[고딩수학] 라그랑지 멀티플라이어 ( Lagrange Multipliers , 승수, 미정승수, 곱수 )

흠, 나는 이거 미적때 배웠었는데, 고딩 과외하는중에 결국 이거랑 같은 내용이 나와서 놀랬다.
물론, 벡터캘큘의 표현을 쓰진 않았지만, 아무튼 문제 만든사람이 참 그냥 대충만든건 아닌거 같다는 생각과, '미래까지 생각하는 교육철학'에 다시한번 놀랐다.

결국, 대학교 미적의 표현을 쓰자면 다음과 같이 말하고있는 것이다.

어떤 f = f( x₁ , x₂ , ... , x_n ) 이,
g₁ ( x₁ , x₂ , ... , x_n ) = 0 , g₂ ( x₁ , x₂ , ... , x_n ) = 0  , ... , g_m ( x₁ , x₂ , ... , xn ) = 0  을 동시에 만족하면서 극값을 갖을때,
그점에서  ∇f + λ₁∇g₁ +  λ₂∇g₂ + ... +  λ_k∇g_m  = 0   꼴로 쓸수 있다.

(g들을 구속조건(컨스트레인트)들이라고 하고,  람다들을 라그랑지 멀티플라이어들이라고 한다. )

위의 내용을 증명하라.
( 보통 미적교과서에는 2개의 구속조건까지를 보여주는 경우가 많고, 여러개로 일반화시키는것은 보통 숙제로 낸다. )

참고로, ∇f + λ₁∇g₁ +  λ₂∇g₂ + ... +  λ_k∇g_m  = 0   는   ∇( f + λ₁g₁ +  λ₂g₂ + ... +  λ_kg_m ) = 0    따위로 써지고,  이거는 구속조건 있는 라그랑지 이퀘이션을 일반화시킬때 쓰면 편하다.

PLUS:  얼마전에 어떤 고등학생분이 메일을 주셨는데, 한번에 질문을 무더기로 해주셔서, 질문을 하나씩 각 포스팅에 댓글로 달아달라고 했더니 걍 안하시네. 암튼, 질문중에 구속조건있는 라그랑지 이퀘이션도 있었던거 같은데, 그걸 이해하려면 이 포스팅을 이해하는게 프리레퀴짓이라고 생각됨.