[역학] 가상변위, 가상일, 일반화 힘, 달랑베르 원리 ( D'Alembert 's Principle )

가상 변위 ( virtual displacement )
A virtual (infinitesimal) displacement of a system refers to a change in the configuration of the system as the result of any arbitrary infinitesimal change of the coordinates consistent with the forces and constraints imposed on the system at the given instant.

간단히 말해, 주어진 제약조건상에서, 가상으로 임의의 변위를 생각하는 것을 말한다. 실제로 시간에 따라 그렇게 이동한다는 것이 아니라, 그러한 미소변위를 가정해보는 것을 말한다. 따라서, 가상변위에 대해서는 시간(dt)를 고려할 필요가 없다. 버추얼 퀀터티를 액츄얼 퀀터티와 구분하기 위해 보통 d 대신 δ 를 사용하는 경우가 많다. 

가상 일의 원리 ( principle of virtual work )
실제 변위대신 가상 변위에 대한 일을 고려한 것을 버추얼 월ㅋ 라고 한다. 당연히 그 일을 실제로 하는 것은 아니다. 예를들어 어떠한 입자가 실제로는 어떠한 경로를 따르겠지만, 다른경로로 움직인다고 가정하고 일을 계산해본다던가 할때, 그러한 일이 버추얼 워크가 되겠다.

이제, 평형상태를 생각해보자. 평형상태에서는 각 입자에 걸리는 토탈 포스가 0 이다. i번째 입자에 걸리는 토탈포스를 F_i 라고 하면, F_i = 0 이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

토탈포스 F_i = 0  이기 때문에, 윗식은 당연하고 전혀 새롭지 않다.   ( 어랏, 윗 그림에서 r 에 하첨자 i 가 누락댔음 ㅈㅅ ;;;  아래그림들도 다 빠졌네... 나중에 그림판으로 수정해서 다시 올리도록 하겠음. ㅡㅡ; )

우리는 구속력이 일을 하지 않는 버추얼 시츄에이션만을 고려한다. 즉,  가상변위를 구속력에 수직하게 잡는 경우만 생각한다. ( -> 이것은 미끄럼마찰이 있는경우에는 사용할수가 없다. )

가령, 마찰이 없는 수평의 테이블위에 입자들이 놓여있는 상황에서, 구속력은 연직상방이다. 이때, 입자들의 변위를 가상으로 자유롭게 잡아보는 것인데, 단 우리는 그것을 테이블면 위에서 움직이는 상황만으로 국한시킨 것이다.

이제, 토탈포스 F_i 를 어플라이드 폴스 F^(a)_i 와 컨스트레인트 폴스 f _i 로 구분해서 전개하고, 가상변위가 구속력에 수직임을 이용하면 다음과 같이 된다. 참고로 윗첨자 (a) 는 applied 를 나타낸다.

이를 가상일의 원리 라고 한다.  앞의 가상변위에서 들었던 예를 다시 들면, 중력과 가상변위(책상면위에 놓임) 에 의한 일은 0 이라는 뜻이다.

일반화 힘(generalized force)
가상일의 개념으로 부터, 제너럴라이즈드 포스를 익스플리싯하게 정의할 수 있다.

우선 제너럴라이즈드 포스 Q 는 다음과 같이, 일반화좌표로 변환된 가상변위와 내적해서 가상 일이 되도록 정의된다.

이제, 가상변위를 제너럴 코디네이츠로 씀으로써, 위의 식과 비교함으로써 Q의 각 성분들을 익스플리싯하게 쓸 수 있다.

이때, 제너럴라이즈드 폴스 Q 의 디멘션은 각 성분마다 다르며, 가상변위의 제너럴라이즈드 코디네이트에 의존한다.
그래도, 제너럴라이즈드 폴스의 각 성분과 가상변위의 각 제너럴라이즈드 코디네이트가 곱해지면 에너지의 차원을 회복한다.

아무튼, 제너럴라이즈드 폴스와 가상변위의 제너럴라이즈드 코디네이트로 가상일의 원리를 쓰면 다음과 같다.

달랑베르 프린서플 ( D'alembert's principle )
달랑베르 프린서플은 가상일의 원리를 가속계로 확장한 것으로, 라그랑지안 미케닉스의 이론적 토대가 된다.

뉴턴의 운동방정식 F_i = dp_i / dt  은   F_i  -  dp_i / dt   =  0   다시 쓸 수 있는데, 이것이 말하는 바는, 입자의 모션을 따라가는 레퍼런스 프레임의 모션에 의한 관성력 (- dp_i / dt ) 과의 합이 0 일때 평형이라는 뜻이다.

따라서, 가속계에서의 평형에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

이제, 아까와 마찬가지로,  F_i  를 어플라이드 포스와 컨스트레인트 포스로 나누고 정리하면 다음과 같이 된다.

텍스트북에 따라, 토탈포스에 첨자 (T) 같은걸 붙이고, 어플라이드 포스에는 첨자를 안붙이기도 한다.