[삼각함수] 정다각형을 통한 삼각함수 공식
Math2008. 11. 1. 23:09 |전자기학 문제로 부터 영감을 받아, 삼각함수에 관한 공식을 하나 유도해보자. 문제 다시보기, 정답 다시보기
반지름이 1인 원주상에 n 등분하여 정 n 각형을 만든다. 중심에서 n 개의 꼭지점에 이르는 단위벡터들을 놓되, 한 꼭지점만 빼고 주자. 그리고 나서 합벡터를 구하면, " 벡터를 하나 더하고 빼는 방법" 으로 합력은 중심에서 빈자리쪽 반대방향 으로 단위벡터 하나만 남게 될 것이다.
그 초기에 벡터를 부여받지 못한 꼭지점을 (0,1)에 배치를 하면, 중심으로부터 나머지 꼭지점들로 나아간 단위벡터들의 y 성분의 총합이 -1 이 된다. 이때, 나머지 꼭지점들은 좌우 대칭이 되는데, 짝수 정다각형은 재미가 없으므로, 홀수 다각형에 대해서만 고려하기로 한다.
이 경우 n-1 개의 꼭지점이 y 축에 대해 좌우 대칭으로 분포하게 되고, 따라서, (n-1)/2 개의 꼭지점의 y축 성분의 총합은 -1 이 된다. 좌우 대칭이므로 한쪽에 대해서만 적용하면 그 합은 아래쪽 방향으로 1/2 이 될 것이다.
아래 그림과 같이, -y 축을 기준으로 시계방향으로 돌면서 P_1 , P_2 , ... , P_( n-1)/2 번까지 번호를 붙이자. 정 n 각형의 한내각을 반으로 나눈 각도를 α 라고 하자.
P_1 에 대해서는 무조건 아랫쪽방향 성분이 sin α 가 된다.
P_2 에 대해서는 P_2 가 x 축보다 아랫쪽 (즉, 3사분면) 에 있으면 sin ( 3α - π ) 가 되고, x 축 보다 윗쪽 ( 즉, 2사분면 ) 에 있으면 윗쪽방향으로 sin ( π - 3α ) 가 되는데, 아랫쪽 방향으로 sin (3α - π) 이므로, 윗쪽이건 아랫쪽이건 상관없이 아랫쪽 방향에 대한 기여도는 sin ( 3α - π ) 된다. ( 그때는 어차피 괄호안이 음수가 되어 위쪽으로 기여한다. )
이걸로 우리가 원하는 결과는 이미 다 얻었지만, 수학은 아름다운 학문이므로, 미적요소를 고려하여 좀 더 손질을 하면...(계산에는 별로 도움이 되지 않지만... )
써머리를 해보면 아래와 같이 쓸수가 있다. ( 단, n 은 3 이상의 홀수 이다. )
즉, 우리는 sin 54 ˚ - sin 18 ˚ = 1/2 인 것도 확인 할 수 있고, 또한 sin 70 ˚ = sin 10 ˚ + sin 50 ˚ 인 것도 확인 할 수 있다.
참고로, 정 15 각형에 대해 적용해보면, 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.
sin 6 ˚ + sin 54 ˚ + sin 78 ˚ = sin 18 ˚ + sin 42 ˚ + sin 66 ˚
똑같은 공식을 cosine 으로 유도해보자. 세팅을 좀 달리해서 , 아래와 같이 하고 cosine 으로 같은 논리를 전개한다.
예를들면, n = 15 이면 ,
cos 24 ˚ + cos 48 ˚ + cos 72 ˚ + cos 96 ˚ + cos 120 ˚ + cos 144 ˚ + cos 168 ˚ = - 1/2
반지름이 1인 원주상에 n 등분하여 정 n 각형을 만든다. 중심에서 n 개의 꼭지점에 이르는 단위벡터들을 놓되, 한 꼭지점만 빼고 주자. 그리고 나서 합벡터를 구하면, " 벡터를 하나 더하고 빼는 방법" 으로 합력은 중심에서 빈자리쪽 반대방향 으로 단위벡터 하나만 남게 될 것이다.
그 초기에 벡터를 부여받지 못한 꼭지점을 (0,1)에 배치를 하면, 중심으로부터 나머지 꼭지점들로 나아간 단위벡터들의 y 성분의 총합이 -1 이 된다. 이때, 나머지 꼭지점들은 좌우 대칭이 되는데, 짝수 정다각형은 재미가 없으므로, 홀수 다각형에 대해서만 고려하기로 한다.
이 경우 n-1 개의 꼭지점이 y 축에 대해 좌우 대칭으로 분포하게 되고, 따라서, (n-1)/2 개의 꼭지점의 y축 성분의 총합은 -1 이 된다. 좌우 대칭이므로 한쪽에 대해서만 적용하면 그 합은 아래쪽 방향으로 1/2 이 될 것이다.
아래 그림과 같이, -y 축을 기준으로 시계방향으로 돌면서 P_1 , P_2 , ... , P_( n-1)/2 번까지 번호를 붙이자. 정 n 각형의 한내각을 반으로 나눈 각도를 α 라고 하자.
P_1 에 대해서는 무조건 아랫쪽방향 성분이 sin α 가 된다.
P_2 에 대해서는 P_2 가 x 축보다 아랫쪽 (즉, 3사분면) 에 있으면 sin ( 3α - π ) 가 되고, x 축 보다 윗쪽 ( 즉, 2사분면 ) 에 있으면 윗쪽방향으로 sin ( π - 3α ) 가 되는데, 아랫쪽 방향으로 sin (3α - π) 이므로, 윗쪽이건 아랫쪽이건 상관없이 아랫쪽 방향에 대한 기여도는 sin ( 3α - π ) 된다. ( 그때는 어차피 괄호안이 음수가 되어 위쪽으로 기여한다. )
이걸로 우리가 원하는 결과는 이미 다 얻었지만, 수학은 아름다운 학문이므로, 미적요소를 고려하여 좀 더 손질을 하면...(계산에는 별로 도움이 되지 않지만... )
써머리를 해보면 아래와 같이 쓸수가 있다. ( 단, n 은 3 이상의 홀수 이다. )
즉, 우리는 sin 54 ˚ - sin 18 ˚ = 1/2 인 것도 확인 할 수 있고, 또한 sin 70 ˚ = sin 10 ˚ + sin 50 ˚ 인 것도 확인 할 수 있다.
참고로, 정 15 각형에 대해 적용해보면, 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.
sin 6 ˚ + sin 54 ˚ + sin 78 ˚ = sin 18 ˚ + sin 42 ˚ + sin 66 ˚
똑같은 공식을 cosine 으로 유도해보자. 세팅을 좀 달리해서 , 아래와 같이 하고 cosine 으로 같은 논리를 전개한다.
예를들면, n = 15 이면 ,
cos 24 ˚ + cos 48 ˚ + cos 72 ˚ + cos 96 ˚ + cos 120 ˚ + cos 144 ˚ + cos 168 ˚ = - 1/2