[함수] 함수의 평균값

인간이 발명한 무수한 인덱스들 가운데, 가장 널리, 가장 자주, 그리고 가장 중요시 사용되는 게 평균이 아닌가 싶다.

성적도 평균내고, 이익도 평균내고, 심지어 사람의 가치도 평균 내고...

일전에 산술평균과 기하평균편에서, 시퀀스의 중간항으로서의 평균을 살펴봤었다.

이번엔 산술평균의 개념을 일반적인 함수까지 확장해보도록 한다.

평균의 가장 원시적 이미지는 두 값의 중간쯔음에 해당하는 값이라고 할 수 있다.

샘플의 개수를 늘리면서 정의는 다음과 같이 확장된다.

이쯤 되면, 평균에 중간이라는 말을 쓰기가 좀 애매해진다.

우변의 분모에 있는 n을 좌변으로 이동시켜보자.

이와 같은 짓은 미분의 정의를 매니폴드로 확장할때도 볼 수 있다.

암튼 n을 옮기면...

요래 되고, 다음과 같이 된다.

결과적으로 (산술) 평균이라는 값은 샘플들에 대해 오바되는 총 값과 마이너스 되는 총 값이 같아지는 지점의 값이라고 할 수 있다.

이제 이 정의를 "특정구간에서의 함수의 평균"으로 확장해보자.

(사실 방금 한것도 함수였지만, 이제 연속의 개념을 넣자는 거다.)

함수가 어느부분이든 연속인 부분이 있다면, 샘플의 수는 무한개가 된다.

[a,b] 구간 내에서, 일단 유한하게 샘플링을 하자.

그러면 일단은, 앞에서 정의한 개념을 쓸 수가 있다.

함수가 무한개의 데이터 포인트를 가지고 있는 반면, 우리는 고작 유한개의 샘플링만을 했기 때문에, 일정간격으로 구간내의 샘플의 수를 계속 무한히 늘려나가면서 앞에서 정의한 평균의 개념을 적용한 값이 어디로 다가가는지를 보는 거다.

주어진 간격내에서 샘플링의 수를 무한히 늘려나가면, 등간격 샘플포인트들간의 간격은 좁아지게 된다.

x 에서의 샘플링간격을 일정하게 하기로 하고, 그 간격을 델타 x 라고 놓자.

위의 극한개념의 정의에서 분모,분자에 델타x 를 곱해보자. 분모 분자에 0 아닌 같은것을 곱했으므로 값의 변화는 없다. 샘플링의 수가 무한개로 늘어나면, 샘플링간격 델타x는 0으로 다가간다.

여기서   n 곱하기 델타x  는 구간의 길이와 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 fi 곱하기 델타x 는 델타x를 밑변으로 하고 fi 를 높이로 하는 가느다란 막대기의 면적이다.

샘플링수를 무한히 늘려가면, 막대기의 폭은 점점 좁아지고, 이러한 막대기들의 면적을 합한것은 점점 그래프의 밑면적으로 다가간다.

즉, 윗식의 분자는 요래된다.

따라서 다음을 얻는다.

구간길이를 좌변으로 넘겨보면, 구간길이를 밑변으로 하고 면적이 '그래프 아래넓이'와 같은 직사각형의 높이가 f의 평균값임을 알 수 있다.

그러므로, 평균값을 기준으로 위로 넘친 넓이와, 아래로 부족한 넓이가 같게 됨을 확인할 수 있다.

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저저번주 과외 내용 중...