복소평면

컴플렉스 플레인과 유클리디언 플레인의 차이를 통해 컴플렉스 플레인이 뭔지를 살펴보자.


메트릭 스페이스로만 보자면 컴플렉스 플레인이나 유클리디언 R² 플레인이나 똑같다. metric인 norm 도 같은걸 쓴다.


algebraic structure 로서 살펴보면, 우선 addition 도 같은 걸 쓴다. 즉, (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
그러니까 이상태에서 VS over R 을 구성하면 R² 나 C 나 완전하게 똑같은 VS 이다.


결국, 차이는 복소수 곱셈뿐이다. 그러니까 R² 에  (a,b) (c,d) = ( ac - bd , ad + bc ) 라는 곱셈을 추가한 algebraic structure 가 복소평면이라고 할수있다.


복소수의 곱셈을 위처럼 먼저 정의하고, 허수단위 i 를 ( 0, 1 ) 에 대한 special name 정도로 불러줘도 좋고, 반대로 i 를 특수하게 먼저정의하고, 리니어리티 따위로 곱셈을 정의해도 된다.


요컨대, C 는  R² 에 곱셈연산이 하나 추가된 , 즉, R² 의 스페셜케이스이므로,  R² 상에서 성립하는 제너럴한 정리들은 그대로 쓸 수 있다.

즉, 2차원 회전행렬이라던가 , 면적분에 대한 그린정리 라던가 하는걸 다 써도 된다는 소리다.