Stereographical Projection 과 리만 스피어 ( Riemann Sphere )

Stereographical Projection은 평면상의 모든 점을 구면에 1대1 대응시킨다. 이때, 구면내부에 있는 평면은 남반구에 점이 찍히고, 구면밖의 평면은 북반구에 점이 찍힌다. 북극점은 무한히 뻗어나가는 평면의 극한값이다. 따라서, 유한평면에 대해 북극점을 제거한 구면은 평면을 오그려휜것과 같다. 즉, 타폴로지컬리 동일하다.

평면을 복소평면으로 하면, 마찬가지로 모든 복소수는 구면상의 한점에 대응된다. 이때 북극점은 역시 복소평면이 무한히 뻗어나가는 상태에 대응된다. 이것을 복소수의 무한대에 대응되는 점으로 정함으로써 복소수의 무한대를 정의할 수 있다.

이때, 복소수 무한대는 복소평면이 뻗어가는 모든 방향을 포함하고 있으므로 실수의 무한대와는 성질이 다르다. 실수의 무한대는 실수축 한쪽을 ∞ , 반대쪽을 -∞ 라고 하지만, 여기서 정의하는 복소수의 무한대는 그러한 방향성이 없다. 즉, lim (n -> ∞) n + i n  이나 lim (n -> -∞ ) n + i n 이나 똑같이 한점으로 다가간다. 사실 평면에서 이런 생각을 하는게 오히려 더 억지스럽다.

이 구를 Riemann Sphere 라고 부른다. 일전에 결정학을 배울때 무지하게 골치를 썩였던 스테레오그래픽 프로젝션이... 복소함수에서 또 등장하는걸 보니, 모든 학문은 하나로 통하는게 아닌가 하는 생각이 든다.