[양자역학] #009. 슈뢰딩거 방정식 ( Schrödinger equation ), 클라인-고든 방정식 ( Klein-Gordon equation )

양자물리에 대한 애초의 포스팅 계획은, "전자의 이중슬릿 실험" 과 "슈테른-겔라흐 실험" 따위에 대해 살펴봄으로써, 고전 물리로 그러한 것들을 기술하는데 애로사항이 꽃피며, 이는 새로운 "기술(description) 체계" 에 대한 요구로 이어졌다는 내용으로 부터 시작하고 싶었다. 굳이 역사적 순서와도 맞지않는 슈테른-겔라흐를 먼저 살펴본 것은, 양자역학의 단순한 디테일에 얽매인 것이 아닌, "물리적 상태를 기술하는 포괄적 체계" 를 원했기 때문이다.

이러한 기술체계를 확립하는 과정에 대한 논의를 통해, 힐버트 스페이스, 상태벡터, 선형결합, 디랙브래킷 그리고 연산자에 대한 이야기로 물 흐르듯이 이어져 하이젠베르크의 행렬역학의 시발점에 이르고 싶었다. 그다음에 플랑크의 흑체복사와 아인슈타인의 광전효과로 부터 빛의 에너지와 운동량에 대해 살펴본 후 , 드브로이의 물질파( matter wave ) 를 살펴보고, 물질파를 기술하는 방정식, 즉, 슈뢰딩거 방정식에 이르고져 하였다.

위와같은 흐름의 기초공사를 통해, 행렬역학과 파동역학의 동시적 출발점에 서서, 이후의 본격적인 논의를 준비하고 싶었으나, 그것은 쉽지 않았다. 우선 양이 생각보다 엄청 많았고, 일관된 하나의 논리로, 그것도 물흐르듯이 써나간다는 것은 나의 능력을 넘어서는 것이었다.

그래서 내린 결론은 그냥 내키는대로 막 써대다가, 나중에 모아서 손을 좀 보는게 낫겠다는 거다. 암튼 그래서 이 글에서는 슈뢰딩거 방정식에 대해서 살펴본다. ( 아래의 내용은 일전에 송희성 선생님께서 물리수학 시간에 강의하신 내용과 홍종배 선생님의 양자강의 내용을 정리한것이다. )

물질파(matter wave)
흑체복사와 광전효과로 부터, 진동수 f 를 갖는 빛의 에너지는 E = hf  이다.  ( 참고 : 양자역학 #001. 플랑크 흑체복사 )
상대론에 따르면 토탈에너지 스퀘어는 E² =  (pc) ²  +  (mc²) ² 인데, 빛의 질량이 0 이므로 E = pc 가 된다. 그러므로, 다음과 같다.

따라서, 파장이 람다인 빛의 운동량은 p = h / λ  이다.  이에 드 브로이는 낼름(?)  p 와 λ 를 바꿔, 역으로 운동량 p 인 입자는 파장 λ 인 어떠한 파를 갖는거 아닐까하고 제안한다. 이를 물질파(matter wave)라고 한다.

슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger equation)
푸리에 정리에 따르면, 임의의 웨이브는 선형독립인 평면파들의 조합으로 쓸수 있다. 이러한 평면파를 1차원에 대해서 복소수 형식으로 쓰자면  ψ = A exp { i ( k x - ω t ) }  로 쓸 수 있다.  참고로,  k = 2π / λ  ,  ω = 2π f   이다.

여기서 양변에 h 를 곱하고 정리하면 다음과 같이 된다.

따라서 운동량 연산자와 에너지 연산자는 다음과 같이 된다.

이제 E = K.E + P.E 에 의해 다음과 같이 쓸수있다.

따라서 다음과 같다.

특히, 전체 웨이브는 이것들의 선형조합이고, 또한 양쪽의 연산자들이 모두 선형이므로, 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

앞에서 소문자 ψ로 쓴것은 베이시스이고, 대문자 Ψ 로 쓴것이 물질파이다. 슈뢰딩거 방정식은 물질파의 다이나믹스로서, 이것은 어느 특정 순간의 물질파를 알 때, 위의 미방을 풀면 그것의 시간변화를 알아낼수 있다는 얘기이다.

클라인-고든 방정식 (Klein-Gordon equation)
결과적으로, 위의 슈뢰딩거 이퀘이션은 물질파의 평면파에 대한 식 p = h / λ   와  E = hf   을 본질적으로 가지고 있는 식이다. 특히, 2π / λ = k  ,  2π f = ω  , h-bar = h/2π  이므로, ω , k , h-bar 로 다시쓸수 있고, E = p2 / 2m + V   를 통해 조합하면, 물질파의 플레인 웨이브에 대한 ω 와 k 의 관계식, 즉, 분산방정식(dispersion eq) 을 얻는다.

다시말해, 슈뢰딩거 이퀘이션과 위의 분산방정식은 본질적으로 같은 내용을 담고 있다고 할 수있다. 가령, 위의 분산방정식을 보면, 물질파의 퍼지는 특성을 알 수 있다.

아무튼, 우리가 고려하고 있는 시스템에서 물질파에 대한 분산방정식은 위와 같은데, 이것은 진공을 진행하는 전자기파의 플레인 웨이브에 대한 분산방정식과는 상당히 다르다. 평면파 Ψ = A exp i ( kx - ωt ) 를 라플라시안 취한것과 t로 두번편미분하고 c제곱으로 나눈것이 같다고 놓으면  ω = c k  를 얻는다. 이 분산방정식은 진공중의 전자기파에 대한 파동방정식에 대응된다. 즉, 파동방정식과 분산방정식은 1대1로 대응된다.

슈뢰딩거가 슈뢰딩거 이퀘이션을 발표하자, 클라인과 고든은 입자의 상대론적 에너지 E² =  (pc) ²  +  (mc²) ² 에, 앞서 구한 에너지연산자와 운동량 연산자를 낼름 적용하여 상자론적 파동방정식인 클라인-고든 방정식을 발표한다.

사실, 슈뢰딩거도 이식을 얻었으나 발표하지 않았는데, 이식은 아주 특수한 경우에만 맞고, 일반적으로 맞지 않는 식이다. 그런데 클라인과 고든이 옳다구나 하고 낼름 발표했으니 슈뢰딩거는 얼마나 코웃었을까. 이 문제는 이후에 디랙의 상대론적 파동방정식인 디랙방정식이 발표되며 일단락 된다.