[전자기학] 4D Poisson Equation ( 4D 푸아송 방정식 )

맥스웰 이퀘이션즈는 다음과 같다.

보다시피 E가 컬이 0 이 아닌관계로 일렉트릭 포텐셜을 쓸수가 없고, 그래도 B는 여전히 다이버전스가 0 이므로, 마그네틱 벡터 포텐셜만이 우리의  희망이 되겠다.

B의 벡터포텐셜을 A라고 놓자. 즉, B = ∇ x A


이제 이것을 빠라데이( 빠는날?) 식에 대입해서 정리하면,  우리가 애타게 찾던 컬이 0 인 넘이 나타난다.
따라서,  그거에 대해서는 스칼라 포텐셜을 쓸 수 잇다.  그거슬   Φ 로 놓자.

이제 E 와 B 는 두개의 포텐셜 Φ 와  A 에 의해 표현할 수가 있다.

이제, 맥스웰 이퀘이션스를 포텐셜로만 표현해보자.

여기서 로렌츠 게이지를 취하면...

보다시피 포텐셜  Φ 와 A 가 따로 분리된 두개의 미방을 얻게 된다.   ( 사실은 4 개 ) , 게다가 좌변은 모두 달랑베르시안이다.

달랑베르시안은 텍스트북마다 노테이션이 다양하므로 주의한다. 그냥 네모박스로 쓰기도 하고, 라플라시안의 일반화를 티내기위해 제곱을 써주기도 하고, 라운드와 텐서노테이션으로 쓰기도 한다.

한번은 그냥 네모로 쓰는 텍스트북을 보다가.... 라플라시안이  델 스퀘어에서 제곱떼고 뒤집어 쓴것처럼, 얘도 제곱떼고 뒤집어 쓴건데, 티가 안나는 건가 하는 생각도...


암튼, 위식은 좌변이 모두 달랑베르시안인 관계로, 두 식을 막 묶고싶어지는 것이 인지상정이다.



일단 묶고,  보자.

무턱대고 묶어봤지만, 뭔가 그럴싸해보인다.

우변의 쏘스가 없다면, ( 로렌츠게이지에서는) 포텐셜들이 빛의 속도로 전파됨을 알 수 있다.


우리는 상대론에 관한 어떠한 언급도 하지 않았음에도 불구하고, 위의 식은 상대론과 상당한 연관이 있는데, 그것은 달랑베르시안이 시공간에서 라플라시안과 같은 역할을 하기 때문이다.

실제로 약간 손을 보면... 다음과 같은 형태로 쓸 수 있는데...

이렇게 고쳐쓰고 보면, 오퍼레이터가 작용하는 놈이나, 작용된 놈이나 모두 4벡터가 된다.

앞서도 말했듯이, 달랑베르시안이, 시공간에서 라플라시안 같은 역할을 하므로, 위의 식은 푸아송 이퀘이션이다.
누차 강조하지만 우리는 맥스웰 방정식을 형태만 바꿔 썼을뿐인데, 푸아송 이퀘이션의 상대론 버전을 유도했다.

이는, 전자기학 자체가 이미 상대론적임을 암시하는 것들 중에 하나이다.



마지막으로, 같은 내용이지만, 그냥 좀 엘레강트하게 써보자면 다음과 같이 쓸 수 있다.