[중학 도형] 주어진 도형의 넓이를 각도의 함수로 구해라
Quizes2009. 2. 9. 11:12 |앞에서 삼각형의 합동과 결정이 일맥상통하는 것이라고 했던 것과 같이, 실제로 많은 경우 도형 문제를 푸는데 있어, 결정적인가 그렇지 않은가의 문제는 매우 중요한 실마리이다.
만약 그것이 유일하게 결정되는 상황이라면, 우리는 본격적으로 수식화라던가 하는 작업에 착수할 수 있게 된다.
예를들어, 다음과 같은 조건으로 부터 평행사변형의 넓이를 구한다 치자.
계산을 시작하기에 앞서, 되도록 다음과 같은 물음을 던져보자. " 주어진 조건들은 평행사변형을 결정하는가? "
결정여부는 다음과 같이 직관적으로 간단히 해결할 수 있다.
1) 공간상에 간격이 h1 과 h2 인 평행선 두쌍을 생각한다.
2) 그 평행선 쌍들의 각도를 움직여가면서 평행사변형을 만들어 본다. 각도를 고정하는 매 각도에 대해 평행사변형이 결정된다.
따라서, 위의 조건은 평행사변형을 결정하고, 따라서 위의 변수들로 평행사변형에 관계된 모든 공식들을 유도할 수가 있어야한다.
( 면적은 간단히 S = h1 h2 / sin θ 가 된다. )
이번엔, http://sciphy.tistory.com/561 의 문제를 다시 살펴보자.
각도 구하랬다고, 생각없이 일단 각도란 각도는 모조리 표시하고 있지는 않은지...? 90 - x , 180 - 72 - x , ...
구하고자 하는 각도 x 는 주어진 조건으로 부터 결정되는가? 라는 물음은 매우 유익하다. ( 문제를 풀때의 좋은 습관이나 체계적인 사고방식에 대해서는 폴리아( George Polya )의 명저 How to Solve it [어떻게 문제를 풀것인가] 를 추천한다. )
주어진 상황을 아무것도 없는 상태에서 주어진 정보만으로 구성해보자. 문제가 올바르다면 그것으로 부터 위와 똑같은 그림이 연출되어야 할 것이다.
우선 정사각형을 그린다. B는 밑변의 어느 위치에 있는지도 모르므로, 당연히 O 에서 45도각을 그리는게 좋을것이다. 그런데 45도를 그릴때, 45도가 뻗어나가는 방향이 자유롭다.
한번 뻗어나가는 방향이 결정되면, 그 각폭 라인이 뻗어나가서 우변과 만나면서 A 가, 밑변과 만나면서 B가 결정된다. (이것은 마치 O 에서 광각이 45도인 랜턴을 비추며 돌면서 관찰하는 것과 같다. )
흥미로운것은 이때 이미 x 가 결정난다는 것이다.
다시말해, 좌변과 OB가 이루는 각을 θ 라고 하면, 이 θ 가 자유롭게 변화가능하고, 이 θ 에 의해 x가 결정된다는 것이다. 즉 x 는 θ 의 함수가 된다.
그런데, 각 B는 B 점이 결정된 상태에서 A점으로 선을 그으면 자동으로 결정되므로, 각 B 도 사실상 θ 의 함수가 된다.
결국, 각B 가 63 도로 주어진 것은 θ 값을 주려고 한 것이라고 생각 할 수 있고, θ 값을 알면, 직접적으로 x 를 구할 수 있으므로, 주어진 조건은 x를 결정하기에 충분하다는 것을 알 수 있다.
더 일반화 시켜서 , 각 B를 주지 않고, 대신 θ를 변수로 주었다고 할 때, 삼각형 OAB 는 모든게 θ의 함수로 결정이 난다.
따라서 다음과 같은 퀴즈를 생각해 볼 수 있다.
삼각형 OAB 의 면적 S = S(θ) 를 구해라. ( 단, 정사각형의 한변의 길이는 1 이다. )
( 그것을 θ에 대해 미분해보면, S 의 최소값이 θ = 22.5 도 일 때 임을 보일수 있다. 이는 우리의 예상과 일치한다. )
만약 그것이 유일하게 결정되는 상황이라면, 우리는 본격적으로 수식화라던가 하는 작업에 착수할 수 있게 된다.
예를들어, 다음과 같은 조건으로 부터 평행사변형의 넓이를 구한다 치자.
계산을 시작하기에 앞서, 되도록 다음과 같은 물음을 던져보자. " 주어진 조건들은 평행사변형을 결정하는가? "
결정여부는 다음과 같이 직관적으로 간단히 해결할 수 있다.
1) 공간상에 간격이 h1 과 h2 인 평행선 두쌍을 생각한다.
2) 그 평행선 쌍들의 각도를 움직여가면서 평행사변형을 만들어 본다. 각도를 고정하는 매 각도에 대해 평행사변형이 결정된다.
따라서, 위의 조건은 평행사변형을 결정하고, 따라서 위의 변수들로 평행사변형에 관계된 모든 공식들을 유도할 수가 있어야한다.
( 면적은 간단히 S = h1 h2 / sin θ 가 된다. )
이번엔, http://sciphy.tistory.com/561 의 문제를 다시 살펴보자.
각도 구하랬다고, 생각없이 일단 각도란 각도는 모조리 표시하고 있지는 않은지...? 90 - x , 180 - 72 - x , ...
구하고자 하는 각도 x 는 주어진 조건으로 부터 결정되는가? 라는 물음은 매우 유익하다. ( 문제를 풀때의 좋은 습관이나 체계적인 사고방식에 대해서는 폴리아( George Polya )의 명저 How to Solve it [어떻게 문제를 풀것인가] 를 추천한다. )
주어진 상황을 아무것도 없는 상태에서 주어진 정보만으로 구성해보자. 문제가 올바르다면 그것으로 부터 위와 똑같은 그림이 연출되어야 할 것이다.
우선 정사각형을 그린다. B는 밑변의 어느 위치에 있는지도 모르므로, 당연히 O 에서 45도각을 그리는게 좋을것이다. 그런데 45도를 그릴때, 45도가 뻗어나가는 방향이 자유롭다.
한번 뻗어나가는 방향이 결정되면, 그 각폭 라인이 뻗어나가서 우변과 만나면서 A 가, 밑변과 만나면서 B가 결정된다. (이것은 마치 O 에서 광각이 45도인 랜턴을 비추며 돌면서 관찰하는 것과 같다. )
흥미로운것은 이때 이미 x 가 결정난다는 것이다.
다시말해, 좌변과 OB가 이루는 각을 θ 라고 하면, 이 θ 가 자유롭게 변화가능하고, 이 θ 에 의해 x가 결정된다는 것이다. 즉 x 는 θ 의 함수가 된다.
그런데, 각 B는 B 점이 결정된 상태에서 A점으로 선을 그으면 자동으로 결정되므로, 각 B 도 사실상 θ 의 함수가 된다.
결국, 각B 가 63 도로 주어진 것은 θ 값을 주려고 한 것이라고 생각 할 수 있고, θ 값을 알면, 직접적으로 x 를 구할 수 있으므로, 주어진 조건은 x를 결정하기에 충분하다는 것을 알 수 있다.
더 일반화 시켜서 , 각 B를 주지 않고, 대신 θ를 변수로 주었다고 할 때, 삼각형 OAB 는 모든게 θ의 함수로 결정이 난다.
따라서 다음과 같은 퀴즈를 생각해 볼 수 있다.
삼각형 OAB 의 면적 S = S(θ) 를 구해라. ( 단, 정사각형의 한변의 길이는 1 이다. )
( 그것을 θ에 대해 미분해보면, S 의 최소값이 θ = 22.5 도 일 때 임을 보일수 있다. 이는 우리의 예상과 일치한다. )