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All groups with a single element are isomorphic, all groups with just two elements are isomorphic, and all groups with just three elements are isomorphic.

When there is only one group structure for some, we use the phrase " Up to Isomorphism " to express this identification.

아프켄 6판을 구입. 이너내셔널 이디션이라 흑백이라는....쩝....

D minor Blues

이상은 이루어 질 수 없다. 이루어지는 순간 이상이 아니니까. 하지만, 그것이 우리가 이상을 포기하게 만드는 이유일 수는 없다. 이루어 질수 없는 것을 알지만, 그래도 이상을 향한 노력은 우리를 발전시킨다. 나는 비록 위대한 사람은 아니지만 이상을 바라본다. 그리고 우리모두는 그래야 한다고 생각한다. 이루어질수 없는 꿈을 쫓는 것은 무의미 한것이 아니다. 그러는 중에 생각지 못했던 작은 열매들이 모여 지금의 우리가 있는것이다. 포기하는 자는 게으른자다. 게으름은 실패의 아버지다. 게으름과 타협하고 그것을 정당화 해선 안된다. 멀리보자.

생각하는 대로 살지 않으면, 사는대로 생각하게 된다.

질량중심은 질량비에 의한 내분점이고 x, y, z 축에 대해서 다 생각할수 있으므로 벡터로 나타내면 편하다.

질량중심을 Center of Mass 라고 하고, 질량분포가 균질(homogeneous)하여 결과적으로 질량텀을 제거할수 있어서 단순히 기하학적으로만 질량중심의 위치를 나타낼때를 Centeroid 라고 한다.

 r_cm = < x_cm , y_cm , z_cm > 에서 x_cm = (1/M) ∑ m_i x_i  요렇게 되고. y , z도 마찬가지, 벡터형식으로  묶어쓰면..

             discrete : r_cm = (1/M) ∑ m_i r_i   , continuous : r_cm = (1/M) ∫  r dm

위 식에서 x_cm 식을 보면, y 의 좌표 , z 의 좌표는 들어있지 않다.

즉, 질량중심의 x 좌표를 구하는데 y,z 좌표는 영향을 미치지 않는다. 

1. 원뿔

원뿔은 질량중심은 꼭지에서 밑면 원의 중심을 잇는 선분을 3:1 로 내분하는 점에 있다.

이때 꼭지점을 수평이동하여 오블리크 원뿔을 만들더라도 질량중심의 높이는 변하지 않는다.

실제로 질량밀도가 변하는 막대(rod) 의 질량 중심을 구할때, 역으로 질량밀도가 균일한 입체로 바꿔서 푸는 방법도 있다.

2. 반구각

반구각의 질량중심도 높이만 구하면 된다. 적분으로 풀면 설정하기에 따라 다양하게 풀수가 있다.

일단, 적분으로 풀고, 다시 간단한 방법으로 풀어보자.

반구각을 x² + y² + z² = R² 이라고 하고, 질량중심의 높이는  z_cm = (1/M) ∫ z dm 이다.

반구각면을 S라고 하면, 면 질량밀도를 σ = M / S = M / (2 π R ² ) 이라고 놓는다.

z_cm = (1/M) ∫ z dm = ( σ / M ) ∫ z dS 가 됩니다. 여기서 dS 는 표면의 면적소이다. 인테그랄은 2중적이다.

높이에 따른 고리를 dm 으로 잡는 방법, 구좌표로 dS와 z를 표현하는 방법 등이 더 쉽다 ;;

구각을 xy plane 으로 정사영 하면 x² + y² = R² 이 되고, 넓이 π R ² 인 이 영역을 A 라 하자. 그리고 적분영역을 S에서 A로 바꾸면 면적소 dA= dx dy 이고, 수직위로 대응되는 dS cos θ = dA 가 된다.

즉, dS = dA / cos θ 이므로 적분영역을 A로 바꾸면 z_cm = ( σ / M ) ∫ z (dA /cosθ) 가 된다.

두 면이 이루는 각은 두 면의 노말벡터가 이루는 각과 같다.

dA 의 normal 벡터는 z축의 단위벡터로 잡고,  k 라고 하자.

dS의 노말벡터는 n = < x , y , z > 이다. 중심으로 부터 구면쪽으로 나오는 벡터다.

참고로 임의의 음함수꼴 곡면에 대해서는 그 음함수의 그레이디언트를 normal 벡터로 삼으면 된다.

(함수값이 가장빠르게 증가하는 방향은 곡면에 수직이기 때문이다. 그러면 타원껍데기도 구할수 있다.)

아무튼  n · k = <x,y,z> · <0,0,1> = z = |n||k| cos θ = R cos θ , 그러므로 cos θ = z / R 가 된다.

∴ z_cm = ( σ / M ) ∫ z (dA /cosθ) = ( σ / M ) ∫ z (R/z) dA =  ( σ / M )R ∫ dA 이 된다.

 적분영역이 어차피 A로 바꼈으니 ∫ dA = A =  π R ² 이 된다. (밑으로 사영된 영역의 넓이A)

∴ z_cm =  R  π R ²  σ / M = R /2 가 된다. 즉 반구각의 질량중심의 높이는 R / 2 이다.

다른 방법으로 풀어보자.

원을 회전시켜 구각을 얻을때 회전축의 미소길이 h에 대해 미소회전면의 넓이는 2πRh 가 된다.

이것은 고등학교때 회전체 파트에도 나온다. 아무튼 , 이것은 구의 아주 특이한 성질이기도 한데, 겉둘레면의 넓이가 중심축의 길이에만 의존한다는 거다.

혹자는 이걸 보고, 구형의 빵을 동일한 폭으로 썰면, 같은 양의 크러스트(빵껍질)를 얻을수 있다 고 말하기도...

또 어떤사람은 수박을 일정간격으로 썰면, 꼬다리쪽이나 가운데쪽이나 껍질의 면적은 같다 라고...  ㅡㅡㅋㅋ  아무튼 이러한 성질을 이용해서, 구각을 덮어놓았을때 높이축에 대해 미소길이를 잡으면 미소겉둘레넓이는 같게되고 , 따라서 구각에 대해 균일한표면질량분포를 가정했으므로, 미소축길이에 대한 미소테두리넓이는 같은 질량을 같게 된다.

이제 이 구각을 아까 원뿔과 같은 방식으로 압축하면 균질한 질량밀도를 갖는 막대가 된다.
그러므로 R/2 가 된다.

적분 결과와 일치한다!

어떠한 집합 S 과 어떠한 연산 * 을 묶어서 Algebraic Structure (대수적 구조) 라고 하고  보통, < S , * > 로 쓴다.

예를 들어, 자연수집합 N 과 덧셈 + 을 묶은 대수구조를 < N , + >  처럼 표기한다.

특히 그 연산이 Binary Operation ( 이항연산 ) 일때, Binary Algebraic Structure 라고 한다.

어떠한 Binary Algebraic Structure 가 다음의 조건을 만족할때 그 Algebraic Structure 를 Group ( 군) 이라고 한다.

                        연산에 대해 닫혀있을것, 결합법칙, 항등원, 역원 .

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예를 들어 보자.

Algebraic Structure < Z , + > 는 Group 이다.

왜냐하면, 정수집합은 덧셈에 관하여 닫혀있고, 결합법칙이 성립하고, 항등원 0 이 존재하고, Z의 임의의 원소a 에 대해 역원 -a 가 존재하기 때문이다.

반면에   < N , + > 또는 < Z , ·  > 는 군이 아니다..

보통 < S , * > 가 군 일때, 간단히  S is a group under the operation *  라고 하고, 집합을 군이라고 한다.
하지만 항상 암묵적으로 연산과 묶어서 생각해야한다.

앞에서 계속 물리적 벡터가 벡터스페이스의 원소와는 다른 것이라고 강조하면서도, 정작 벡터스페이스에 대한 언급은 별로 없었던것 같다. 벡터스페이스의 정의에 대해 좀 살펴보고, 벡터스페이스의 원소로서의 벡터가 물리적벡터와 다른 예를 알아보자.


일단 벡터스페이스의 모델이 된것은 분명히 물리적벡터이다. 그것들이 더해지는 방식의 특이함(?) 으로 부터 영감을 받았을 것이다.  벡터스페이스는 두개의 집합이 혼합된 구조이다.

하나는 벡터스페이스라고 불리는 그 자신이고, 또다른 하나는 그것과 엮인 필드이다.
여기서 필드는 물리학의 벡터필드가 아니고 수학적 구조인 필드를 가리킨다. 우리말로는 체 라고 하는데, 링의 특수한 경우이다.

어쩔수 없이, 그룹(군), 링(환), 필드(체) 에 대한 이야기를 해야겠다.

그룹이 집합과 연산 하나로 구성된 구조인 반면, 링은 집합과 연산 두개로 구성된 녀석들을 말한다. 링 중에서도 필드는 "실수"를 모델로 하여 링을 특수화 시킨것이라고 이해하면 편하다. ( 물론 반대로 실수모델로 부터 필드 라는 구조를 연구했고, 더 일반화 시켜 링을 연구했다고 해도 상관은 없다. )



대수학을 공부하다보면, 나중엔 온갖 수식을 몇페이지씩 쓰는데 정작 나 뭐하고있는거지? 하는 느낌이 들때가 있다. 그러한 공허함을 피하기 위해, 뭔가 실질적으로 연관된 대상을 떠올릴수 있게 공부하는것은 도움이 된다. 개인적으로 그 어떤 분야보다도 가장 그러한 현상이 심한 분야라고 생각된다.



그러한 의미에서 일단 필드가 실수를 모델로 한 녀석이다 라고 기억해두는 것은 여러모로 도움이 된다. 물론, 실수는 무한집합이므로, 유한 필드에 대해서는 좀 주의를 할 필요가 있긴 하지만 말이다. (무한과 유한은 거의항상 성격이 상당히 다르다.)


그룹 -> 링 -> 필드 의 순으로 살펴보겠다.



----------------------------------- 그룹 ( Group , 군 ) ------------------------------------
어떤집합 G 가 이항연산  ·  과 함께 다음의 성질들을 만족할때,
알제브레익 스트럭처 < G , · >  를 group 이라고 한다.

G1 )    associativity of  ·
G2 )    항등원 1 존재  for  ·
G3 )    역원 x -¹  존재 of  x ∈ G   for  ·
-----------------------------------------------------------------------------------------

연산에 대해 닫혀있을 조건은 따로 쓰지 않았지만, 기본적으로 만족되어야 할 조건이다. 제일 먼저 체크해야하는 조건이라고 하겟다.


관습상 연산을 생략하고 집합자체를 그룹이라고 부른다. 단, 어떠한 연산인가에 대해서는 오해의 소지가 없는 경우에 한한다. 또한,  대수학자들은  ·  표기를 자주 생략하고, 원소를 나란히 쓰는것을 선호한다.

위에  ·  로 표시한 연산을  · 로 표기해야 할 이유는 없다. * 도 좋고 아무래도 좋은데, 그냥 관습상  · 로 표기하는 경우가 많고, 생략하길 좋아할 뿐이다. · 는 곱셈도 될수 있고, 덧셈도 될수 있고, 또는 행렬곱이 될수도 있다.

항등원도 e 등으로 표기해도 좋으나 대수학자들이 1로 표기하는 걸 좋아하는 경우가 많다. 역원도 마찬가지다. 분수꼴로 표기하고 싶으면 그래도 되고 지수에 -1 을 쓰거나 프라임을 붙여도 좋다. 어떠한 표기를 쓰던지 간에 그것이 통상적인 표기와는 아무런 상관이 없다는 걸 인식하고 있는 것이 중요하다.




예를 들어보자.

예1 )  정수집합 Z 는 보통의 덧셈 + 에 대해 군이다. ( Z under the ordinary addition is a group )
닫혀있고, + 는 결합적이고, 항등원 0 ( 진짜 숫자 0 ) 이 있고, 모든 원소가 + 에 대한 역원을 갖는다.  

예2 )  성분이 모두 실수로 되어있고, n x n matrix 들 중에서 invertible 한 것들의 집합은 보통의 행렬곱에 대해 그룹이다.


---------------------- 아벨리안 그룹 ( Abelian Group , 아벨군 , 가환군 ) ----------------------

어떤 집합 G 가 commutative 연산  ·  에 대하여 group  이면, 이를 Abelian Group 이라고 한다.

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관습적으로, commutative 한 연산을 + 로 표시한다. ( 물론 보통의 + 과는 상관이 없다. )
< G , + > 으로 표시하면 아벨군임을 나타내는 것이 보통이다.

위에서의  (예1)  은 아벨군인데 반해,  (예2) 는 비아벨군이다.






하나의 연산으로 구성된 구조인 군과는 달리, 두개의 연산으로 구성된 구조가 링이다.


-------------------------------       링 ( Ring , 환 )      -------------------------------------

어떤집합 R 이 두개의 이항연산 + , ·   과 함께 다음의 성질들을 만족할때,
알제브레익 스트럭처 < R , + ,  · >  를 ring 이라고 한다.

R1 )     < R , + > 는 아벨리언 그룹이다.
R2 )      ·  는  associative 하다
R3 )      left & right distributive law of  · over +  가 성립한다.

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두개의 연산과 함께 묶은 수학적 구조를 링이라고 하지만, 군에서와 마찬가지로 혼동의 우려가 없을때 연산에 대한 언급을 대체로 생략하고 집합자체를 링이라고 부른다. 연산에 대해 닫혀있을 조건은 당연해서 쓰지 않았지만, 항상 기본적으로 염두에 두어야 한다.



위에서 R 로 나타난건 링을 나타내기 위한거지 리얼넘버 집합을 말하는게 아니다. 또한 위의 이항연산 + 도 커뮤터티브(교환법칙성립하는) 연산을 나타내는거지 실수의 덧셈이 아니다. 마찬가지로  · 도 실수의 곱셈이 아니다. 그냥 일반 이항연산이다. 그럼에도 불구하고, + 을 addition(덧셈) 이라고 부르고,  · 을 multiplication(곱셈) 이라고 부른다.


헷갈리게 왜 + ,  · 로 했느냐 하는것은 대수학자들의 관습이다. 혼란을 가중시킬 우려가 있긴 하지만 익숙해지면 오히려 편하다.


또한,  · 은 그룹에서와 마찬가지로, 생략한다. 즉 문자를 연달아쓰면 그것을  ·  이 적용된것으로 이해한다. 이러한 관습은 비록 약간의 혼동을 야기시킬수 있지만 우리의 습관과 일치한다.


한술 더떠서, 멀티플리케이티브 아이덴티티를 1 로 "표시"한다. ( 진짜 숫자 1 을 의미하는 것이 아니다.  참고로 unity 라고 부른다. ) 감 잡았겠지만, 어디티브 아이덴티티는 0 으로 "표시" 한다.  ( 역시 실수의 덧셈도 아니고, 값 0 도 아니다. )


링의 조건에 멀티케이티브 아이덴티티 조건이 없음에 주의하자. 즉, 1 이 있을수도 있고, 없을수도 있다. 반면에 0 은 있어야 겠다. ( 연산 + 에 대해서 아벨군이라고 했으므로... ) 아무튼 1은 없을수도 있고 있을수도 있으므로, 1이 있으면 Ring with unity 라고 말하면 된다. 그리고, 링의 각 원소에 대해서, 멀티플리케이티브 인버스를 가지는 녀석들을 unit 이라고 부른다.



예를 들어보자.

예1 )    정수집합을 Z 라고 하자, + 를 보통의 덧셈으로 ,  · 을 보통의 곱셈으로 하면, < Z , + ,  ·  > 는 링이다. 간단히 "정수집합은 링"이다.

예 2 )    어떤 집합 A 에 대해 A의 원소들을 성분으로 갖는 n x n matrix 들의 집합을 M_n( A ) 라고 나타내기로 하고, + 를 보통의 행렬합,  · 를 보통의 행렬곱(이따위로 말하는건 행렬곱의 종류가 다양하기 때문이다.)으로하면,  A 가 링일경우, < M_n( A ) , + ,  ·  > 도 링이다. 연산표시를 생략하는 이유가 느껴지지 않는가. 어차피 맨날 + ,  ·  로 쓰는거...  M_n( A ) 가 링이다 라고 말하는게 더 편하다.  ( 물론, 각연산이 무엇을 가리키는지에 대해서는 혼동의 여지가 없어야 한다. )





------------------------------       디비전 링  ( Division Ring )     -------------------------------------
      Ring with unity (≠ 0) R 에 대해, 모든 논제로 엘레먼트가 유닛이면 R을 디비전링 이라고 한다.
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즉,   · 에 대한 항등원과 + 에 대한 항등원이 각각 따로 있으면서, 모든 0아닌 원소가 곱에대한 역원을 갖고 있으면 그 링을 디비전 링 이라고 한다. (곱에 대한 역원을 갖으므로 나눗셈이 정의가능하고, 따라서 디비전 링이라고 부른다.)


-------------------------------  필드 ( Field , 체 )  ,  링으로 부터 ...  ----------------------------------
     Field   :=    commutative 디비전 링
---------------------------------------------------------------------------------------------------


그니까  · 도 가환연산이어야 되는것이고 ( 마치 실수에서의 곱셈이 그렇듯 ! ) , 모든 논제로 엘레멘트가 곱에대한 역원을 가져야 하는것이다. ( 마치 실수가 그렇듯 )


즉, 링중에서

1)   0 아닌 1 을 가져야하고
2)    ·  가 커뮤터티브 해야하고
3)   모든 0 아닌 원소가  ·  에 대한 역원을 가질때... ( 즉 유닛 일때... )

그러한 링을 필드 라고 한다는 말이다. 그런데,  이미 링조건에서  · 이 associative 인데다,  ·  에 대한 항등원 (즉, 1) 있어야 되고, 0만 빼면  ·  에 대한 역원도 있어야 되기 때문에...  < F - {0} ,  ·  > 은 그룹이된다. 게다가  · 가 commutative 해야 한다고 했으므로 < F - {0} ,  ·  > 은 아벨군이어야 한다는 뜻이다.


위에서 필드를 정의한 방식은 링 -> 디비전 링 -> 커뮤터티브 디비전링 으로 정의를 했지만, 그룹이나 링에 대한 설명없이 ( 그러한 것들이 주된 내용이 아닐 때 ) 그냥 바로 필드 컨디션을 정의하면... 다음과 같이 쓸수 있다.



---------------------------------   필드 (Field , 체 )  ,  연산의 관점에서 ...    -----------------------------------

어떤집합 F 가 두개의 이항연산 + , ·   과 함께 다음의 성질들을 만족할때,
알제브레익 스트럭처 < F , + ,  · >  를  field 라고 한다.

F1 )               +  ,  ·  둘다  commutative
F2 )               +  ,  ·  둘다  associative
F3 )               +  ,  ·  둘다 항등원 존재
꽃보다 남자 )   +  는 역원 존재,  ·  는  0 빼고 역원 존재
F5)  좌우 분배법칙 (  of  ·  over  + )

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그러나 뭐니뭐니해도 역시, 간단하게 기억하는것이 좋은것같다. 앞에서 이미 언급했던 것처럼 < F - {0} ,  ·  > 가 아벨군임을 상기하며, 두개의 아벨군과 두 연산사이의 분배법칙으로 필드를 간단하게 정의할 수 있다.


---------------------------    필드 ( Field ) ,  두개의 아벨군의 관점에서...   ---------------------------

< F , + ,  ·  > 가 필드라는 것은,

1.     < F , + > 가 아벨군                          ( R1 과 동일 )
2.     < F - {0}  ,  · > 도 아벨군
3.       · 의 + 위로의 분배법칙                     ( R3 와 동일 )

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예를 들어보자.


예1 ) 정수집합은 보통의 덧셈과 곱셈에 대해 링이지만 필드는 아니다. ( 곱셈에 대한 역원이 없다. )

예2 ) 어떤 링 R 에 대해, M_n( R )  은 링이지만 필드는 아니다. ( 연산은 보통의 행렬합, 보통의 행렬곱 )

예3 ) 실수집합 R (예2의 R과 다름) 은 보통의 덧셈, 곱셈에 대해 필드이다.

예4 ) Z_n = { 0, 1, ... , n-1 } 이라고 하고, 덧셈과 곱셈을 modulo n 으로 하면, n 이 prime number p 이면, Z_p 는 field 이다. ( why ? )






이제 벡터스페이스를 정의할 준비가 완료되었다.


--------------------------    벡터스페이스 ( Vector Space ) -------------------------------------------

어떤 집합 V 가 어떠한 필드 F 에 대하여, 두 연산 addition + , scalar multiplication  ·  과 함께, 다음과 같은 조건을 만족할때, V 를 a Vector space over F  라고 한다.

( 아래의 표기에서,  a, b ∈ F , x , y ∈ V  라고 하자 )

- Addition + -

VS1 ) commutative
VS2 ) Associative
VS3 ) identity , 0   ( zero vector , F 의 0 과 구별하기 위해 표기상 뭔짓이든 하는게 좋다. 볼드체를 쓴다던가... )
VS4 ) inverse , -x  for each x


- Scalar multiplication  ·  -

VS5 ) 1x  =  x                     ( 1 ∈ F )
VS6 ) (ab)x  =  a(bx)           ( 일종의 결합률 이라고도 할 수 있지만, 엄밀하게는 결합률은 아님 )


- Distributivity -

VS7 ) a ( x + y ) = ax + ay
VS8 ) ( a + b ) x = ax + bx      ( 일종의 분배율 이라고 볼 수 있지만, 엄밀하게는 분배율은 아님 )

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연산에 대해 닫혀있음은 당연해서 따로 쓰지 않았다. 하지만 항상 제일먼저 체크해야 할 항목이기도 하다.


위에서 필드 F 역시도 알제브레익 스트럭처로 두개의 연산을 가지고 있는데, 우리의 관습상 역시 + 와  · 로 표기하는것을 선호하므로, 혼동을 야기시킬수 있음에 주의한다. 게다가 F 에서의 연산  · 과 V 에서의 연산  · 는 둘다 표기를 생략하고 문자를 나란히 쓰는것을 좋아한다.

특히  ·  은 진하게 쓰면 , 통상적으로 벡터의 닷프로덕트로 쓰여서, 표기시 여간 짜증이 나는게 아니다.

닷프로덕트는 이너프로덕트의 범주에 따라 그것과 일치하기도 혹은 포함되기도 하는데, 이너프로덕트는 V x V -> F 로 가는 펑셔널이고, 이너프로덕트 스페이스는 선형대수의 중요한 테마이기도 하다. 아무튼 일일이 언급하기도 짜증난다. 하지만 그 차이들은 반드시 염두에 두어야 한다. 그렇지 않으면 다른 공간에서의 연산간의 맵을 이해하는데 총체적인 혼란을 겪게 될 것이다.


위의 내용을 좀 살펴보자.


VS1 부터 VS4 까지 addition 에 대해 서술해놨는데, 이 addition 은 V 에서의 연산이다. 0 역시도 F 에서의 0 이 아닌 V 에서의 0 이다. x ∈ V 일때 -x 는 x의 역원을 나타내고 이것은 모두 V 에서의 일이다. 저 마이너스와 숫자 마이너스와는 상관이 없다. 또한 F 에서의 -는 F에서의 덧셈에 대한 역원을 나타내기 위한 것이고, 저 마이너스는 V에서의 - 이므로 V 에서의 역원을 나타내는것이다. 예를들면, -1 은 1 ∈ F 의 역원이다.

그래서, ( -1 ) x  는   x ∈ V 에 -1 ∈ F 를 scalar multi. 한것이고, -x 는 x ∈ V 의 역원이므로 개념상 완전히 다른것이다. 하지만, (-1)x  =  -x 임을 "증명"함으로써, 상관이 있음을 알수 있다. 참고로 이것을 증명할때  (-1)x = -(1x) = -x 는 잘못된 증명이다. 첫번째 등호는 VS6 가 아니다. 첫번째 등호는 다른방법으로 증명해야한다.


VS5 의 1 은 F 에서의 멀티케이티브 아이덴티티이지, 숫자 1이 아니다. 그것이 V 의 scalar multiplication 이라는 연산에 대해 어떠한 역할을 하는지를 보여준다. 즉 V와 F 사이에 직접적인 관계를 이야기 하고 있다.

VS6 도 마찬가지로 V 와 F 사이의 연결을 보여준다. 이것은 통상의 결합법칙이 아니다. ab 와 x 가 서로 다른 집합에 속해있기 때문이다. 동등한 대상이 아니다.

VS7, VS8 은 통상의 분배법칙이 아니다. 특히, VS7 은 좌변과 우변이 같은 연산인 반면,  VS8 은 좌우 연산이 다르다. 이게 아주 중요한 컨셉인데... ( a + b ) x 에서 의 + 는  F 의 덧셈이고, ax + bx 의  + 는  V 에서의 덧셈이다. 상당히 복잡하면서도 흥미로운 맵이다.




참고로, VS2 ~ VS4 는  < V , + > 가 그룹임을 말하고 있고, VS 1 까지 추가되면서 ,  < V , + > 가 아벨군임을 말하고 있다.
따라서, 좀더 간단히 벡터스페이스를 말할 수 있다.



-----------------------------------  Vector Space , 좀더 간단히 ... ----------------------------------

a Vector Space V over a field F

1.      < V , + > 는 아벨군

2.      1x  =  x                                         ( where 1 = multiplicative identity in F )
3.      (ab)x  =  a(bx)

4.      a ( x + y ) = ax + ay
5.      ( a + b ) x = ax + bx

( where a , b ∈ F  ,   x , y  ∈  V )

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리니어 앨지브라에서 V over F 에서 F의 원소를 스케일러라고 하고, V 의 원소를 벡터라고 부르지만... 여기서의 벡터와 스케일러 두가지 개념 모두 물리학에서 정의하는 벡터, 스케일러와는 다른 개념의 것이다.

선형대수의 벡터와 물리적인 벡터와는 차이가 있음을 예를 통해 확인해보자.

예1 )  a nonmepty set S 와 어떤 필드 F 에 대하여,
         F ( S , F ) 를 S 에서 F 로 가는 모든 함수들의 콜렉션이라고 하자.
         addition 과 scalar multi. 를 통상적인 방식으로 정의하면...
         F ( S , F ) 는 벡터스페이스 over F 가 된다.

        즉, 이경우 벡터는 함수이다.  ( 크기와 방향을 갖는 물리적 벡터와는 다르다. )


예2 )    P(F) 를 필드 F 의 원소들을 계수로 하는 모든 다항식의 집합이라고 하자.
          addition 과 scalar multi. 를 통상적인 방식으로 정의하면...
           P(F) 는 벡터스페이스 over F 가 된다.

           즉, 이경우 벡터는 다항식이다. ( 역시 물리적 벡터와는 다르다. )

집합 S 가 임의의 오픈커버 O 에 대해, 항상 파이나잇(finite) 서브커버를 갖으면, S 를 컴팩트하다고 한다.

즉, 반례가 하나라도 있다면 컴팩트하지 않은것이다.

어떤 집합 S 가 어떤 콜렉션 오브 오픈셋츠 O 에 대해 ,  S ⊂ O 이면, O 를 S 의 오픈커버라고 한다.

어떤 Ordered Set S 에 대해서, 임의의 Nonempty Bounded above subset of S을 잡으면
항상 the Least Upper Bound 가 존재할때, S가 lub propery 를 갖는다고 말한다.

대표적인 예로 실수집합 R 은 lub property를 갖는다.

증명은 해석학 참조.

lub property 와 마찬가지로 glb ( greatest lower bound ) property 도 있다.
Nonempty bonded below subset of S 가 항상 the Greatest Lower Bound 가 존재할때,
S가 glb property를 갖는다고 한다.

그런데, 중요한 정리로...

어떤 ordered set 이 lub property를 갖는 것과 glb property 를 갖는다는 것이 동치임이 증명된다.

증명은 해석학 참조.

대수를 하기위한, 집합, 수론따위에 관련된 예비지식을 살펴본다.

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집합의 Cardinality 와 상등
A ⊂ B 일 땐 ,   |A| = |B|  ⇒   A = B

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Inverse image 의 포함관계 ( 역함수 아님 )
φ' ( E ) 를 E의 inverse image under φ 라고 하면...  A ⊂  φ' ( φ ( A ) )

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Function ( 특정한 조건을 만족하는 맵 또는 릴레이션 )
역시 카테션 곱으로 설명하자면,  X 에서 Y 로의 함수 f 는...   f ⊂  X  x  Y   ( X 를 도메인, Y 를 코도메인, f(X) 를 레인지 ),  가령, (a,b) ∈ f 라고 하면, a 는 한번만 등장해야 함.

기본적으로, X into Y
f(X) = Y 일때, X onto Y , surjection 전사
x값이 다르면 f(x) 값도 다를때, one-to-one 일대일, injection  단사
one-to-one 앤 onto   일때 , one-to-one correspondence 일대일대응 , bijection 전단사

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An Equivalence Relation on S    ⇔   An Partition of  S
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S 를 nonempty set 이라고 하고, S 위에서 어떠한 동치관계 ~ 가 있다고 하자.

그리고, S 의 원소 a 에 대해, a 와 동치관계에 있는 것들의 집합을 [a] 라고 표현하자.
즉, [a] = { x ∈ S  |   x ~ a  }

주장하는 바는, S 에서 어떠한 동치관계가 존재하면, S에서 그러한 동치관계에 있는것끼리 묶은 집합들은 S 의 파티션이 되고, 역으로, S의 어떠한 파티션이 있으면, "같은 셀(cell)에 포함되는 관계" 는 동치관계이다.


=> 방향 증명은, 일단 S의 모든원소는 a ~ a 이므로 포함되는 셀이 있으므로, 동시에 두 셀에 포함되지 않음을 보이면 충분하다. 그러면 자동으로 disjoint 가 된다.

<= 방향증명은 데피니션만 체크하면된다.



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이제 동치관계 ~ 가 있을때, 그에 대응되는 파티션이 있으므로, 그러한 동치관계에 의해 파티션된 각각의 셀을 생각해 볼수 있는데, 이와같이 어떠한 동치관계에 의해 파티션된 각 셀을 ~ 에 대응되는 equivalence class (동치류) 라고 한다.

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예) 자연수 전체의 집합을 패리티에 의해 두집합으로 나누자. 즉, 홀수집합과 짝수집합으로...
     그러면 1 과 3 은 같은 equivalence class 에 속하고, 2 와 4 도 같은 equivalence class 에 속한다.



곧바로 Residue Class 로 이어지는것이 당연하다.

자연수집합을 n 으로 나눈 나머지들로 분류하여 파티션한것을 Residue Classes (잉여류) modulo n 이라고 한다.

자연수집합은 이에의해 n 개의 셀로 쪼개지고, 각 셀 ( residue class) 들에 속하는 관계는 당연히 equvalence relation 이다. 즉, Residue Classes 는 Equivalence Classes.
대응되는 동치관계는 n 에 대해 같은 나머지를 같는 관계이다.


어떠한 두 수가 같은 Residue Class 에 들어갈때 , 이 둘을 modulo n 에 대해 congruent 하다고 한다.

보통   a ≡ b ( mod n )  으로 쓴다.

잉여류에 의한 정의대신, 수론 적으로 정의하자면,     n  |  ( a - b )   을 위와 같이 써도 된다.


반대로, " n에 대한 나머지가 같다 "라는 관계에 의해 자연수가 파티션된다면, 이것이 동치관계여야 할 것이다.
증명해보면...                                                                  (   mod n  표기는 생략.  )

1.   a ≡ a                                   ( 뻔함 )
2.   a ≡ b   ⇒   b ≡ a                  ( 뻔함 )
3.   a ≡ b    and    b ≡  c     ⇒    n | ( a - b )    and    n | ( b - c )    ⇒     n |  ( (a-b) + (b-c) )
                                         ⇒    n | ( a - c )    ⇒     a ≡ c                                      

책을 보면 공부가 하고싶어진다. 그런데 문제는 집에와서 가방을 여는것 조차가 참 어려운 일이 된다.

교재들을 나열해보자.

 주교재

부교재

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주교재

상태함수란, 계의 상태를 나타내는 함수를 말한다.

계의 상태를 나타낸다는 것은 어떤 소모적인 값을 의미하는 것이 아니라, 온도처럼 매우 더운 상태라든가 하는 식으로 계를 묘사하는 함수인 것이다. 따라서, 상태함수는 그 시점의 계의 상태를 말하므로, 계가 거쳐온 경로에 대해서는 관심이 없다. 그저 계의 상태를 나타내는 게이지와 같은 것이다. 따라서, 상태함수는 함수의 값이 경로에 무관( 경로독립, independent of the path )하게 상태에만 의존하는 함수이다.

경로에 무관하다는 말은 결국 그 계가 보존계임을 뜻하고 이는 함수의 미소변화가 전미분(total differential)임을 뜻한다. 즉 완전(exact)하다. 이는 나중에 열역학에 관한 맥스웰 이퀘이션을 유도하는 본질이 된다. 아무튼, 상태함수가 지나온 경로에 무관하게, 계의 상태만을 묘사한다는 것으로 부터, 상태함수의 변화량 (δ)은 처음상태와 나중상태에만 의존한다는 것을 쉽게 생각할 수 있다.

P (압력) , V (부피) , T (온도) 는 기본적인 상태함수이다. 이것들은 계의 상태를 묘사하는 상태함수이다. 그러나, 일반적으로 열량 q 나 , 일 w 는 경로에 의존한다. 따라서 비상태함수이다.

내부에너지(internal energy) U 는 다소 추상적 개념으로 역시 계에 내재된 또는 저장된 에너지를 나타내기 위해 도입된 상태함수이다. 다분히 철학적 개념의 함수라고 하겠다. 포텐셜 에너지와의 연관성을 생각해보는것도 흥미롭다.


등압과정에서 열량 q 는 열역학 1법칙 식을 정리하면  Δ(U+PV) 되고, enthalpy, H = U + PV 를 도입함으로써 이를 다루는데 더 용이하게 된다. enthalpy 는 상태함수로 구성되어있으므로 enthalpy 자신 역시도 상태함수이다. 상태함수들로 구성된 함수역시 상태함수라는 것은 직관적으로 매우 당연하다.

우리가 반드시 기억해야 할 것은 U 와 H 가 상태함수라는 것이다. 즉, 처음상태와 나중상태만 알면 반드시 구할수 있는것이다. 그 중간경로는 전혀 무관하다. 따라서, 그 변화량 ΔU , ΔH 도 역시 상태함수 이다. 다시말해, 1법칙 관련 문제를 풀때, ΔU , ΔH 를 구할때는 중간경로를 몰라도 긴장할 필요가 없다. 단지, 처음상태와 나중상태를 결정하기만 하면 된다.


상태의 변화과정이 isothermal 이냐 isobaric 이냐 adiabatic이냐 constant volume 이냐는 미지의 나중상태를 결정짓는 정보를 주기 위함이지, 직접적으로 ΔU , ΔH 를 구하기 위한 것은 아니라는 것이다. 물론, 과정만 알면, 곧바로 ΔU , ΔH 를 알수있는 경우도 많지만, 본질적으로는 과정은 중요하지 않다는 것이다.


문제를 풀어보면 느낌이 올것이다.


monatomic ideal gas (Cv,m = 1.5 R) 를 처음상태 P₁= 2 Pa ,V₁= 10 m³  상태에서 나중상태 P₂= 1 Pa,V₂= 40 m³ 로 변화시켰다고 하자. 이때 ΔU , ΔH 는 얼마인가?

상태함수에 대한 본질적 이해가 없다면, 이 과정이 단열과정인지, 등온인지 혼란스러울수도있다. 물론 주어진 수치로 부터, 등압이나 등적과정은 아니지만...변수가 문자로 주어졌다면 또 모를일이다. 아무튼, 우리는 ΔU , ΔH 를 구하는데 있어서는 상태함수의 특성으로 부터, 과정은 생각하지 않아도 된다는 것을 명심하자.

ΔU  =  Cv ΔT = n (Cv,m) ΔT             ,           ΔH  =  Cp ΔT = n (Cp,m) ΔT

여기서 Heat Capacity Ratio γ =  ( Cp,m ) / ( Cv,m ) 를 도입하면 , Cp,m = ( Cv,m ) γ 이므로,

ΔH = n (Cp,m) ΔT = n (Cv,m) γ ΔT  = γ Cv ΔT  = γ ΔU   이 된다.

그런데, 이상기체는 Cp,m - Cv,m = R 이고, 또한 monatomic ideal gas 는 Cv,m = (3/2) R 이므로..  γ = 5/3 가 된다.


이상기체 상태식 PV = nRT 로부터  ΔT = 1/(nR) Δ(PV)  이므로...

ΔU  =  (n Cv,m)/(nR) Δ(PV)   =  (Cv,m/R) Δ(PV) =  (3/2) Δ(PV)
      
      =  (3/2)( P₂V₂- P₁V₁)  =  (3/2) (40 J - 20 J )  =  (3/2)(20) J  =  30 J

ΔH = γ ΔU = (5/3) 30 J  =  50 J


중간과정에 관계없이 개념만으로 간단히 구할수 있다. 왜냐하면, 상태함수이기 때문이다. 한가지 흥미로운 것은... 이 문제의 경우, P,V 만 주어져 있으므로, PV = nRT 에서 모르는게 n과 T 이므로, 초기정보를 충분히 주지 않았다는 거다. 그럼에도 ΔU , ΔH 를 구할수 있다는데 주목하자.

문제를 풀기위해, 항상 모든것을 다 알아야 하는 건 아니라는거다. 보통의 경우. 초기상태를 결정해주고, 다시말해 3가지의 정보를 주고, 나머지하나는 PV = nRT 로 결정짓게 한후, 최종상태의 정보를 한가지만 준다던가 한다음에, 중간 경로를 준다. 단열이라든가 등온이라든가 등압이라든가...

그러한 경우들은, 중간경로를 통해서 최종상태를 유도해낼수있다. 결국엔 같은 문제다. 가령, 이상기체의 가역단열과정인 경우, P V^γ = constant 를 이용하여 최종상태를 결정지을 수 있다. 이상기체의 가역등온인경우, T 가 일정하므로 사실상 곧바로 ΔU , ΔH  = 0 임을 알 수 있지만, 이는 온도에 있어서 처음상태와 나중상태가 변화없다는 걸 말하고, 또한 이는 PV 의 변화가 없다는 말이기도 하다...


결론은 상태함수라는 걸 알면, 기본적으로 처음과 나중의 상태에만 주목하면 된다는거다.

녀석은 나와 비슷한 식성을 지녔다. 내가 좋아하는 건 놈도 좋아하고 내가 싫어하는건 놈도 싫어한다. 개밥은 예외다. 녀석은 과일과 야채를 좋아해서 베지테리안인가 의심한적도 있지만 고기에도 환장한다. 파도 먹는다. 양파도 먹는다. 상추도 좋아한다. 마늘도 먹는데 먹고나서 표정이 골때린다. 조개는 안먹는다. 이건 참 신기하다.. 생선은 잘먹는데...... 그리고 집에 있는 화초를 뜯어먹다가 엄마한테 후드러 맡는다. 정상은 아닌거 같다.

복돌이는 아주 영리한 개이다. 거울을 볼줄 알고, 티비도 볼줄 안다. "앉아" , "엎드려" , "손" , "물어와" 등등 왠만한건 다 하는데, 귀찮아 하는 기색이 얼굴에 역력히 드러난다.

한번은 엄마가 밥을 먹다가 잠이 들었단다 -_-;;;; 엄나는 한참뒤에 잠이 깼는데, 깨서보니까 반찬들은 셋팅이 되어있고 밥그릇엔 아직 밥을 푸지 않은 상황이었단다. 그래서 밥을 퍼서 맛있게 먹고있는데...순간 뇌리를 스치는 기억은 -_- .... 엄마가 밥을 푸고 찌개에 비비다가 잠이 들었다는 것이다. 그리고는 복돌이를 봤더니 배가 터질려고 하드랜다. ㅡ.,ㅡ 엄마는 복돌이가 깨끗하게 핥아먹은 밥그릇에 밥을 퍼서 드신거다. 그날 복돌이는 조낸 맞았다....

열역학 하면서 기체상수 R을 모르고 무슨 얘기를 할수있을까. 기체상수 R , 볼츠만상수 k , 플랑스상수 h 이 세 상수사이의 관계만 얘기해도 제법 많은 이야기를 할 수 있다. 가벼운 얘기부터 해보자.

기체상수는 외우고 있는가. 사실 꼭 외워야 한다기 보다는 열역학하다보면 너무 자주 나와서 자동으로 외워지는 상수라고 할수 있다. 근데, 보통 비슷한 문제들을 겪어봤으리라 예상이 된다. 그렇다. 매번 문제마다 다른 단위를 주는 것이다. 역시, 우리는 단위변환에 능숙해져야 할 필요가 있다.

기본적으로, R 의 차원에 대해 생각해보자. 기체상수가 들어있는 식 중에서 가장 간단한 식은 이상기체상태식일 것이다. PV = nRT 여기서 우리는 이 식의 디멘션에 관심을 가질필요가 있다. PV .... 무슨 텀인가... 그렇다 에너지 텀이다 P = F / A  이고 A = L^2 , V = L^3 이므로 PV = FL = E  즉, 에너지 텀이다.

우변을 보면, n의 단위는 mol 이고, T 는 K (또는 ℃ ) 이므로 R 의 단위는 J / ( K mol ) 정도 되겠다. 그렇다. 열용량(Heat Capacity) 가 J / K 이니까.... R의 차원은 몰라열용량(Molar Heat Capacity) 인것이다. !! 다시말해, R의 차원은 이상기체 1몰을 1도 올리는데 드는 열량으로서 이상기체에 대한 Molar Heat Capacity 인 것이다 !  ( 참고: 단원자 모형의 이상기체에 대한, 정적 몰라 열용량 = 3/2 R )

물론 PV 자체가 에너지 텀이므로, ( atm L ) / ( K mol ) 이라든가 그밖에 다른 압력단위와 부피단위의 곱으로 분자를 쓸수도 있겠다. 사실 간단하게 R 이 대략 8.31 J / Kmol 이라는 것을 외우고 있어도 단위 변환만 능숙하다면 실제 문제푸는데는 어려움이 없다. 다른 단위들에 대해 정의나 개념정도만 정확하게 알고있다면 말이다.

가령, 부피단위 L 는 뭔가? 그렇다, 가로세로높이가 10cm 인 정육면체의 부피이다. 따라서 1 L = ( 10cm )³ = ( 10^ -1 m )³ = 10^ -3 m³ 가 된다. 다음 atm 은 뭔가. 그렇다 atmosphere 이다. 대기압스케일이다. 그러니 보통은 1 atm 이 되겠다. 초등학교때의 기억을 되살려 보면, 1 기압은 1013 hPa 이었다. 이런건 좀 기억해두는게 좋다. 헥토파스칼을 보고 100 Pa 이라고 외우고 있다면, 지금 당장 접시물에 코박고, 접두사부터 외우자. Pa 은 SI 단위다. 즉, N / m² 는 모를리 없을거다. 따라서, 단위변환에 어려움이 없으리라고 본다.

그런데, 사실 우리는 중학교때 이미 기체상수를 유도하는 법을 배웠다. 아보가드로의 가설이라고 해서 분명 배웠다. 아보가드로는 "모든 이상기체 1mol 은 STP 조건하에서 22.4 L 의 부피를 갖을 것 " 이라고 가설을 세웠다. 맞게 쓴건지 모르겠다. 가물가물... 적어도 22.4 L 는 기억이 난다. 저 말로 부터 기체상수를 유도해보자. 중학교 교과서에 나오는 이야기라는것이 새삼 놀랍다.

우선 STP가 걸린다. 스탠다드 템퍼러쳐 앤 프레셔 다. 표준온도압력조건...0℃ , 1기압 을 말한다. 암튼 이상기체니까 PV = nRT 에 넣어보자. R = PV / nT =  ( 1atm ) ( 22.4 L ) / (1 mol * 273 K ) 계산하면... R  = 0.082 atm L / K mol  그렇다. 저 외우기 복잡해 보이는 수치는 단지 22.4 나누기 273 이었던 것이다. ( 사실 복잡해 보이는건 단지 소수점 때문이다. )

아무튼, 이로써 분자(numerator)가 atm L 단위인 R 은 간단히 해결되었다. 이제, 1 atm = 1013 hPa , 1 L = 10^-3 m³ 을 대입하면... (수치적으로는 곱하기 101.3 만 하면 되겠다) R = 8.31 J / K mol  이 된다. 참고로 다른 단위로의 전환도 단위의 정의만 알면 문제될게 없다.

가령 mmHg 는 수은기둥의 높이이다. (Hg 가 수은) 1기압일때 수은기둥이 76cm 올라가니까 760 mmHg 이 1기압. Torr (토르) 는 수은기둥 세워서 높이잰애가 이름이 토리첼리였다는 거니까... 결국 mmHg 랑 같은 단위이다. bar 는 대략 atm 하고 비슷한 단위인데, SI 유닛으로 대충 atm 맞춘거니까 101300 Pa -> 대략 10^5 Pa = 1 Bar
psi 는 pound per square inch 니까 역시 문제없다.