겹계승 ( double factorial 더블팩토리얼 ) & 멀티팩토리얼 ( multifactorial )

잘 쓰지는 않지만, 경우에 따라서는 상당한 편리함을 주기 때문에, 특히 르장드르 폴리나미얼 이나 베셀펑션 같이 데피니션만으로도 엿같은 그런 식들을 다룰때는 종종 사용해도 나쁘지 않다. 또 카탈란 시퀀스 따위를 다룰때도 제법 쓸만하다. 그래도, 사용할때는 되도록 노테이션에 대해서 미리 언급을 하고 쓰는게 좋다.

더블펙토리얼은 나름대로 식을 보는 인사이트를 준다. 그러니 굳이 최종식에 쓰지는 않더라도, 적어도 중간과정의 처리에 있어서 만큼은 유용한 놈임에 틀림없다.

일단 자연수에 대해서 기본적인 데피'니'션( 니 에 강세 ) 은

n !!  =   n *  ( n - 2 ) * ( n -4 ) * ...         인데, 보다시피, n 이 아드-_-ㅋ일때하고 이븐-_-ㅋㅋㅋ일때가 달라진다.   홀수면 1 까지 내려오고, 짝수면 2까지로 한다.  

주의)  factorial 의 factorial 이 아니다.   이것도 더블펙토리얼 잘 안쓰는 이유중에 하나인듯. -_- 보기에 헷갈려...

5 !! = 5 * 3 * 1     ,  cf )   ( 5 ! ) !  = ...  아 너무 커서 못하겠다.

겹계승이라는 단어는 더더욱 ( n ! ) ! 스럽기 때문에 사용을 꺼리고 싶은 심정이 된다.

factorial 에서 처음에 0 ! = 1 로 정의했던 이유가 ( 첨엔 별다른 이유는 없었고 ..) 몇몇 식들에서 팩토리얼이 분모로 내려가거나, 서메이션등에서 첨자가 0 까지 떨어졌을때 등에서도 잘 성립하도록 확장했던 것에 불과한것과 마찬가지로... 더블펙토리얼도 0 !! = 1 로 정의를 하고, 여기에 한술 더떠서 -1 !! = 1 로 정의한다.

그렇다고 무조건 그렇게 두서없이 기분내키는대로 정의한것은 아니다. 감마펑션으로 팩토리얼을 실수까지 완전하게 확장한것처럼 더블팩토리얼도 비슷한 확장을 할 수 있다.

아무튼... 이렇게 정의하고 가장 기본적인 프라퍼티를 살펴보면 ...  n !!  (n-1) !!   =  n !   하고,   (2n) !!  =  2^n * n !   정도 되겠다.

예를들면...    (2n-1) !!  =  (2n-1) !!   *   (2n) !!  /  (2n) !!   =    (2n) !  /  2^n * n!      처럼 쓰면 된다.


마찬가지로  ! 를 나란히 연달아 쓰는 표기는 멀티팩토리얼을 나타낸다.  뭔소리냐면,  ! 를 연속해서 k 번 반복해서 표기하면 k 스텝씩 뛰면서 곱하라는 뜻이 된다.

예를들면...   7 !!!  =  7 * 4 * 1    이런식이다.  역시 n !!  에서 n 이 짝수일때랑 홀수일때로 식이 갈렸듯이, 여기선 !!! 이 세개이므로, 3으로 나눈 나머지에 따른 분류를 해야한다. 즉, 일반zerg로 ! 가 k 개 겹쳐진 멀티팩토리얼이면 k 로 나눈 나머지에 따른 분류를 통해 식을 디테일하게 정의하면 된다.

그런데, 이때 느낌표의 개수가 많아지면 저거 보는것도 일이된다. 이쯤되면 그냥 대문자 파이 노테이션을 쓰지 느낌표 기호 잘 안쓴다. 그래도 차선책으로 나온표기가 있는데 매우 직관적이다.  ! 에 수퍼스크립트를 쓰는것이다. ! 가 세개이면 ! 에 3제곱한것처럼 우측상단에 작게 3을 써주면 된다. 실로 수학은 세상에서 가장 자유로운 학문이라 하겠다.  누구든 마음대로 정의하고 논의를 전개할 수 있으니 말이다.

별로 쓸일은 없어 보이지만, 그건 어디까지나 사용자의 몫이다. 그래도 역시 사용전에 노테이션 언급을 해주는것이 보는이로 하여금 혼동을 피하는데 도움을 줄 것이다.