[미적] 매개변수에 의한 변환 , 적분변환, 가우시안 적분

매개변수를 이용해서 변환을 하는것은 상당히 애용되는 테크닉이고, 기존의 변수와 새로도입된 변수 사이에 공간의 변환도 꽤 의미가 크다고 하겠다.
또한 라플라스 트랜스폼이나 푸리에트랜스폼 같은 적분변환도 매우 중요한 테마이기도 하다.

여기서는, 위의 테마를 암시하되, 거창하지 않게, 실용적인 소품으로서, 고딩들에게 신선하고 자극적인 아이디어를 소개하려고 한다.
물론, 대학생들에게는 전혀새로운것이 아니겠지만, 의식있는(?) 고등학생들에게는 지적호기심을 자극하기에 충분한 주제라고 생각된다.

서론은 집어치우고, 실제적인 문제로 들어가서, 우리가 구하고자 하는 적분은 이따위 것들이다. exp ( -x^2 ) 따위가 붙어있는 이상적분이다.

실제로 자주 마주치게 되는 녀석이다. 가우시안 분포의 2차 4차 모멘트이기도 하다. 확률/통계할때 자주 만나고, 또 양자때도 자주 만난다. 당연한가 ㅋ

우리는 이미,  아래의 적분값을 구한적이 있다. 참고:  ( http://sciphy.tistory.com/411 )

제곱하고 극좌표로 변환하면 쉽게 구할수 있지만, 고딩에게는 좀 진도가 너무 나간거 같으니, 그냥 저런 적분결과가 알려져 있다고 받아들여도 무방하다. 근데 재밌는건, 고딩들이 정규분포를 배울때 이미 저 결과식을 외우게 된다는 것이다!! 게다가, 평균만큼으로 중심이동시키고, 표준편차로 짜부시키고, 정규화까지 시켜 앞에 복잡한 계수가 붙는 더욱 복잡한 형태루다가...


아무튼... 이제 이 적분결과를 이용해서 저 위에 있는 적분들을 구하려할때, 고3 수험생이라면, 아마도 주저없이 '부분적분' 을 시도할 것이다. 그리고 그러한 선택은 나쁘지 않다. 약간의 주의와 꼼꼼함만 있다면 답을 구할수가 있다.

그러나 앞에서도 밝혔듯이, 우리는 다른방법을 살펴본다.  그리고 그것은 피적분함수의 x 대신에 √αx 를 집어넣는 것이다. ( 고작? 그거? )

그래프 배울때 나왔겠지만, x 에 뭐 곱해서 바꿔치기하면, 그래프가 좌우로 수축되거나 팽창한다.
곱해진값이 0에서 1 사이면 좌우로 늘어나고, 1보다 크면 가로방향으로 짜부된다.

따라서, 피적분함수의 x 대신에 √αx 를 집어넣으면 다음과 같이 될 것이다.  

적분 결과만 놓고보면, 너무 쉬워서 시시할수도 있겠다. 그러나 우리는 이것을 파라메타를 도입한것으로 보고, x 공간에서 적분을 통해 α 공간으로 변환된것으로 생각할수도 있다.

그냥 간단히 말해, 어찌됐건 x 로 정적분했으니 x는 죽고, 남는건 α 뿐이다. 즉, 이제 α 의 함수이다.
 

이제, α 의 함수를 , α 로 미분한다고 누가 뭐라고 할 사람은 아무도 없다.

(식에서 미분기호를 좀 꼬부려쓴거는 편미분이라 불리는 녀석으로, 미분할때 x신경 안쓰고 알파로만 미분하겠다는 뜻이다. 별로 신경쓸건 없다.)

따라서... 다음과 같다.

이런식으로 많은 테크닉을 구사할수 있다.