[암산문제] 만개의 스위치

이것은 순전히 암산문제임.


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어떠한 기계장치는 총 1만개의 스위치로 이루어져있다.

각 스위치는 1번 부터 1만번 까지 고유한 번호를 가지고 있다.

각 스위치는 토글 스위치로, on  모드에서 전구에 불이 들어오고, off 모드에서 전구에 불이 꺼진다.




그 다음,  만명의 사람이 다음과 같이 스위치를 변경한다.


첫번째 사람은   1번 스위치, 2번 스위치, 3번 스위치, 4번 스위치, 5번 스위치,  ...  , 10000번 스위치.
2 번째 사람은    2번 스위치, 4번 스위치, 6번 스위치, 8번 스위치, ...  10000번 스위치.
3 번째 사람은    3번 스위치, 6번 스위치, 9번 스위치, 12번 스위치,  ... 9999번 스위치.

...
...
...

1만 번째 사람은 10000번 스위치.

이런식으로 건너뛰면서, on 은 off 로 ,  off 는 on 으로 스위치를 바꾼다.


참고로, 초기상태는 모든 스위치가 on 상태였다.



만명의 사람이 위와 같이 건너뛰면서 스위치의 on/off 를 바꿨을때,
마지막에 켜져있는 스위치는 모두 몇 개인가?

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1. 암산으로 할 것
2. 수학적 논리를 제시할 것 ( 즉 증명 )