벡터의 선형조합 Linear Combination of Vectors

선형대수의 중요 테마중 하나는 어떠한 벡터가 다른 벡터들의 선형조합으로 어떻게 나타낼 수 있는가 이다.


벡터 w 가 주어진 세 벡터 x , y , z 의 선형조합으로 나타낼수 있으면, w = a x + b y + c z  로 표현될 것이고, 우리의 관심사는 아마도 선형조합의 계수 a , b, c 가 될 것이다.




자 이제, 세 벡터 x , y , z 가 3차원 공간을 스팬한다고 하고, 또다른 세 벡터 x' , y' , z' 도 3차원 공간을 스팬한다고 하자.  ( 스팬한다고 했지 직교한다고 하진 않았다. )



행렬 A를 다음과 같이 구성하자.

x 를 x' , y' , z' 의 선형조합으로 나타냈을때의 계수들을 1 열에 쓰고,
y 를 x' , y' , z' 의                      ...                           2 열에 쓰고,
z 를 x' , y' , z' 의                      ...                           3 열에 쓴다.




행렬 B를 다음과 같이 구성하자.

x' 를 x , y , z 의 선형조합으로 나타냈을때의 계수들을 1 열에 쓰고,
y' 를 x , y , z 의                      ...                           2 열에 쓰고,
z' 를 x , y , z 의                      ...                           3 열에 쓴다.



문제)  AB 가 항상 단위행렬이 됨을 증명하라.