[역학] 라그랑지 운동방정식 ( Lagrange Equations of motion )
Physics/Math./Mech./Gen. Relativity2010. 3. 10. 20:30 |물론, 해밀턴 원리 ( 리스트 액션 프린서플 ) 로 부터, 라그랑지 이퀘이션 오브 모션을 유도할 수도 있지만, 라그랑지가 해밀턴보다 밥을 먼저먹었으므로, 우리는 라그랑지가 그랬듯이 달랑베르 프린서플로 부터 운동방정식을 유도한다.
링크 : 달랑베르 프린서플
달랑베르 프린서플 ( 기껏해야 홀로노믹 컨스트레인츠 )
달랑베르 프린서플은 다음과 같다.
귀찮으므로, 오해가 없는한 applied 를 의미하는 윗첨자 (a)를 생략하겠다.
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
일반화좌표로 δW 쓰면, δW = ∑ Qj δqj 라고 쓸 수 있다. 여기서도 마찬가지로 applied 를 의미하는 첨자 (a) 를 떼버렸다.
이제 두번째 텀을 살펴보자.
특히, 시간미분 연산자와 일반화좌표 편미분 연산자의 순서는 교환가능하므로 다음과 같다. ( 참고 : sciphy.tistory.com/365 )
또한, 위치벡터를 일반화좌표로 편미분한것과 속도벡터를 일반화속도로 편미분한것이 같으므로 다음과 같다. ( 참고: sicphy.tistory.com/326 )
좀 더 정리하면...
소괄호안의 것들은 모두 운동에너지 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.
따라서 달랑베르 프린서플은 다음과 같다.
( 헐, 이그림은 부호도 틀렸네... ㅡ.,ㅡ 왜케 그림들이 다 엉망인거야...ㅠㅠ 이것도 다시 수정해서 올리겠삼. 글자체를 다시 쓰는게 낫겠삼. )
참고로, 좌변의 두번째 텀, ∂T/∂qj 의 경우, 카테션좌표계에서는 항상 0 이다. 이 텀은 좌표의 곡률(curvature)에 의해 값이 나온다.
라그랑지 이퀘이션스 오브 모션
이제, 입자에 작용하는 어플라이드 포스가 conservative 해서, 스케일러 포텐셜 V 에 의해 씌여질수 있는 경우를 생각하자. ( 이경우 포스에 대한 포텐셜이므로 포텐셜 에너지라고 불러도 좋다. ) 포텐셜에 의한 힘 말고 다른힘이 더 있을때는 텀을 추가해주면 된다. 이것은 다음에 살펴볼 것이다.
그러므로, 앞에서의 달랑베르 프린서플은 다음과 같이 쓸 수 있다.
특히, 포텐셜 에너지 V 가 제너럴라이즈드 벨로시티에 의존하지 않는 경우에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
라그랑지안 ( Lagrangian ) L 을 L = T - V 로 도입함으로써, 윗식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
이것이 그이름도 유명한 라그랑지 운동 방정식이다.
주의할것은, 달랑베르 프린서플에서 어떠어떠한 제약조건을 가하여 이 방정식이 나왔는가를 염두에 두어야 한다는 것이다. 그러한 제약조건이 달라지면, 라그랑지 운동방정식도 달라진다. 예를들어, 포텐셜이 속도에 의존하는 경우, 라그랑지 운동방정식의 형태가 달라진다.
또한, 위의 그림에 비록 하나의 식만 써있지만, 일반화 좌표의 수만큼 방정식이 나오므로, 이것은 셋 오브 이퀘이션스 이다.
라그랑지안 이퀘이션의 장점은 물리문제를 기계적으로 풀 수 있게 해준다는 것이다. 그냥 적용만하면 운동방정식이 나온다. 물론, 미방을 푸는것은 이와는 별개의 문제이고, 그것은 뉴턴의 운동방정식도 마찬가지이다.
라그랑지 이퀘이션스 오브 모션이 믿을만한지 확인하기 위해, 우리가 잘알고있는 문제에 적용을 해보자.
예) 마찰이 없는 수평면위에서 질량 m인 물체가 용수철상수 k 인 용수철에 의해 수평으로 진동하고 있다고 하자.
우리가 선택할 좌표는 평형점으로부터의 수평좌표 x 이다. 이거하나면 물체의 운동을 기술하는데 충분하므로 좌표선정은 이걸로 끝이다.
따라서, 운동 방정식도 딸랑 하나만 나오겠다.
이는 우리가 알고있던 답과 일치한다.
링크 : 달랑베르 프린서플
달랑베르 프린서플 ( 기껏해야 홀로노믹 컨스트레인츠 )
달랑베르 프린서플은 다음과 같다.
귀찮으므로, 오해가 없는한 applied 를 의미하는 윗첨자 (a)를 생략하겠다.
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
일반화좌표로 δW 쓰면, δW = ∑ Qj δqj 라고 쓸 수 있다. 여기서도 마찬가지로 applied 를 의미하는 첨자 (a) 를 떼버렸다.
이제 두번째 텀을 살펴보자.
특히, 시간미분 연산자와 일반화좌표 편미분 연산자의 순서는 교환가능하므로 다음과 같다. ( 참고 : sciphy.tistory.com/365 )
또한, 위치벡터를 일반화좌표로 편미분한것과 속도벡터를 일반화속도로 편미분한것이 같으므로 다음과 같다. ( 참고: sicphy.tistory.com/326 )
좀 더 정리하면...
소괄호안의 것들은 모두 운동에너지 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.
따라서 달랑베르 프린서플은 다음과 같다.
참고로, 좌변의 두번째 텀, ∂T/∂qj 의 경우, 카테션좌표계에서는 항상 0 이다. 이 텀은 좌표의 곡률(curvature)에 의해 값이 나온다.
라그랑지 이퀘이션스 오브 모션
이제, 입자에 작용하는 어플라이드 포스가 conservative 해서, 스케일러 포텐셜 V 에 의해 씌여질수 있는 경우를 생각하자. ( 이경우 포스에 대한 포텐셜이므로 포텐셜 에너지라고 불러도 좋다. ) 포텐셜에 의한 힘 말고 다른힘이 더 있을때는 텀을 추가해주면 된다. 이것은 다음에 살펴볼 것이다.
그러므로, 앞에서의 달랑베르 프린서플은 다음과 같이 쓸 수 있다.
특히, 포텐셜 에너지 V 가 제너럴라이즈드 벨로시티에 의존하지 않는 경우에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
라그랑지안 ( Lagrangian ) L 을 L = T - V 로 도입함으로써, 윗식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
주의할것은, 달랑베르 프린서플에서 어떠어떠한 제약조건을 가하여 이 방정식이 나왔는가를 염두에 두어야 한다는 것이다. 그러한 제약조건이 달라지면, 라그랑지 운동방정식도 달라진다. 예를들어, 포텐셜이 속도에 의존하는 경우, 라그랑지 운동방정식의 형태가 달라진다.
또한, 위의 그림에 비록 하나의 식만 써있지만, 일반화 좌표의 수만큼 방정식이 나오므로, 이것은 셋 오브 이퀘이션스 이다.
라그랑지안 이퀘이션의 장점은 물리문제를 기계적으로 풀 수 있게 해준다는 것이다. 그냥 적용만하면 운동방정식이 나온다. 물론, 미방을 푸는것은 이와는 별개의 문제이고, 그것은 뉴턴의 운동방정식도 마찬가지이다.
라그랑지 이퀘이션스 오브 모션이 믿을만한지 확인하기 위해, 우리가 잘알고있는 문제에 적용을 해보자.
예) 마찰이 없는 수평면위에서 질량 m인 물체가 용수철상수 k 인 용수철에 의해 수평으로 진동하고 있다고 하자.
우리가 선택할 좌표는 평형점으로부터의 수평좌표 x 이다. 이거하나면 물체의 운동을 기술하는데 충분하므로 좌표선정은 이걸로 끝이다.
따라서, 운동 방정식도 딸랑 하나만 나오겠다.
이는 우리가 알고있던 답과 일치한다.