포트란의 다중분기는 SELECT CASE 에 의해 이루어진다. C언어의 SWITCH 문과 비슷하다.

기본자료형으로 복소수형을 제공하고, 게다가 실수와 믹스트모드 연산이 자유롭게 가능하므로,

조건 분기문 IF 의 구문은 다음과 같다.

조건분기와 루프를 하려면, 우선 논리연산 부터 찾아봐야 한다.

C 에서 #define 으로, 상수에 이름을 붙여서 사용했던것과 비슷한 이유로 포트란에서도 상수에 이름을 붙여서 사용할수 있다.

포트란의 기본 자료형은 다음의 5 가지이다.

우선 리니어리티 ( 선형성 ) 에서 출발하자.

철수가 어느 패밀리 레스토랑에 갔다.

cmd 창에서, 리눅스 처럼, man 을 쳐서 도움말을 보도록 배치파일을 작성해보자.
단, 도움말이 길어서 차근차근 보기가 어려울때가 많으니까, 파일로 저장해서 메모장으로 보도록 만들자.

그니까 요딴식으로 되는거다. cmd 창에서 man 뒤에다가 명령어 치면, 메모장으로 보여주는거다.


물론, 실행창에다가 cmd /c 로 치면, cmd 창은 알아서 닫히고, 메모장에 도움말만 나온다.  ( 스위치 /c 는 cmd 와 한칸 띄어준다. )

즉, 요딴식으로 치면, attrib.exe 에 대한 도움말만 메모장으로 나오고, 커맨드 창은 사라진다.


더 간단히, 그냥 실행창에,   ' man 명령어 ' 를 쳐도 된다.

암튼, 위의 기능을 하는 배치파일을 만들어 봤다. 첨부 파일을 클릭해서 실행해보자.

mansetup.bat

배치 스크립트는 다음과 같다.

@echo off
echo @echo off> %SystemRoot%\system32\man.bat
echo IF NOT "%%1"=="" ( help %%1 ^> "C:\Users\%%USERNAME%%\My Documents\%%1.man">> %SystemRoot%\system32\man.bat
echo start notepad "C:\Users\%%USERNAME%%\My Documents\%%1.man">> %SystemRoot%\system32\man.bat
echo ) ELSE ( echo.>> %SystemRoot%\system32\man.bat
echo echo man [command]>> %SystemRoot%\system32\man.bat
echo echo.>>%SystemRoot%\system32\man.bat
echo echo provides the Manual for the specified command in the Notepad.)>> %SystemRoot%\system32\man.bat


간단히 해석을 해보자. 앞에붙인 숫자는 줄 번호이다.

@echo off 

배치파일에서 수행되는 명령들을 감춘다. @는 echo off 자기자신도 감춘다.


echo @echo off> %SystemRoot%\system32\man.bat

echo 로 @echo off 라는 메시지를 내보내는데, 리다이렉션 > 시켜서 우측의 대상으로 보낸다.

시스템은 % 를 만나면 곧바로 치환을 하는데, %SystemRoot% 는 환경변수로, Windows가 설치된 폴더를 가리킨다.
즉, 윈도우즈가 설치된 폴더의 system32 라는 폴더에 man.bat 이라는 배치파일을 생성하여, 거기에 @echo off 라는 메시지를 집어넣는다.

echo IF NOT "%%1"=="" ( help %%1 ^> "C:\Users\%%USERNAME%%\My Documents\%%1.man">> %SystemRoot%\system32\man.bat

man.bat 에 append(덧붙이기) 모드  >> 로 다음의 메시지를 집어넣는다.
IF NOT "%1"=="" ( help %%1 > "C:\Users\%USERNAME%\My Documents\%1.man"

%%는, 이 배치파일 mansetup.bat 내에서 치환하지 않고, 리디렉션으로 넘어가서 %로 치환된다.

배치파일은 명령어의 묶음으로, 텍스트 파일이며, 확장자는 .bat 이다.  cmd 는 배치파일에서 한줄씩 읽어와 처리한다.

블럭화 혹은 그룹화(grouping) 는 괄호 ( ) 를 사용한다.  C의 { } 와 유사하다.

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REM (remark)  는   주석문이다.

REM statement               해당 줄 자체가 무시된다.

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명령어 앞에 @ 를 붙이면,  해당 "명령어"를 보이지 않게 한다.

이후의 명령어를 모두 감추려면, ECHO OFF 를 해준다.

따라서, ECHO OFF 자기 자신도 안보이게 하려면,  첫부분에 @ECHO OFF 라고 해주면 된다.

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PAUSE 는 배치파일을 잠시 중단시키며, " Press any key to continue ...  "   와 같은 메시지를 보여준다.

중단은 Ctrl + C 나 Ctrl + Break 로 할 수 있다.

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C 에서 main 함수의 인자 argv[] 로, 실행파일 이후에 오는 문자열들을 포인팅 했던것 처럼,
배치파일에서도 같은식으로 지정할 수 있다.

C에서, argv[0] 이 해당실행파일 명이었고, 그이후부터 argv[1] , argv[2] , ... 였던것과 마찬가지로, 배치파일에서도, 자기자신부터,
순서대로,    %0,  , %1 , %2 , ...  으로 포인팅한다.  최대 %9 까지 쓸수 있다.

참고로, 인자에 빈칸이 가능한경우 "%1" 과 같이 따옴표로 묶어준다.

배치파일에서, 무조건 분기는  GOTO (<--클릭) 문으로, 조건분기는 IF (<--클릭) 문으로, 루프는 FOR (<--클릭) 문으로 한다. 각 구문은 각 링크 참조.

주의할 점은,  윈도우 시스템이 배치파일의 %을 만나면, 곧바로 대응되는 녀석으로 치환을 해버린다는 것이다. 어떤의미에서 C의 #define 문이 하는 짓하고 좀 비슷하달까..

또한, C 에서 printf() 같은녀석으로 제어문자열 쓸때, 어떤녀석들은 기능을 탈출시키고, 문자로 찍어주기 위해서 두번반복해서 써야 하는 녀석들이 있었는데, 그와 비슷하게,  % 자체를 찍기위해서는 %% 를 써주면 된다.

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예제로 간단한 배치파일을 작성해보자. 예제보기.

실험실에 누군가 해놓은 낙서인데, 너무나 맘에 드는 humor(휴우머)라... 영구간직해야겠다.


그나저나, 우석이형은 뭐하고 있으려나...

표준입출력은 디폴트로 키포드와 모니터이다. 그것을    > ( ---> 방향 )  과   <   ( <--- 방향 ) 을 이용해, 입출력 방향을 바꿔줄수 있다.

참고로,  > 는 덮어쓰기(overwrite)가 기본이므로, 덧붙여야 (append ) 할때는    >>  를 쓰도록 한다.




예제로, 환경변수와 네트워크 설정정보를 test.txt 라는 문서로 저장해보자.

다음과 같이 입력한다.

여기서 && 는 command separator 로 두 커맨드를 한줄에 입력할때 사용한다. ( doskey 가 default 로 ON 되어있다. )
&& 로 구분된 좌우를 두줄로 따로 따로 친것과 동일하다.

첫번째 커맨드에서 > 로 오버라이트 모드로 쓰고, 두번재 커맨드에서 같은파일에 어팬드모드로 쓴것이다.

c드라이브로 가서, test.txt 를 열어보면, 환경변수 정보와 ip 설정정보를 볼 수 있다.



< 를 사용해서, 만들어진 test.txt 파일을 한페이지씩 화면에서 보기위해,  more < test.txt 라고 입력해보자.

리디렉션 대상으로 다음을 사용할 수 있다.

NUL                                                            null                              ( 아무짓도 안함 )
COM1 , COM2  , COM3 , COM4  등                직렬포트
LPT1 , LPT2  등                                           병렬포트
CLOCK$                                                     클락

AUX                                                            보조장치                         ( 보통 COM1 )
PRN                                                            프린터                            ( 보통 LPT1 )
CON                                                            콘솔                               ( 키보드 , 모니터 )



C에서, printf 따위로 제어문자열을 출력할때, 이스케이프 문자로 \를 썼었는데, 그것과 마찬가지로,  탈출문자 ^  를 쓸 수 있다.

즉, > 는 리디렉션 이지만, ^> 는 그냥 문자 > 이다.


가령, echo a>b 라고 하면, a 를 b 에 저장한다. ( b는 확장자는 없지만, 텍스트문서이다. )

반면, echo a^>b > c  라고 하면, c 에  문자열   a>b   를 저장한다.


마찬가지로,  리디렉션의 append 모드인  >>  의 경우,   ^>^> 따위로 쓰면 된다.

cmd.exe 의 구문  ( 박스괄호 [] 는 옵션이라는 뜻이고, 여기서 파이프 | 는 OR 의 의미이다. )

각 스위치의 기능을 간단히 살펴보자.


/C 또는 /K  :   명령실행후, 세션 종료 또는 남겨두기

실행창에서 도스명령어들 치면, 자동으로 세션이 종료되는데, 다음과 같이 /K 옵션을 주면 세션이 종료되지 않는다.

다음과 같이 실행해보고 차이를 확인해 보자.

    ( 셸을 켜놓은 상태라면, /C 를 줌으로써 자동으로 세션을 종료되게 하면 편한경우가 있다. )




/S  따옴표로 묶인 스트링의 처리

/Q  명령으로 들어온 것이, 배치파일일때, 배치파일 내부의 명령어들이 나열되어 보이지 않도록 에코를 꺼준다.


/D 레지스트리 ( 아래 경로 참조 ) 에 등록된 명령을 건너뛴다.

아래 경로에, cmd.exe 실행시, 자동실행되도록 명령을 지정해 둘수 있다.
복수개의 명령은 command separator && 를 사용해서 구분한다.

가령, cmd.exe 를 실행할때마다, 환경변수를 확인하고 ip 설정정보를 확인하고 싶다면,
아래경로의 레지스트리값을 set&&ipconfig 라고 주면 된다.

/D 스위치는 이렇게 저장된 명령의 실행을 하지 않도록 한다.

/E:ON   또는   /E:OFF     명령확장(command extension) 을 켜거나 끈다. 디폴트 는 ON 임.

명령확장에 의해 추가되는 명령어들은 아래와 같다.   /? 로 자세한 구문을 확인할 수 있다.

/V:ON    또는    /V:OFF          ! (exclamation character) 를 구분기호로 하는
                                             지연된 환경변수 확장 ( delayed expansion  of  environment variable ) 의 사용여부.
                                             디폴트값은 OFF 이다.

이 기능은, 배치파일에서, 환경변수를 실제값으로 치환하는 시점을 딜레이 시켜준다.
디폴트 ( OFF) 에서는, 파일을 불러들이는 시점에서, 환경변수를 실제값으로 치환하는데,
이 스위치를 켜면, 배치파일 내의 해당 커맨드가 실행되는 시점에서 치환한다.


/F:ON    또는    /F:OFF    파일과 디렉토리 이름 완성기능의 사용. 컨트롤 F 로 넘겨가면서 찾게되고, 컨트롤 D 를 누르면 디렉토리만 보여준다.

1. 정의

르장드르 변환은 변수를 바꾸는 변환인데, '어떻게 변환하는지' 는 이제부터 설명하도록 하겠다.

어떠한 함수 f 가 n 개의 변수를 갖는 다변수함수 라고 하자.
편의상 바꾸기를 희망하는 m 개의 변수를 x₁ , x₂ , ... , x_m 로 놓고,  변환하지 않는 나머지 n-m 개의 변수들을 y₁ , y₂ , ... , y_n-m  라고 놓자.

더 간단히, x =  ( x₁ , x₂ , ... , x_m ) , y = ( y₁ , y₂ , ... , y_n-m )  라고 놓으면,  f = f ( x₁ , x₂ , ... , x_m , y₁ , y₂ , ... , y_n-m ) = f ( x, y ) 라고 쓸 수 있다. ( x , y 는 여기서 편의상 이렇게 부르자는 것이지, 실제 변수명이 x, y 일때, x는 변환하고 y는 그대로 두고 한다는 말은 아니다.-_-; )

또한, "변환할 변수 공간" 에서의 del 을 ∇_x =  ∂/∂x  = ( ∂/∂x₁ , ∂/∂x₂ , ... , ∂/∂x_m )  으로 쓰기로 하자.

그러면, 변수 x 를  ∇_x f  (즉, ∂f /∂x ) 로 변환하는 르장드르 변환의 정의는 다음과 같다.


여기서  < , > 는 내적이다. 앞의 +, - 부호는 컨벤션이다. 어차피 변수가 변하는 것은 마찬가지다. 단지, 식의 부호가 바뀔 뿐이다. 아무거나 원하는 것을 써도 좋다.

일단 여기서는 간단히 + 컨벤션을 택하도록 하자. ( 필요하면 언제든지 - 컨벤션도 사용하겠다.)

참고로, 아래와 같은 벡터 노테이션도 많이 쓰인다. 



위의 르장드르 변환에 의해, 변수  x =  ( x₁ , x₂ , ... , x_m )  가  ∇_x f =  ∂ f/∂x  = ( ∂ f/∂x₁ , ∂ f/∂x₂ , ... , ∂ f/∂x_m ) 로 바뀌게 되는데,

변환된 새로운 변수를 편의상   u = ∇_x f =  ∂ f/∂x  = ( ∂ f/∂x₁ , ∂ f/∂x₂ , ... , ∂ f/∂x_m ) 라고 놓으면,

 ( 즉,   u₁ = ∂ f/∂x_{1  ,   ...   ,}  u_m   =  ∂ f/∂x_m   라고 놓은 것이다. )


르장드르 변환은 서메이션 컨벤션과 함께, 다음과 같이 간단히 표현된다.
( 주의, 서메이션 컨벤션이 쓰임. )


위에 나열한 세가지 표현은 모두 동일한 것이다.  ( 참고로, 세번째 노테이션 이 가장 선호된다. )




2. 변수와 함수의 변환 과정

함수의 르장드르 변환에 의해 변수의 변환이 이루어지는 과정을 살펴보자.

처음에 f 는 n 개의 변수를 갖는 다변수 함수였고, 이중에 선택된 m 개를 우리가 편의상 x 로 나타내었고, 나머지는 y 로 나타내었다.

르장드르 변환을 통해, f ( x , y ) 이  g ( u , y ) 로 변환된다.




여기서 g = x u  -  f  이고,  u와 곱해져있는 x 뿐 아니라, f 안에 들어있는 x 는 모두 u 의 함수로 써진다. ( = 좌표변환식 )






3. 르장드르 컨주게이트 와 역변환

르장드르 변환의 중요한 성질 중 하나는,  역변환이 자기 자신이라는 것이다.
즉, f 를 르장드르 변환해서 g 가 되었는데, 르장드르 변환을 한번 더하면, 다시 f 가 된다.

따라서, 르장드르 변환을 L 이라고 하면,   L ( L( f ) ) =  f  가 된다.  이는  L² = I  , L ^-1 =  L  따위로 쓸 수 있다. ( I 는 identity 변환 )


증명을 하기전에 다음의 사실을 관찰하자.


즉, ∂ g / ∂ u 가 다시 x 가 되는 것만 보이면, 역변환이 르장드르 변환 그 자신이 된다는 것은 자명하다.

증명은 간단하다.

이것으로, 르장드르 변환의 중요한 성질 " 르장드르 변환의 역변환은 자기 자신이다 " 가 증명되었고, 이 때, 가장 중요한 역할을 한 것은 바로, 위의 파란별표친 박스이다.

파란별표친 박스는, 변환된 변수에서 본래의 변수로 돌아가는 방법을 말해주고 있으며, 그것이 원래의 변수변환과 같은 형태임을 보여준다.
이러한 변환의 대칭성은 다음과 같이 나타낼수 있으며, 서로를 르장드르 컨주게이트 라고 부른다.

간단히 말해서, 르장드르 변환에있어 변환 전후의 변수들을 서로 르장드르 컨주게이트 라고 부른다.




4. 듀얼리티

르장드르 컨주게이트 베리어블들은 f  (또는 g ) 를 기준으로, 서로 리씨프로컬한 디멘션을 갖는다.  르장드르 변환식에서 보듯, f 와 g 는 같은 디멘션이고, x u 가 곱해져서, 그러한 디멘션이 된다. 이렇게, 르장드르 컨주게이트 변수들은 서로 완전하게 대응되는 쌍이면서, 동시에 서로 다른 공간에 살고있다고 할 수 있다.

또한, f 와 g 는 물론 같은 디멘션을 갖지만, 사는 공간이 각각  x,y 스페이스와 , u,y 스페이스로, 서로 다른 공간에 사는 함수가 된다.






5. 간단한 예제

변수가 몇개 안되는 간단한 수식으로, 르장드르 변환을 해보자.

ex1. 1변수




ex2. 2변수 중에 2변수 모두 변환


ex3. 2변수 중에 1변수만


이정도면 충분 한듯. 같은 식에서 y를 변환해도 된다. 직접해보길.

또, 삼변수, 사변수 일때도, 변환변수 임의로 잡은다음, 르장드르 변환을 하는 것도 어렵지 않게 해볼 수 있다.


6. 라그랑지안에서 해밀토니안으로

라그랑지안은 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 벨로시티들의 컨피규레이션 스페이스에 살고 있다.
여기서, 제너럴라이즈드 코디네이트는 그대로 두고, 제너럴라이즈드 벨로시티만 변환을 하도록 한다.

그럼 라그랑지안의 르장드르 변환 (w.r.t. 제너럴라이즈드 벨로시티) 는 다음과 같다.


특히, 변환된 변수가 제너럴라이즈드 모멘텀의 정의 이므로,  다음과 같이 쓸 수 있다.




해밀토니안의 변수들은 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀이므로, 헤밀토니안으로 운동을 기술하면, 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀에 의해 기술됨을 알 수 있다.

결과적으로, 헤밀토니안은 컨피규레이션 페이즈 스페이스에 살게 된다. 여기서, 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀을 서로 캐노니칼 컨주게이트라고 부른다. 또한, 르장드르 변환의 성질들을 그대로 가져오면... 제너럴라이즈드 벨로시티와 제너럴라이즈드  모멘텀은 서로 르장드르 컨주게이트이다.

간단히 도식화 하면 다음과 같다.


H 가 L 의 르장드르 변환인 관계로, 라그랑지 운동방정식도 모두 변환되어, 해밀턴's equations 이 된다.





7. 내부에너지/엔탈피 에서 헬름홀츠/깁스 프리에너지로

내부에너지와 엔탈피의 변화는 각각  dU = T dS - p dV   ,  dH = T dS + V dp  로,     U = U ( S , V )   ,    H = H ( S , p )   이다.
그런데 실제적으로, 엔트로피 S 는 컨트롤하는게 쉽지 않으므로,  르장드르 변환을 통해, S 를 다른 변수로 바꾼다.

참고로, 이때, 르장드르 변환의 - 사인 컨벤션을 쓴다.



이것이 헬름홀츠 프리에너지와 깁스 프리에너지의 정의이다.

각각 르장드르 변환을 통해, S 에서  ∂ U / ∂S = T  로,  S 에서 ∂ H / ∂S = T 로 변수가 변환되었다.


진짜로,   (S, V ) , ( S, p ) 에서 (T,V)  와 (T, p) 로 변수가 바뀌었는지를 확인하면서 글을 마무리 짓도록 하겠다.

망가 스튜디오를 일단 인스톨 하고, 그다음에 material 을 설치하게 되는데, 이때 중간에 오류가 나는거다.

오류 내용은 어떤 파일경로 principalufs Room and Meeting Rooms 에서 멈추더니,
The system cannot find the file specified.  ( 맞나? )  라고 뜬다.

그래서 일단 그 경로를 찾아가봤다.

웁스 !  저런,  u 에 움라우트가 들어있다 -_- ;;




해법은 간단하다.

CD 를 탐색으로 들어가면, 들어가자마자, Material 폴더와 Material.inf 가 있다.  이 두가지를 카피해서, 컴퓨터에 복사한다. 아무 폴더나 만들어서 넣은다음, 문제가 되는 폴더명의 u 움라우트를 그냥 u 로 바꿔주면 된다.

다음은 u 움라우트를 u 로 바꾼 모습이다.

그리고 나서 아래와 같이, 폴더로 부터 설치를 하면 된다.

그러면 폴더 선택하는 창이 뜨는데, 그때 "material 폴더와 inf 파일이 들어있는 상위폴더" 를 선택한다.
( inf 파일이 없으면, 망가 material 폴더가 아니라고 머라고 한다. )

암튼, 그러면 진행이 멈추지 않고 계속 고고싱 해서 설치가 완료된다.

설치가 끝났으면, 임시로 pc 에 저장했던 폴더는 삭제하면 된다.




방금, 네이버에서 검색했더니, 거기서는 정상적으로 인스톨 하지않고, 대신 하위 폴더들을 카피해다가 덮어쓰기 하는데, 어떤게 더 나은지는 모르겠다. 나는 그냥, 인스톨하는 장면이 나오는 이게 더 좋은거 같다. 선택은 각자.

Win7 은 사용자를 점차로 말단유저로 인식하는 경향이 강하다.

즉, 다음과 같은 전산세상의 위계질서에서, 최하위 계층으로 간주하는 것이다.

1. 시스템 디벨로퍼
2. 애플리케이션 디벨로퍼
2. 오퍼레이터
3. 어드밴스트 유저
4. "dumb-shit" end user


아무튼, 폴더에 접근이 안될때, 소유권을 가져와야하는데, 많은 경우 다음과 같이 해결할 수 있다. ( 모든 폴더가 다 되는건 아님. )

일단 해당폴더에서 우클릭을 하고, 보안(security)탭을 선택한다음, 고급(advanced) 로 들어간다.

거기서 소유권( Owner) 탭으로 들어가서,  편집(Edit) 를 누른다.

쇼유권을 가져올 계정을 선택하고, 하위폴더에 대해서도 가져오겠다고 체크해준다음, 확인을 누른다.

아래와 같이,  접근금지 되었던 폴더에 접근이 된다.

Alias Sketchbook 이 AutoCAD 만든회사인 Autodesk 로 넘어갔는데, 그바람에 스케치북이 무거워져서 나는 별로 좋아하지 않게 되었다.
그런데, 아이폰/아이팟터치 용으로 나온 무료앱 스케치북 모바일은 정말 "괜찮다~" 이다.
일단, 에일리어스 스케치북 때와 상당히 유사한 인터페이스를 가지고 있고, 네 귀퉁이의 터블탭으로 사용하는 기능도 상당히 편하다.


아이패드면 몰라도, 아이팟은 화면이 작기 때문에, 손으로 정교하게 그리기가 쉽지 않다. 그런뎐챠로, 낙서에 애로사항이 꽃피는데, 스케치북 모바일은 뒤로(실행취소, undo) 가 매우 편하게 되어있다. 그냥 좌하단 구석탱이를 손끝으로 두번 톡톡 치면 undo 가 적용된다. 그리다가 맘에 안들면 드립다 구석을 톡톡, 톡톡 치면 상당히 많은 스텝을 뒤로 돌아갈수 있다.

또한, 작은 화면에 정교하게 그리기 어려운 문제점을 획기적으로 보완한 부분이 '줌인'을 지원한다는 거다. 두손가락을 오믈락거려서 화면을 확대할수 있고, 손가락 두개를 댄체로 움직이면 화면을 좌우로 움직일수 있다. 따라서, 좀 자세하게 그리고 싶을때는, 화면을 확대하고 막 그린다음, 다시 오므려서 원래싸이즈로 돌아오면 그럭저럭 자세히 그린것과 같은 효과가 난다.

확대된 화면에서 곧바로 원래 싸이즈로 돌아오면서 화면에 핏되게 해주는거는, 오른쪽 상단을 두번 톡톡치면 된다.

암튼 재밌다 이거, 게다가 이 조그만게 레이어도 지원한다. 투명도도 설정가능하고, 붓싸이즈도 조절이 엄청 쉽다. 스포이드로 색상뽑아서 쓸수도 있고, 아무튼, 이건 칭찬을 해도 해도 부족하다. 무료앱주제에!

자주 팅기고 전송실패도 자주나고... 전송실패 난 트윗은 재전송해도 바로 전송실패가 뜬다.
그글 긁어다가 트윗덱에서 하면 잘되는데...
물론 트윗덱도 자주 팅겨서 좀 짜증...

음... 유료앱 가야되나...

이렇게 별천지이고 무궁무진한줄 몰랐고,
아이튠즈 U 에 그렇게나 많은 대학강의들이 올라와있는줄도 몰랐고...
다운받아서 들고다니면서 아이팟으로 보니까, 너무 좋다는거.

몇십개 다운받았더니 벌써 꽉찾다고 지우라하네 ㅠㅠ
아 64기가 살껄...

괜찮아 괜찮아... 아이패드 사면 되니까.

아이패드는 무조건 젤 큰 용량으로 사는거다 !

"아이튠즈U" 대박 !
"iTunes U"  만쉐이...

아이튠스 너무 좋아 ~~

p.s. 멜론꺼져, 벅스꺼져.

요즘 아이팟에 pdf 넣어서 책처럼 보는 재미에 푹 빠져있습니다.
아이패드에 대한 욕심이 안생길수가 없군요. ( 갤탭은 안중에도 없습니다... 이래서 애플 애플 하나봅니다. )

그린블루님 블로그에 예쁜 책이 한권올라왔더군요. 4판이던데, 웹에돌아다니는 아마도 1판인듯한 pdf 올려봅니다.
한폴더에 두개다 다운받아놓고, part1 을 압축풀기하면, 분할파일인 2번까지 같이 묶여서 풀립니다.

전부터 해보고 싶었던게 있는데, 바로 칠판 모드이다. ( 일전에 그린블루님 블로그 보고 나도 해보고 싶었다. )

SAI 툴이 레이어를 지원하니까, 칠판레이어 하나 놓고, 투명레이어에 흰색펜으로 쓰면서, 레이어만 추가해주면
상당히 편리하게 여러장의 그림을 그릴수가 있다. 오홋!

이번 글은,  다이버전스 띠어럼 ( 발산정리) 하고 스토크스 띠어럼 ( 스토크스 정리 ) 의 아주 간결한 폼에 대해서 간략하게 써보도록 하겠다.

여기서, 간결하다는거슨 엘레강스하고 알흠답다는 말과도 상통하기 때문에 우리가 추구하는 바이기도 하다.

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일단, 우리의 논의는 다이버전스 띠어럼과 스토크스 띠어럼을 이미 알고있다는 상태에서 출발한다.

그거슨 다음과 같다.

( 노테이션 :    da 는 면적분이고, d3x 는 부피적분, dl 은 선적분이다. )

우선,  다이버전스 띠어럼 부터 살펴본 후, 이어서 같은방식으로 스토크스를 살펴본다.
딱히 어려운 내용이 없으므로, 더이상의 설명은 생략한다.

( 노테이션 주의사항:  중복첨자에 대한 서메이션 컨벤션이 사용되었음. )

그러므로, 다이버전스 띠어럼이랑 스토크스 정리를 다음과 같이 쓸 수 있다.



이제, 위의 두식을 외운다음,

스칼라 필드에 자유롭게 곱해도 되고,
벡터필드에 닷프로덕트로 곱해도 되고,
벡터필드에 크로스프로덕트로 곱해도 된다.

그냥 자유롭게 막 쓰면 된다.

그림판을 애용하고 익숙해진 나같은 유저에겐 딱인듯.

포토샵처럼 무겁고 거창한거 말고, 가벼운걸 원한다면 강추인 아이템임.



그림판처럼 가벼우면서, 레이어를 지원하고, 색깔도 섞어짐. ( 생각했던것보다 기능이 무진장 많은듯. )

저울에 올려진 반구형 밥그릇의 테두리에 실을 붙여, 윗쪽으로 붙잡아둔 상태에서,  그림과 같이 경사각을 재봤더니,
θ 가 되었다.



저울에 나타난 밥그릇무게의 감소율을 구하라.

동영상 볼때 대박 편한 필수 아이템. iStand

엘레컴껀데 엄지만한게 만원정도 함 ;;; 좀 비싼거 같음. 근데 엘레컴꺼 전에 애기볼살 마우스패드도 몇만원 줬던거 같은데... 암튼 좀 비싸게 파는 회사인듯.

대충 요래 생겼고...

요런식으로 쓰는거임.



만족도 ★★★★

뜨거운 입김으로 꾸욱 눌러붙여주지 않으면, 간혹 떨어지면서 넘어질수 있음.

지렛대의 양쪽 팔 길이를 모르는 지렛대와 1N 무게의 나무토막을 많이 가지고 있다.

어떤 물체를, 왼쪽 끝에 올려놓고  오른쪽 끝쪽에 나무토막 5개를 올렸더니 수평을 이뤘다.
반대로, 오른쪽 끝에 물체를 올려놓고, 나무도막 4개를 왼쪽에 올렸더니 수평을 이뤘다.

물체의 무게는 얼마인가?

어린이를 위한 미적분학이라는 포스팅을 아주 어쩌다 한번씩 비공개로 군데군데 쓰고있는데, 이것도 그 시리즈의 일부가 되겠다.
앞부분 글들이 완성이 안된 관계로 일단 글번호는 생략하고 나중에 앞부분 글들이 어느정도 잡히면, 그때 순서에 맞게 배치할 생각이다.

이 글은, 대략적으로, 기본적인 미분테크닉을 익힌 정도, 다음에 오면 될것같다.

이글은, 1변수 테일러급수만 간단히 설명한다.
2변수 테일러는, 다변수 미분을 정의하고, 그다음편에 쓰겠다.

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멱급수 전개 (Power Series Expansion)

1, x, x^2 , x^3 , ... 이런식으로 차수가 증가 함에 따라,  그 기울기의 변화 정도는 이전의 것과 항상 다른 새로운 녀석이 되고, 그것은 점점더 격해진다. 이렇게 기울기의 변화가 모두 다른 녀석들을 잘 섞으면, 구불구불하게 생긴 이상한 함수를 만들어 낼수 있지 않을까?

이것은 달리 말하면,  임의의 함수 f(x) 를 ,  1 , x , x^2 , x^3 , .... 들의 조합으로 나타내보려는 것인데, 이러한 행위를  멱급수 전개 (Power Series Expansion) 이라고 한다. 

어떤 경우에는 유한개의 항만을 합쳐서 주어진 함수를 만들어 낼 수도 있겠지만, 상황에 따라서는 무한개의 항을 합쳐야지만 원하는 함수를 만들게 될수도 있을 것이다.  이것은 간단히 무한개의 항을 세팅하는것으로 모든상황을 포함시킬수 있다. 어차피 유한개의 항만 필요한 상황이라면 나머지 항의 계수를 모두 0 이라고 하면 되기 때문이다.

이제 1 , x , x^2 , x^3, x^4, ...  의 계수들을 a_n 이라고 하면, 어차피 베이시스(  1 , x , x^2 , x^3 , .... ) 는 고정되어 있으므로,
선형조합 계수들 a_n 만 모두 알면,  f(x) 를 아는것과 완전히 동일해진다.

따라서, 조합의 계수들을 구하는 것이 가장 큰 문제가 된다.

(1 + x ) ^ 3  를 예로 들어보자.

즉, (1+x)^3 이라는 함수를 기억하는 것과   수열 :  1,3,3,1, 0, 0 , 0 , 0 , ...   을 기억하는 것은 완전히 동일한 것이 된다. 즉, 중요한 것은 계수를 찾는 것이다.

테일러 급수 ( Taylor Series )

f(x) 의 멱급수 전개에 대해, f(x) 가 어떤 점 x = a 에서 무한번 미분가능할때 ( 미분값만 갖으면 되지, 값이 얼마인지는 상관이 없다. 주구장창 0 이어도 상관없다 ), 미분을 통해서, (x-a) 의 멱급수전개의 계수를 정할수 있는 일반적인 방법이 존재하는 데, 이를 a를 중심으로 테일러 전개를 한다라고 한다.

특히, x = 0 에서 무한번 미분가능하면, x 의 멱급수로 전개되고, 앞에서 언급한 예가 된다. 이럴때를 특히, 맥로린 급수라고 한다.
( 즉, 맥로린 급수는 0 을 중심으로 하는 테일러 급수 이다. )

우리도 심플함을 위해, x = 0 을 중심으로 전개한다고 하자.

이제 목표는, 무한번 미분가능이라는 무기를 가지고, 주어진 f(x) 에 대해, 어떻게 계수들을 모두 구하는 가이다.

멱급수 전개의 정의로 돌아가서, 양쪽이 완전히 같은 함수라는 말은,  이 식이 x 에 대한 항등식이라는 말과 같다.

x 에 0 을 때려넣어보면, 곧바로 a0 가 f(0) 라는 것을 알게 된다. 즉 주어진 함수에 0 값을 대입해서 나온 값이, 테일러 급수의 첫번째 계수가 된다.

이제, a1 부터 구해야 되는데, 어떻게 하면 다른계수들은 모두 죽어나가고, 원하는 계수만 죽지 않게 할 수 있을까?
그것은 바로, 한번 미분한뒤에 0 을 대입하는 것이다.

다항식의 경우 한번 미분하면 지수가 앞으로 내려오고 지수는 1씩 작아지는 것을 알고 있으므로, 한번 미분하면 다음과 같이 되고, x에 0 을 대입하면 a1을 제외한 모든 항이 날아간다. 따라서, 다음과 같이 a1 을 구할수 있다.

이쯤 되면 감이 와야 정상이다.  특정 an 만 남기고 다른 모든항을 날려버리느 방법은 n 번 미분하고 x 에 0 을 대입하는 것이다.

x의 차수가 n보다 작은 것들은, n번 미분했을때 모두  0 으로 날라가 버린다.
x의 차수가 n보다 큰 것들은 , n번 미분했을때 x의 차수가 1 이상이 되어, x=0 을 대입하면 모두 날아가버린다.

x의 차수가 n 인 항은 , n번 미분했을때 x의 차수가 0 이 되어 사라지며 남는것은 원래의 계수 an 와 미분때마다 하나씩 줄어들려 앞으로 내려온 n , n-1 , n-2 , ... , 1 들의 곱, 즉, n! 이 된다.


따라서 다음과 같이 테일러 계수를 일반적으로 구할수 있다.

이제 원래의 정의식

에 앞에서 구한 계수의 일반식을 대입하면, 아래와 같이 테일러시리즈의 일반식을 구하게 된다.

중심 a 에 대한 테일러 전개

위에서 심플함을 위해, 중심을 0 으로 놓았었는데, 이제 중심을 a 로 전개해보도록 하자.
앞에서 어떻게 원하는 계수를 포함하는 항 이외의 모든 항들을 날려버렸는지를 이해했다면, 이것은 정말로 쉬운 일이다.

특히, 1, x-a , (x-a)^2 , (x-a)^3 , ... 들로 전개되므로, 다른 항들을 죽일때, x = 0 을 넣는것이 아니라, x = a 를 넣어야 된다.

결과적으로 다음과 같이 된다.

멱급수 전개에 의한 함수의 변환

함수를 급수로 전개하는 것에 대한 중요한 관점은, 함수에서 수열로의 변환이다. 그것은 함수의 문제를 수열의 문제로 바꾸어준다. 해당 함수에서 다루기 어려웠던 문제가, 수열의 연산에 의해서 쉽게 풀릴수도 있다. 그리고 나서 다시 돌아가면 본래의 문제를 푼것이 되는데, 이것을 역변환이라고 한다.

특히, 멱급수 전개의 경우, (무한) 다항식이고, 많은 연산이 (무한) 다항식에 대해 항별 (term-by-term) 연산을 가능하케해, 상당히 다루기 용이한 면이 있다. 즉, 원래의 문제에서 어려워 보였던 문제가, 멱급수로 변환한후에 쉬워 보이고, 멱급수로 변환한 상태에서 쉽게 문제를 푼 후에, 다시 역변환을 통해 어떤 함수로 돌아가는지를 찾는 것이다.

이것은 변환 / 역변환 을 이용해서 문제를 해결하는 아주 중요한 아이디어이다.

또한, 멱급수 전개는 근사이론에서도 매우 중요한데,  x 에 대입하는 값이 절대값이 작은 경우, 고차항은 더더더 작아지기 때문에, 무시해도 정확한 함수값하고 별 차이가 생기지 않는다.  즉, 좋은 근사(approximation)를 얻을 수 있다. 이렇게 테일러 시리즈를 이용한 근사를 테일러근사 라고 한다.

테일러 근사에 대한 이야기는 다음에 따로 하도록 하겠다.

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예제, 이항전개

f(x) = ( 1 + x ) ^k 승이라고 하자. 여기서 k 는 그냥 실수이다. 정수일 필요는 없다.

이것의 테일러 급수의 계수 an 을 구하기 위해, f(x) 를 n 번 미분해보도록 하자. n번 미분하고 0 을 대입한 후에, n! 로 나누면 그것이 an 이라고 했다.

n번 미분하면 일단 k 가 계수로 나오면서 곱해지고, 지수는 1 이 주는 행위가 n 번 반복된다. 그리고 0 을 넣어서 an 을 구한다.

우리는 원하던 테일러 급수를 얻었다. 주의할 것은 k 가 자연수일 필요가 없다는 것이다. k가 분수라든가 해도 상관없다.

만약 k 가 자연수인 경우에는 ,  k+1 번 미분할시 그냥 죽어버리므로, 서메이션은 k 까지 하게 된다.
그리고, k 가 자연수인 경우에, 테일러 계수의 분자부분은 k P n 이고, 이것을 n! 로 나눈것은  k C n 이 된다.

즉, k 가  자연수인 경우, 자연수 승에 대한 이항전개식과 같아진다.

따라서, 이항계수의 정의를 실수범위까지 확장하여, 다음과 같이 택하면...

실수 지수까지 확장된 이항정리를 얻을수 있다.