애들을 가르치다 보면 가끔 느끼는 게, 얘네들 수학책이 은근 사기를 많이 친다는 거다. 내용이 틀린건 아니지만, 논리적으로 빵꾸난 부분을 고의적으로 숨기는 것이다.
물론, 의도는 이해하지만, 그래도 상황이 어떻게 돌아가는건지 얘기를 해주는 것이 수학책으로서의 자존심이 아닌가생각된다.
실례를 들어보자.
역행렬의 정의는 다음과 같다.
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어떠한 n차 정사각행렬 A 에 대하여,
AX = XA = I 가 되는 n차 정사각행렬 X를 A의 역행렬 이라고 한다.
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그런데 대부분의 책에서, 이후에 전개되는 내용을 보면, AB = I 이기만 하면, 은근슬쩍 B를 A의 역행렬이라고 하고 문제를 푼다.
사실 여기에 숨겨진 내용은 다음의 질문이다.
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두 n차 정사각행렬 A, B 에 대해, AB = I 이면 BA = I 인가?
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당신은 이것을 증명할 수 있는가?
실제로 옛날에 몇사람에게 물어적이 있는데, 대부분은 당연히 증명할수 있다는 반응을 보였고, 그럼에도 내가 바보같이, 왜? 라고 묻자. 식은죽 먹기라는 듯이, B를 A의 역행렬이라고 쓰더니 A 앞에다가 곱해서 I 가 된다고 증명을 마치기 일쑤였다.
푸헐... 그러나 그것은 내가 물어본것을 고대로 " 이름만 바꿔서" 다시 말한것과 다르지 않다.
사실 위의 질문은 역행렬을 정의하기 이전에 먼저 할 수 있는 질문이다. 즉, 역행렬을 전혀 안배운 사람에게도, 행렬의 곱과 단위행렬만 알고있는 사람이라면, 충분히 낼 수 있는 문제인 것이다.
따라서, B가 A의 역행렬이니까... 로 시작하는 증명은 이미 핀트가 벗어났다고 할 수 있다. 위의 질문의 참거짓을 증명해야 그다음부터 AB = I 이면, 당연히 AB = BA = I 가 되어, 역행렬이다 라고 얘기를 할 수 있는 거니까...
열 마디 말보단, 일단 증명부터 해보자.
