[어린이를 위한 미적분학] 테일러 급수 ( Taylor Series , 테일러 시리즈 ) - 2 부 : 2변수 테일러 급수

앞서 [어린이를 위한 미적분학] 테일러 급수 에서, 1변수 테일러 급수를 어떻게 구하는지 살펴보았다.

이번에는 같은 논리를 2변수로 확장해보자.

일단, 2변수에서 테일러 급수를 논하기위해서는, 다변수 함수의 미분에 대해 짚고 넘어가지 않을 수 없지만, 일단 여기서는 필요한 모든 조건이 성립한다는 가정하에서, 테일러 급수의 계수를 구하는데만 초점을 맞추도록 한다. (다변수 함수의 미분에 관해서는 Calculus on Manifolds - M. Spivak 를 추천)

어떠한 2변수 함수 f = f (x,y) 가 (x0, y0) 을 지나고, 가령 무한번 미분 가능성 등의 조건들을 만족해, 어쨌든 다음과 같이 2변수 멱급수로 전개 가능하다고 하자.

계수의 첨자는 a_m,n 이라고 할때, m 은 x의 차수, n은 y의 차수랑 대응된다.

[ ] 는 첨자의 합이 0, 1, 2, ... 이런식으로 되도록 묶은것이다.

( 이런걸 weight 가 같다고 했던듯, 그래서 심지어는 isobaric 하다고 했던 거 같기도... -_-; )

암튼, 1 변수때와 마찬가지로, 계수만 결정하면 되는데, 기억을 되살려 보면...

우리의 메인 아이디어는, 미분과 대입을 통해, 구하고자 하는 계수만 빼고 전부다 날려버리는 것이었다.

a_0,0 부터 구해보자.

(x_0, y_0) 의 대입으로, a_0,0 를 제외한 나머지 모든 항은 사라진다. 따라서...

이제 a_1,0 과 a_0,1 을 구해보자. 어차피 (x0,y0) 를 대입할 것이므로, x 텀이든 y 텀이든 하나라도 살아있으면, 모두 0 으로 날아간다.

x 의 차수만 하나 떨어뜨리는 것은 x 로 편미분을 하면 되고, y 의 차수 하나만 떨어뜨리는 것은 y 로 편미분 하면 된다.

가령, x 로 한번 편미분 한 후에, (x0,y0) 를 대입하면, x 를 아예 포함하지 않는 항들은 기본적으로 모두 0 이 되고,

x 를 2차 이상으로 포함하는 항들은 (x-x0) 가 남아서, xo,yo 가 대입될때 모두 0 으로 사라진다.

결과적으로 (x-x0) 의 1차식만 가지고 있고, y항은 없는, a_1,0 의 항만 살아남는다. 따라서...

2차 까지만 더 해보자.

a_2,0 을 구하기 위해서, x로 두번 미분하고, x0,y0 를 대입하면 된다. x로 두번 미분하는 과정에서, x의 차수가 2차보다 낮은항들은 모두 사라지고, x의 차수가 2차보다 높거나, (y-y0) 를 가지고 있는 항들도 모두 사라진다.

단, 이때, (x-x0) 차수가 낮아지는 과정에서, 2! 이 앞으로 튀어나옴에 주의하자.

a_1,1 을 구하기 위해서는 x, y 한번씩 미분해주면 된다. 나머지항들은 x0,y0 대입하면 모두 사라진다. 

마찬가지로, a_0,2 를 구하기 위해서는 y 로 두번 미분해주면 된다.

이쯤되면, 감이 와야 정상이다.

x로 미분할때마다, x항의 차수가 앞으로 나오고, y로 미분할때마다 y항의 차수가 앞으로 나오므로...

보통의 사람이라면 다음을 유추한다.

이것으로 2변수 테일러급수는 다 구한거지만, 좀더 간결하게 써보자.

우선, 맨처음에 대괄호를 이용해서 표현했던 급수식은, 대괄호단위로 묶어서 생각하고, 다시 각 대괄호 안의 내용을 서메이션으로 표현하면, 다음과 같이 쓸수있다.

계수는 앞에서 구한 식에다 p 대신 k-m, q 대신 m 을 넣으면 되므로, 다음을 얻는다.

예제를 풀어보자.

하나 더 풀어보자.

같은 방식으로, n 변수로 확대하는 것도 어렵지 않다.

다음번에는 '테일러급수와 근사(approximation)' 에 대해서 살펴보도록 하자.