직교회전행렬과 베이시스 변환

앞서 살펴본 직교회전행렬은 좌표축의 변화에 따른, 벡터들의 코오디네이트 변환 행렬이었다. 즉, 좌표변환에 따른 벡터의 성분들을 변환해주는 행렬이라고 할 수 있다.

이번엔, "베이시스벡터" 들을 다른 베이시스에서 "코오디네이트벡터"를 구해보자.

β 를 구성하는 베이시스벡터들은 β 에서 당연히 (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) 과 같은 코오디네이트를 갖는다.
마찬가지로 β' 각각을 구성하는 베이시스 벡터들은 β' 에서 (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) 과 같은 코오디네이트벡터를 갖는다.

그렇다면, β' 를 구성하는 베이시스벡터들은 β 에서 어떤 코오디네이트를 갖는가? 또는 그 반대는?

베이시스 벡터도 물리적 벡터이므로, 앞서의 논의와 마찬가지로 전개를 하면....

즉, 직교회전행렬은 동시에 오소노말 베이시스의 선형조합에 대한 정보도 준다.
일반적인 베이시스의 변환에 대해서는 나중에 더 자세히 알아보도록 하겠다. 지금의 경우는 일반적인 경우의 아주 특수한 경우에 해당된다.