0 이 된다.

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어떠한 함수가 라플라시안을 취했을때 0 이 되면, 즉 라플라스 방정식을 만족하면, 하모닉(harmonic ) 펑션이라고 한다. 복소평면처럼 R^2 에서는 x로 두번 편미분한거 + y로 두번 편미분한거 = 0 이 될때가 하모닉이다.

두개의 하모닉펑션이 각각 리얼파트와 허수파트로 결합해서 복소변수함수를 만들었을때, 코시-리만을 만족하면, 허수파트쪽 함수를 리얼파트 함수의 하모닉 컨주게이트 (harmonic conjugate ) 라고 부른다.

즉, u 와 v 가 각각 하모닉이고, u + i v 가 코시리만을 만족하면, v 를 u 의 하모닉 컨주게이트 라고 하는것이다.
참고로, "서로" 하모닉 컨주게이트인 두 함수는 모두 상수함수이다. ( u + iv 와 v + iu 가 코시리만을 만족한다고 하고 풀면, u 와 v 의 x,y 에 대한 편미분들이 모두 0 이 된다. )

어낼러틱과 하모닉컨주게이트를 이어주는 정리로 다음을 생각해볼수 있다.
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f = u + i v 가 어낼러틱 이면 , v 는 u 의 하모닉컨주게이트 이다.
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어낼러틱이므로 저상태에서 어차피 코시리만은 만족할것이고, 따라서 u 와 v 가 둘다 하모닉임을 보이기만 하면 된다. 이것도 코시리만으로 쉽게 보여진다.

그리고...
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v 가 u 의 하모닉 컨주게이트이면, u 는 -v 의 하모닉컨주게이트 이다.
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왜냐면, f(z) = u + i v 가 어낼러틱이면, i f(z) 도 어낼러틱이기 때문이다.

[삼각함수] Lagrange's trigonometric identity

Quizes2009. 7. 18. 00:30 |

다음을 증명하라.

[중학 정수론] 그 어떤 완전제곱수도 두 홀 제곱수의 합으로 나타낼수 없음을 증명하라.

Quizes2009. 7. 15. 01:21 |

내가 수학에서 진짜 매력을 느끼는 때는 특히 " ~인 것은 없다 " 따위의 명제를 볼때 그렇다.

실로 무한히 많은 경우들을 모두 포함하여, 한마디로 딱 잘라 " 단언 " 할 수 있다는 것이 얼마나 호쾌하고 위풍당당하느냔 말이다.

MS Windows Defender

COM2009. 7. 12. 00:48 |

정품혜택이랍시고 주는 게 이런거임.

invalid-file

내컴은 좀비

Misc.2009. 7. 11. 13:52 |

V3 플래티넘을 쓰고, 업데이트도 날마다 해주고 그러는데, 어떤 프로그램 설치하느라 잠시 방화벽을 풀었다. 그러다가 링크에 낚여 팝업 미친듯이 뜨는 싸이트로 가게되었고, 광속보다 빠르게 창들을 닫아서 겨우 나왔다.

그래도 실시간은 항상 켜져있으니까 별일 있겠나 싶었는데, 요새 하도 디도스 디도스 좀비 좀비 해서... 검사 눌러봤더니 내컴이 좀비다 !!!

디도스 인디펜던스 , 트로잔 에이전트 65536 VE , ... 참 많기도 하구나 ;;;

치료 안되는애들 왜케 많은거지... V3 실망이야...

결국 포맷해야 겠구나.... 이번엔 고스트 꼭 구워놔야지 쩝...

[중학도형] 평행사변형

Quizes2009. 7. 9. 23:34 |

그림과 같은 평행사변형이 있다. 이때 , 각 변의 길이는, AB = 8 , BC = 9 이고, 각 ABC 는 70 도 이다.

이제, B 에서 CD 에 중선을 긋고, A 에서 그 변에 내린 수선의 발을 P 라고 하자.

∠ PAD + ∠ DPM 을 구해라.

[중학도형] 둔각이 3개인 볼록 n 각형. n 의 최대값은?

Quizes2009. 7. 9. 23:29 |

제목 그대로...

[중학수학] 기수법

Quizes2009. 7. 7. 11:39 |

십진법 0.1 을 2진법으로 나타내면?

[중학수학] 잉여류

Quizes2009. 7. 6. 22:25 |

어떠한 양의 정수 k 에 대해서, 모든 정수는 k 로 나눈 나머지들로 분류를 할 수 가 있다. 즉, 잉여류들로 나누는거다. ( 실제로 나중에 쿼우션트 스페이스에 대한 모티브를 제공한다. )

여튼, 자연수 k 에 대한 나머지들로 분류를 하면, 집합이 k 개가 나온다. 나머지가 없는것들, 나머지가 1 인것들, ... , 나머지가 k-1 인 것들 이렇게.

이제 각 집합에서 임의로 숫자 한개씩을 뽑는다고 하자. 그러니까 총 k 개를 뽑는거다.
이렇게 임의로 뽑은 k 개의 숫자들을 모두 더했을때, 그것이 k 의 배수일 확률은?

식인섬의 비밀

Quizes2009. 7. 4. 10:56 |

탐험대원 세명이 식인종 세명을 데리고 섬을 탈출하려 한다. 어느상황이건 식인종의 수가 탐험대원 수 보다 많으면 대원을 잡아먹는다.

탈출에 사용할 배는 2인승인데 노는 하나밖에 없다. 즉, 두명중 한명만이 노를 저을수 있다.

지형상의 문제로 섬을 벗어나는 방향으로는 두명이 타더라도 물살을 이용해 건널수가 있지만 ( 물론 한명이 타도 된다 ) , 섬으로 들어오는 방향으로는 한명이 탔을때만 겨우 들어올수 있다.

섬을 탈출하는 방법을 제시하라 ( step by step )