[기호] Levi-Civita Symbol 과 크로네커 델타 (Kronecker Delta)

Levi-Civita Symbol 은 permutation 기호라고도 불리고 정의는 다음과 같다.

상위 차원의 Levi-Civita Symbol은 하위 차원의 값을 포함하는데, 위의 그림에서 3D의 파란색으로 표시한 숫자들은 2D의 값과 같은 형태이고, 포함하는 양상이, 행렬식의 여인수 전개(cofactor expansion)를 떠올리게 한다.


실제로, 1행에 대한 여인수전개는 다음과 같다.

위에서 M_ij 로 쓴것은 first minor 로, A의 i행과 j열을 제거한 부분행렬의 디터미넌트이다.


따라서, 행렬의 디터미넌트는 다음과 같이 쓸수있다.

왼쪽에 쓴 Levi-Civita 를 , 굳이 왼쪽에 쓴 이유는, 우리가 중복첨자를 서메이션으로 간주하고 표기하고있기 때문이다. 어차피 값이 +1,-1 따위라서, 오른쪽으로 넘길수 있긴 있는데, 대신 그때는 i,j,k,.. 에 대해서만 서메이션 기호를 붙여야 한다. 안그러고 그냥 붙여서 모든첨자를 서메이션으로 하게 되면, 그것은 또 다른 공식으로 유도된다.


얘기가 나온김에, 크로네커 델타와의 관계를 살펴보자. ( 참고 :크로네커 델타 )

크로네커 델타는 서메이션에서 추출성을 갖는데, 이것은 델타펑션이 적분에서 추출성을 갖는것과 유사하다. ( 델타펑션의 이름은 여기서 유래한다. )

크로네커 델타의, 이러한 추출성을 이용하면, 원하는 순열을 취사선택할 수 있다.


3 자리 순열을 예로들면...

이렇듯, 특정 순열을 선택할 수가 있다.

그런데, 3자리 순열의 경우, 우순열은 (1,2,3) , (2,3,1) , (3,1,2) 이렇게 세개뿐이고, 기순열도 (1,3,2) , (2,1,3) , (3,2,1) 이렇게 세개뿐이다.

즉, 3 dimensional Levi-Civita Symbol 은 (1,2,3) , (2,3,1) , (3,1,2) 일때는 +1 , (1,3,2) , (2,1,3) , (3,2,1) 일때는 -1 을 값으로 갖는다.


따라서, 3차원, Levi-Civita 는 다음과 같이 크로네커 델타를 이용해 쉽게 컨스트럭션할 수 있다.

마지막 식을 유도할때, 행렬식 성질을 이용했지만, 잘 모르겠으면, 그냥 ε_ikj 를 바로위의 행렬식 형태로 쓰고, ε_lmn 도 똑같이 쓴후에 두식을 곱한다음 크로네커 델타의 성질에 따라 정리해도 된다. 이식은 나중에 다른 방식으로도 증명을 해보도록 하겠다. 또한 이것은 n 차원 Levi-Civita 으로 일반화 시킬수 있다.


이번엔 위의 등식을 이용해서, 중요한 식을 하나 유도해보자.

3 dimension 이므로, δii 가  3 이 되었음에 유의하자. 또한, 중복첨자가 i 하나인데, 이상태에서 j도 중복시키고, 또 k도 중복시키고, n차로 확장시키고, 뭐 그런식으로 하면 몇몇 유용한 식이 더 유도가 된다.