[미방] 그린펑션 (그린함수) 1편 : 아이디어
Math/Calc./Diff. Eq./ Analysis2010. 5. 6. 21:10 |내가 그린펑션을 처음 접했던건 역학1 수업 때였다. 당시에 제법 감동을 받았었던 기억이 나서 이글을 쓴다. 글을 자꾸 길게 쓰니가 내가 좀 지치는 기분이 되는 관계로, 자잘한 글로 쪼개서 쓰도록 하겠다.
1편: 아이디어
2편: 직접 구해보기 ( 예제 )
3편: 다변수로 확장하기
이 글에서는 그린펑션과 관련된 내용, 예컨대 그린 띠어럼, 델타함수, 컨벌루션, 푸리에 등의 내용은 따로 다루지 않는다. 또한, 물리적 의미나 어플리케이션도 따루 다루지 않는다. 다만, 미방의 툴로서 브리프하게 다룰 뿐이다.
따라서 아주 기초적인 글이 될 것이며, 관련 전공자들에게는 쓸데없는 글이 될것같다. 그러나, 처음 접하는 사람에게는 미분방정식에 대한 상당한 아이디어를 제공할 수도 있을 지도 모른다는 생각이 든다.
우리의 스토리는 논호모지니어스 상미방에서 출발한다. 다음과 같이 n차 인호모지니어스 상미방이 있다고 하자.
( 우변의 g(x) 가 g(y) 인 경우에는 완전히 다른 얘기가 되는데, 이에 관해서는 심플 펜들럼의 주기 구하는 글에서도 이미 언급을 했다. 미방은 항상 띄엄띄엄 보지 말아야 한다.)
위의 미분방정식은, y라는 함수에, 어떤 리니어 오퍼레이터 L 이 작용하여 g 로 변환된 것으로 생각할 수 있다.
오퍼레이터 L 의 성질을 살펴보자면, 이것은 다양한 오더를 포함하는 x에 관한 미분연산자 ( 당근 리니어 오퍼레이터) 이다. 이제 위 미방을 푼다는 것은, 어떠한 함수가 L 에 의해 g로 변환되는지를 찾는것과 같다.`
(텍스트북에 따라, 미분연산자들만 묶어서 L 로 취하고 나머지는 따로 분리 시켜서 사용하는 경우도 많다. 가령 위의 미방을 [L+a0]y = g 따위로 쓰는건데, 그렇게 쓰면, 호모지니어스 파트가, 이때의 L에 대한 아이겐벨류 프라블럼과 관계가 있게 된다. )
델타 펑션은 특정 함수값을 추출하는 기능을 가지고 있고, 또한, 연속적으로 조합하면 어떠한 함수도 만들어 낼수가 있다. 결과적으로 우리의 아이디어는 L 에 의해 델타펑션으로 매핑되는 함수를 찾는 것으로 귀결되는데, 이렇게 L 에 의해 δ 펑션으로 매핑되는 녀석을 L의 그린펑션이라고 부른다.
다음의 과정을 보면 느낌이 딱 오게된다.
이제, 주어진 밉아은, LG = δ 인 G를 찾는 것이 된다. 당연한 얘기지만, G는 L에만 의존한다. 그리하여, G만 구하면, 그 다음에는 적분만 하면 되므로, in principle, 문제는 다 풀었다고 보면 된다. ( 그린펑션을 구하는게 항상 쉽다는 뜻은 아니다. )
1편: 아이디어
2편: 직접 구해보기 ( 예제 )
3편: 다변수로 확장하기
이 글에서는 그린펑션과 관련된 내용, 예컨대 그린 띠어럼, 델타함수, 컨벌루션, 푸리에 등의 내용은 따로 다루지 않는다. 또한, 물리적 의미나 어플리케이션도 따루 다루지 않는다. 다만, 미방의 툴로서 브리프하게 다룰 뿐이다.
따라서 아주 기초적인 글이 될 것이며, 관련 전공자들에게는 쓸데없는 글이 될것같다. 그러나, 처음 접하는 사람에게는 미분방정식에 대한 상당한 아이디어를 제공할 수도 있을 지도 모른다는 생각이 든다.
우리의 스토리는 논호모지니어스 상미방에서 출발한다. 다음과 같이 n차 인호모지니어스 상미방이 있다고 하자.
( 우변의 g(x) 가 g(y) 인 경우에는 완전히 다른 얘기가 되는데, 이에 관해서는 심플 펜들럼의 주기 구하는 글에서도 이미 언급을 했다. 미방은 항상 띄엄띄엄 보지 말아야 한다.)
위의 미분방정식은, y라는 함수에, 어떤 리니어 오퍼레이터 L 이 작용하여 g 로 변환된 것으로 생각할 수 있다.
오퍼레이터 L 의 성질을 살펴보자면, 이것은 다양한 오더를 포함하는 x에 관한 미분연산자 ( 당근 리니어 오퍼레이터) 이다. 이제 위 미방을 푼다는 것은, 어떠한 함수가 L 에 의해 g로 변환되는지를 찾는것과 같다.`
(텍스트북에 따라, 미분연산자들만 묶어서 L 로 취하고 나머지는 따로 분리 시켜서 사용하는 경우도 많다. 가령 위의 미방을 [L+a0]y = g 따위로 쓰는건데, 그렇게 쓰면, 호모지니어스 파트가, 이때의 L에 대한 아이겐벨류 프라블럼과 관계가 있게 된다. )
델타 펑션은 특정 함수값을 추출하는 기능을 가지고 있고, 또한, 연속적으로 조합하면 어떠한 함수도 만들어 낼수가 있다. 결과적으로 우리의 아이디어는 L 에 의해 델타펑션으로 매핑되는 함수를 찾는 것으로 귀결되는데, 이렇게 L 에 의해 δ 펑션으로 매핑되는 녀석을 L의 그린펑션이라고 부른다.
다음의 과정을 보면 느낌이 딱 오게된다.
이제, 주어진 밉아은, LG = δ 인 G를 찾는 것이 된다. 당연한 얘기지만, G는 L에만 의존한다. 그리하여, G만 구하면, 그 다음에는 적분만 하면 되므로, in principle, 문제는 다 풀었다고 보면 된다. ( 그린펑션을 구하는게 항상 쉽다는 뜻은 아니다. )