Holomorphic ( Analytic ) & Harmonic

prerequisite : 코시-리만

어떠한 복소변수함수가 복소평면상의 오픈셋 내의 모든점에 대해서 미분가능할때, 그 함수는 그 집합내에서 holomorphic 또는 analytic 하다고 한다. analytic 이 더 범용적으로 쓰이는 대신 여러가지 의미로 쓰일수 있음에 주의한다. 아무튼, 보통 복소해석쪽에서 어낼러틱 하다고 하면, holomorphic 의 의미라고 보면 된다.

참고로 복소평면 전체에 걸쳐 어낼리틱할때, entire function 이라고 한다.

코시리만은 단지 두경로에 대한 limit 의 수렴값만 비교한것이므로, 어낼러틱하기위한 필요조건이지 충분조건은 아니다. 반면, 그점에서 성분함수들이 편미분들이 모두 존재하고 그 편미분들이 연속일때 코시리만을 만족하면, 스무드 해지면서 어낼러틱하다고 말할수 있게된다. 즉, 부가 조건들과 함께 충분조건이 된다.


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어낼러틱한 펑션의 컴플렉스 컨주게이트도 어낼러틱하면, 그 함수는 상수함수이다.
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원래함수와 컴플렉스 컨주게이트한거 둘다에 코시리만 쓰면 성분함수들의 편미분이 모두 0 이 된다.


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어낼러틱한 펑션의 modulus 가 상수이면, 그 함수는 상수함수이다.
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성분함수들의 제곱합을 상수로 놓고, 음함수 꼴로 미분해서 코시리만을 적용하면 역시 성분함수들의 편미분들이 모두 0 이 된다.





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어떠한 함수가 라플라시안을 취했을때 0 이 되면, 즉 라플라스 방정식을 만족하면, 하모닉(harmonic ) 펑션이라고 한다. 복소평면처럼 R^2 에서는 x로 두번 편미분한거 + y로 두번 편미분한거 = 0 이 될때가 하모닉이다.

두개의 하모닉펑션이 각각 리얼파트와 허수파트로 결합해서 복소변수함수를 만들었을때, 코시-리만을 만족하면, 허수파트쪽 함수를 리얼파트 함수의 하모닉 컨주게이트 (harmonic conjugate ) 라고 부른다.

즉, u 와 v 가 각각 하모닉이고, u + i v 가 코시리만을 만족하면, v 를 u 의 하모닉 컨주게이트 라고 하는것이다.
참고로, "서로" 하모닉 컨주게이트인 두 함수는 모두 상수함수이다. ( u + iv 와 v + iu 가 코시리만을 만족한다고 하고 풀면, u 와 v 의 x,y 에 대한 편미분들이 모두 0 이 된다. )


어낼러틱과 하모닉컨주게이트를 이어주는 정리로 다음을 생각해볼수 있다.
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f = u + i v 가 어낼러틱 이면 , v 는 u 의 하모닉컨주게이트 이다.
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어낼러틱이므로 저상태에서 어차피 코시리만은 만족할것이고, 따라서 u 와 v 가 둘다 하모닉임을 보이기만 하면 된다. 이것도 코시리만으로 쉽게 보여진다.

그리고...
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v 가 u 의  하모닉 컨주게이트이면,  u 는  -v  의 하모닉컨주게이트 이다.
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왜냐면, f(z) = u + i v 가 어낼러틱이면, i f(z) 도 어낼러틱이기 때문이다.