iff ( if and only if ) 와 필요충분조건

p ⇒ q  " p implies q "   ( 즉, p → q  가 항상 참일때... )

p 는 q 이기 위해 충분(sufficient) 하다고 하고, p를 q 이기 위한 sufficient condition 충분조건 이라고 한다.
q 는 p 이기 위해 필수적(necessary) 이라고 하고, q를 p이기 위한 necessary condition 필수조건 이라고 한다.

개인적으로 필요조건이라는 말을 별로 안좋아한다. 국어적으로 매우 모호한 용어라고 생각한다. 하지만 필요조건이라는 용어도 앞으로의 논의에서 동일하게 종종 사용하도록 하겠다.

위의 용어들은 진리집합을 벤다이어 그램으로 그려서 보면 잘 와닿는다.

p 와 q 의 진리집합을 각각 P, Q 라고 할때,  P ⊂ Q 이므로, 벤 다이어그램으로 그려보면...

특히 p ⇒ q 이고,  q ⇒ p  일 때,  이것은 필요조건이면서 동시에 충분조건이므로, 이를 필요충분조건이라고 한다.
즉, p 가 q 이기 위한 필요충분조건이라는 말은, 두 명제가 동치이다 라는 말과 같은 뜻이 된다.


if and only if
이번에는 if 와 컨디셔널 사이의 관계를 살펴보자.

" if p , then q "  는  p → q 와 같다.

" p if q " 는 "q 이면 p 이다" 가 되므로,  p ← q 와 같다.  즉, 화살표가 오른쪽에서 왼쪽으로 향한다.

" p only if q " 는 " 오직 q 일때에 한해서만 p 이다 " 인데,  곰곰히 생각해보면, " q 가 아닌경우에는 절대로 p 일수 없다"는 말이다.

결국,   ￢ q → ￢ p  와 같고, 이것은 다시 p → q 와 같다.
 

요컨대, p if q   는  p ← q  이고,   p only if q  는  p → q  이므로,   p if and only if q  는   p ↔ q   와 같게 된다.
if and only if 를 줄여서 간단히 iff 로 쓰기도 한다.