[어린이를 위한 미적분학] 테일러 급수 ( Taylor Series , 테일러 시리즈 )
Math/Calc./Diff. Eq./ Analysis2010. 11. 15. 14:09 |어린이를 위한 미적분학이라는 포스팅을 아주 어쩌다 한번씩 비공개로 군데군데 쓰고있는데, 이것도 그 시리즈의 일부가 되겠다.
앞부분 글들이 완성이 안된 관계로 일단 글번호는 생략하고 나중에 앞부분 글들이 어느정도 잡히면, 그때 순서에 맞게 배치할 생각이다.
이 글은, 대략적으로, 기본적인 미분테크닉을 익힌 정도, 다음에 오면 될것같다.
이글은, 1변수 테일러급수만 간단히 설명한다.
2변수 테일러는, 다변수 미분을 정의하고, 그다음편에 쓰겠다.
멱급수 전개 (Power Series Expansion)
1, x, x^2 , x^3 , ... 이런식으로 차수가 증가 함에 따라, 그 기울기의 변화 정도는 이전의 것과 항상 다른 새로운 녀석이 되고, 그것은 점점더 격해진다. 이렇게 기울기의 변화가 모두 다른 녀석들을 잘 섞으면, 구불구불하게 생긴 이상한 함수를 만들어 낼수 있지 않을까?
이것은 달리 말하면, 임의의 함수 f(x) 를 , 1 , x , x^2 , x^3 , .... 들의 조합으로 나타내보려는 것인데, 이러한 행위를 멱급수 전개 (Power Series Expansion) 이라고 한다.
어떤 경우에는 유한개의 항만을 합쳐서 주어진 함수를 만들어 낼 수도 있겠지만, 상황에 따라서는 무한개의 항을 합쳐야지만 원하는 함수를 만들게 될수도 있을 것이다. 이것은 간단히 무한개의 항을 세팅하는것으로 모든상황을 포함시킬수 있다. 어차피 유한개의 항만 필요한 상황이라면 나머지 항의 계수를 모두 0 이라고 하면 되기 때문이다.
이제 1 , x , x^2 , x^3, x^4, ... 의 계수들을 an 이라고 하면, 어차피 베이시스( 1 , x , x^2 , x^3 , .... ) 는 고정되어 있으므로,
선형조합 계수들 an 만 모두 알면, f(x) 를 아는것과 완전히 동일해진다.
따라서, 조합의 계수들을 구하는 것이 가장 큰 문제가 된다.
(1 + x ) ^ 3 를 예로 들어보자.
즉, (1+x)^3 이라는 함수를 기억하는 것과 수열 : 1,3,3,1, 0, 0 , 0 , 0 , ... 을 기억하는 것은 완전히 동일한 것이 된다. 즉, 중요한 것은 계수를 찾는 것이다.
테일러 급수 ( Taylor Series )
f(x) 의 멱급수 전개에 대해, f(x) 가 어떤 점 x = a 에서 무한번 미분가능할때 ( 미분값만 갖으면 되지, 값이 얼마인지는 상관이 없다. 주구장창 0 이어도 상관없다 ), 미분을 통해서, (x-a) 의 멱급수전개의 계수를 정할수 있는 일반적인 방법이 존재하는 데, 이를 a를 중심으로 테일러 전개를 한다라고 한다.
특히, x = 0 에서 무한번 미분가능하면, x 의 멱급수로 전개되고, 앞에서 언급한 예가 된다. 이럴때를 특히, 맥로린 급수라고 한다.
( 즉, 맥로린 급수는 0 을 중심으로 하는 테일러 급수 이다. )
우리도 심플함을 위해, x = 0 을 중심으로 전개한다고 하자.
이제 목표는, 무한번 미분가능이라는 무기를 가지고, 주어진 f(x) 에 대해, 어떻게 계수들을 모두 구하는 가이다.
멱급수 전개의 정의로 돌아가서, 양쪽이 완전히 같은 함수라는 말은, 이 식이 x 에 대한 항등식이라는 말과 같다.
x 에 0 을 때려넣어보면, 곧바로 a0 가 f(0) 라는 것을 알게 된다. 즉 주어진 함수에 0 값을 대입해서 나온 값이, 테일러 급수의 첫번째 계수가 된다.
이제, a1 부터 구해야 되는데, 어떻게 하면 다른계수들은 모두 죽어나가고, 원하는 계수만 죽지 않게 할 수 있을까?
그것은 바로, 한번 미분한뒤에 0 을 대입하는 것이다.
다항식의 경우 한번 미분하면 지수가 앞으로 내려오고 지수는 1씩 작아지는 것을 알고 있으므로, 한번 미분하면 다음과 같이 되고, x에 0 을 대입하면 a1을 제외한 모든 항이 날아간다. 따라서, 다음과 같이 a1 을 구할수 있다.
이쯤 되면 감이 와야 정상이다. 특정 an 만 남기고 다른 모든항을 날려버리느 방법은 n 번 미분하고 x 에 0 을 대입하는 것이다.
x의 차수가 n보다 작은 것들은, n번 미분했을때 모두 0 으로 날라가 버린다.
x의 차수가 n보다 큰 것들은 , n번 미분했을때 x의 차수가 1 이상이 되어, x=0 을 대입하면 모두 날아가버린다.
x의 차수가 n 인 항은 , n번 미분했을때 x의 차수가 0 이 되어 사라지며 남는것은 원래의 계수 an 와 미분때마다 하나씩 줄어들려 앞으로 내려온 n , n-1 , n-2 , ... , 1 들의 곱, 즉, n! 이 된다.
따라서 다음과 같이 테일러 계수를 일반적으로 구할수 있다.
이제 원래의 정의식
에 앞에서 구한 계수의 일반식을 대입하면, 아래와 같이 테일러시리즈의 일반식을 구하게 된다.
중심 a 에 대한 테일러 전개
위에서 심플함을 위해, 중심을 0 으로 놓았었는데, 이제 중심을 a 로 전개해보도록 하자.
앞에서 어떻게 원하는 계수를 포함하는 항 이외의 모든 항들을 날려버렸는지를 이해했다면, 이것은 정말로 쉬운 일이다.
특히, 1, x-a , (x-a)^2 , (x-a)^3 , ... 들로 전개되므로, 다른 항들을 죽일때, x = 0 을 넣는것이 아니라, x = a 를 넣어야 된다.
결과적으로 다음과 같이 된다.
멱급수 전개에 의한 함수의 변환
함수를 급수로 전개하는 것에 대한 중요한 관점은, 함수에서 수열로의 변환이다. 그것은 함수의 문제를 수열의 문제로 바꾸어준다. 해당 함수에서 다루기 어려웠던 문제가, 수열의 연산에 의해서 쉽게 풀릴수도 있다. 그리고 나서 다시 돌아가면 본래의 문제를 푼것이 되는데, 이것을 역변환이라고 한다.
특히, 멱급수 전개의 경우, (무한) 다항식이고, 많은 연산이 (무한) 다항식에 대해 항별 (term-by-term) 연산을 가능하케해, 상당히 다루기 용이한 면이 있다. 즉, 원래의 문제에서 어려워 보였던 문제가, 멱급수로 변환한후에 쉬워 보이고, 멱급수로 변환한 상태에서 쉽게 문제를 푼 후에, 다시 역변환을 통해 어떤 함수로 돌아가는지를 찾는 것이다.
이것은 변환 / 역변환 을 이용해서 문제를 해결하는 아주 중요한 아이디어이다.
또한, 멱급수 전개는 근사이론에서도 매우 중요한데, x 에 대입하는 값이 절대값이 작은 경우, 고차항은 더더더 작아지기 때문에, 무시해도 정확한 함수값하고 별 차이가 생기지 않는다. 즉, 좋은 근사(approximation)를 얻을 수 있다. 이렇게 테일러 시리즈를 이용한 근사를 테일러근사 라고 한다.
테일러 근사에 대한 이야기는 다음에 따로 하도록 하겠다.
예제, 이항전개
f(x) = ( 1 + x ) ^k 승이라고 하자. 여기서 k 는 그냥 실수이다. 정수일 필요는 없다.
이것의 테일러 급수의 계수 an 을 구하기 위해, f(x) 를 n 번 미분해보도록 하자. n번 미분하고 0 을 대입한 후에, n! 로 나누면 그것이 an 이라고 했다.
n번 미분하면 일단 k 가 계수로 나오면서 곱해지고, 지수는 1 이 주는 행위가 n 번 반복된다. 그리고 0 을 넣어서 an 을 구한다.
우리는 원하던 테일러 급수를 얻었다. 주의할 것은 k 가 자연수일 필요가 없다는 것이다. k가 분수라든가 해도 상관없다.
만약 k 가 자연수인 경우에는 , k+1 번 미분할시 그냥 죽어버리므로, 서메이션은 k 까지 하게 된다.
그리고, k 가 자연수인 경우에, 테일러 계수의 분자부분은 k P n 이고, 이것을 n! 로 나눈것은 k C n 이 된다.
즉, k 가 자연수인 경우, 자연수 승에 대한 이항전개식과 같아진다.
따라서, 이항계수의 정의를 실수범위까지 확장하여, 다음과 같이 택하면...
실수 지수까지 확장된 이항정리를 얻을수 있다.
