듀얼스페이스 2편 - 벡터와 계수

1. 선형조합 계수와 재료배합의 레서피


유클리디안 R3 스페이스를 생각하자. 그리고 임의의 어떠한 베이시스가 있다고 하자. 그 베이시스는 같은 공간내의 벡터3개로 이루어져 있을것이다. 일반성을 갖기위해 오소노말하지도 오소고날하지도 않다고 하자.


이제 이 벡터공간내의 임의의 벡터는 이 베이시스들의 선형조합으로 표현된다.

자, 그렇다면 현재의 상황, 즉 베이시스가 고정된 상황에서, 각각의 벡터를 표현하는 가장 핵심적이고 본질적인 정보는 무엇일까?

너무 당연하겠지만, 그렇다 바로 선형조합 계수이다. 그 계수 묶음하고 벡터사이에는 정확하게 1대1 대응이 존재한다. 숫자3짝만 있으면 방향과 크기를 모두 정확하게 아는 것이다.


그런데, 이러한 계수는 베이시스에 대해서 다음과 같은 의미도 된다.

" 주어진 기본 재료들을 어떻게 섞을것인가 "

가령 위의 A 벡터를 만드는데는 , e1 이 두개들어가고, e2 를 한개넣고, e3는 마이너스 한개 를 넣으면 되는 것이다.

그러한 의미에서, 리니어 컴비네이션의 계수는 배합에 관한 일종의 레서피이다.

다르게 섞은 배합은 다른 결과를 준다. 그리고 벡터스페이스에서의 배합과 결과는 완벽하게 일대일대응한다. 이제 베이시스를 어떻게 배합했는가 하는것이 어떠한 벡터를 표현하는 중요한 수단인것이다.

그리고 아주 자주 , 우리가 음식을 먹을때 재료를 어떤배합으로 섞었을지가 궁금한 것처럼, 어떠한 아웃풋에 대해, 베이시스를 어떻게 조합하면 그것이 나올지가 궁금할때가 많아진다. 그리고 그것은 완전하게 "선형조합 계수가 궁금하다" 라는 말과 동일하다.




2. 계수가 중요해지다.


계수의 중요성을 강조하기 위해 예를 하나 들어보자.


어떠한 주기적인 형태의 함수를 보고 누구는 다음과 같은 생각을 했을것이다.

" 사인하고 코사인하고 잘 섞으면 저걸 만들어 낼수 있지 않을까? "

이것이 푸리에 시리즈의 모티베이션이다. 싸인과 코사인을 적절히 섞어서 임의의 주기함수를 만들어낸다.

주기가 P 인 함수들의 공간은 벡터스페이스를 이룬다. 지들끼리 더해도 주기가 P 이고, 상수를 곱해도 주기 P는 유지되기 때문이다.

이 공간에서 베이시스는 사인,코사인 패밀리다. (물론, 무한개의 베이시스이고 이것은 또다른 논의를 필요로 하지만, 적어도 이경우는 카운터블이므로 그나마 다행인 경우라고 하겠다. 스토리상 그냥 넘어가자. )


참고로 베이시스에 1도 들어가 있는데, 상수는 임의의 주기를 갖으므로 이 공간에 들어간다. 나는 개인적으로 베이시스 1 대신 1/2 를 더 선호한다. 즉, f(x) = a0 ( 1/2 ) + a1 cos ... + a2 cos + ... ~~ + b1 sin ... + b2 sin ... +  ...~~   의 꼴로 쓰는걸 더 좋아하는데, 이렇게 쓸경우, 계수식이 아주 약간 더 간단해지는 이점이 있다. 뭐 별로 중요한 얘기는 아니다.


이 베이시스들이 직교이냐 아니냐를 따지기위해서는 사실 내적공간 이라는 것을 먼저 이야기해야 한다. 참고로, 왜 함수의 내적을 두함수의 곱에대한 적분으로 정했는가는 매우 흥미로운 주제이다. 그리고 우리는 그 주제를 피해갈 수 없다. 그러니 일단 뒤로 미뤄두기로 한다. 암튼 이것은, 주기함수의 삼각함수 익스팬션이고, 이때 삼각함수를 그 스페이스의 베이시스로 잡은것이라고 말 할 수 있다.


일단은, 저러한 짓이 항상 가능하다고 치자. 그렇다면, 이제 중요한것은 각각의 함수를 만들어 내기위해, 싸인과 코사인을 어떻게 섞을것인가 하는 문제가 대두된다. 즉 계수가 중요해졌다.


요컨대, 함수와 계수의 시퀀스 사이에 1대1 대응이 존재한다는 거다.


참고로, 위의 푸리에 시리즈 표현은 베이시스들이 오소고날 하긴 하지만, 오소노말하진 않다. 원한다면 베이시스에 적당히 상수배해서 오소노말하게 만들어줘도 된다. 이렇게하면 좋은점은 계수를 구하는 식이 그야말로 간단해진다. ( 그냥 f 하고 해당 베이시스를 내적만 하면, 오소노말리티에 의해 원하는 계수가 나온다. 대신 베이시스들의 모양이 위의 것 보단 덜 이쁘게 된다. )


푸리에 이야기는 나중에 다시 자세히하기로 하고, 일단은 푸리에시리즈는 여까지만 이야기하자.


푸리에시리즈 뿐만 아니라, 엄청나게 많은 것들이 베이시스 익스펜션과 그 계수 라는 테마와 밀접하게 연관되어있다. 즉, 특정 베이시스로 전개했을때, 원래의 벡터와 그 계수와의 일대일 대응이 중요한 모티브라고 볼 수 있다.



3. 벡터와 계수사이의 맵.

이제 우리는 어떠한 벡터를 베이시스로 익스펜션 했을때, 그 벡터를 레프리젠트하는 본질이 바로 계수라는 것을 알았다. 이제 직접적으로 그 벡터에서 계수로 가는 맵에 대해서 살펴보자.


V 를 어떤 벡터스페이스 over F 라고 하자. 그러면, 임의의 벡터를 베이시스 벡터들의 선형조합으로 쓸때, 선형조합 계수들이 살고있는 세상이 바로 그 필드 F 인 것이다. F는 스케일러 멀티플리케이션 할때 필요한 녀석을 불러오는 공간이고, 그것이 필드 (Filed, 체) 라는 말이다.

그룹(군), 링(환), 필드(체) , 참고 -> http://sciphy.tistory.com/566  ( 물리의 장(field) 하고는 다른 개념이다. )


일반적으로, 선형조합 계수들은 그 벡터스페이스 V 에 살지 않고 F에 살고있다. 따라서, 우리는 V 에서 F 로 가는 맵을 생각해야 한다. 이러한 맵을 리니어 펑셔널 이라고 부른다. V 에서 F 로 간다는 것은 결국, 어떤 벡터에서 어떠한 값으로 간다는 것이다.


앞에서 예로든 푸리에시리즈를 보자. 푸리에 계수를 구한다는 행위는 결국 펑셔널인것이다. 어떤 함수(=vector)에서 에서 어떤 값 ( in F) 으로의 맵이니까 말이다.


결국,  앞의 글 ( 듀얼스페이스 1편 ) 에서의 정의에 따르면...

주기 P 인 실함수들의 공간을 V 라고 하고 ( 이때 F를 R 로 놓자 ) , 베이시스를 앞의 그 삼각함수들로 잡으면 ( 상수하나 포함하는거 귀찮아서 빼고 말해도 이해바람. ), 이 V의 듀얼스페이스는 V의 함수에서 실수값으로 가는 모든 맵의 공간이고, 듀얼 베이시스는 각각의 계수를 구해주는 맵들이 된다.


이경우 듀얼 베이시스를 표현해보자면 아래와 같다.

즉, 벡터를 주어진 베이시스로 전개했을때, 각 베이시스 벡터의 계수로의 맵이 그 베이시스 벡터의 듀얼 베이시스 벡터이다.

이것은 임의의 벡터에 대해 "계수를 생성해주는 맵" 을 일컫는 것으로, 계수자체가 아니다. 왜냐면 계수들은 각각의 벡터마다 다른 값을 갖지만, 이 맵들은 각각의 벡터가 아닌, 베이시스 자체에 의존한다.

이 듀얼베이시스가 말그대로 듀얼스페이스의 베이시스가 된다는 것은, V 에서 F 로 가는 임의의 맵 ( 즉 듀얼스페이스의 임의의 원소) 이 항상 이것들의 일차결합으로 표시될수 있다는 말이다.



( 3편에 계속... )