듀얼 스페이스 3편 - 듀얼 베이시스의 기하학적 해석과 리씨프로컬 벡터 ( reciprocal vector )

어떤 베이시스에 대해, 그것의 듀얼베이시스는 각 베이시스 벡터들의 계수로 가는 맵이라고 했다.

기하학적 느낌을 얻기위해, 유클리디안 R2 스페이스부터 생각하도록 한다.

어떤 임의의 베이시스 β = { e1 , e2 } 가 주어져 있다고 하자. 이것은 직교도 아니고 노말라이즈드 되어있지도 않다. 그냥 제멋대로인 베이시스라고 하자.


이제 임의의 벡터는 β 베이시스 상에서 전개하면, 그 계수에 의해 레프리젠트 된다. 임의의 벡터 A 에 대해, e1 의 계수를 A1 , e2 의 계수를 A2 라고 하자.


우리가 원하는 맵은 A 를 넣으면, A1 이 나오는 맵 f1 과, A를 넣으면 A2 가 나오는 맵 f2 이다.


맵핑의 연산을 내적으로 고정하고 다음과 같이 셋팅하자.

e1* 는 A 에 내적하면 e1 의 계수를 주고, e2* 는 A에 내적하면 e2 의 계수를 주는 벡터.

오소노말일때는 어떤 녀석들이 그렇게 만드는지 바로 눈에 보인다. 그리고 그것은 우리가 오소노말베이시스를 선호하는 이유이기도 하다.

아무튼 일반적인 베이시스에 대해, 다음과 같이 된다.

즉, 각 듀얼 베이시스 벡터가 갖추어야할 기하학적 조건은 아래와 같다고 말할 수 있다.

결과적으로 듀얼 베이시스 벡터와 원래 베이시스 벡터들과의 내적이 크로네커 델타가 된다. 그렇다고 베이시스들이 오소노말이라는 뜻은 아니다. 위의 그림을 보자. 직교베이시스가 아니다. 듀얼스페이스 1편에서 듀얼베이시스의 데피니션과 비교해보자. f_i (xj) 가 크로네커 델타가 되는것과 같은 뜻이다.


암튼, 기하학적으로 다음과 같은 두개의 조건을 얻었다.

[ 조건 1 ] 자신과 대응되는 베이시스 벡터를 제외한 나머지 모든 벡터들에 대해서는 수직이어야 한다.
[ 조건 2] 자신과 대응되는 베이시스 벡터와는 내적이 1 이어야 한다.

위 그림의 아랫쪽 좌측 그림은 [ 조건 1 ] 을 나타내고, 우측 그림은 [조건 2 ] 를 나타낸다.

( 그림을 디테일하게 그리진 않았으나, 의미전달에는 문제가 없을듯. 그리고, 위 그림에서 검은색 선으로 나타낸 선은 이게 2차원임 시각적으로 보이고 싶었을 뿐 아무런 의미도 없다. )


수학에서는 벡터들이 모두 물리적으로 무차원인 경우가 많지만, 물리에서는 대부분의 경우 벡터들이 물리적 차원을 갖는다. ( 물리적 차원이라는 표현을 쓴것은 벡터의 디멘션과 혼동하지 않도록 하기 위함이다. ) 물론, 제대로 오소노말인 벡터는 물리적으로도 dimensionless 이다.

아무튼, 일반적으로, 듀얼베이시스는 원래 베이시스의 리씨프로컬 디멘션 ( 역 차원 )을 갖어야 한다. 그래야 내적하면 값 1 을 갖을테니까 말이다. 가령, 어떤 제너럴 베이시스가 길이의 차원을 갖었다면, 그것의 듀얼스페이스는 길이의 역수 차원을 갖는 공간이 된다. 그러한 공간을 리씨프로컬 스페이스 ( 역 공간) 라고 한다.

가령 파장 스페이스에 대해서, 소위 k-space 라고 하는 것이 바로 리씨프로컬 스페이스 인 것이다. 이것은 푸리에 트랜스폼의 본질이기도 하다.


3차원 공간에서 일반 베이시스가 β = { a , b , c } 로 주어져 있다고 하자.
그리고 이것의 듀얼 베이시스 β* = {  a* , b* , c* } 를 구해보자. ( 연산이 내적임은 마음속에 간직하도록 한다. )


일단 a* 벡터는 b 하고 c 에 수직이어야 한다. 따라서, b x c 에 평행할 것이다. 이러한 방향은 두 방향이 있는데, 이제 우리는 적당한 상수배를 통하여, a 와의 내적이 1 이 되도록 만들면 된다.

즉, a*  =  k ( b x c ) 로 표현할수 있고,  a* dot a = k ( b x c ) dot a = 1  이어야 하므로, 그 상수 k = 1 / ( b x c ) dot a 이 되어야 한다.


따라서, 다음과 같이 된다.

이렇게 하면, 나머지들과는 전부 수직이고, 대응되는 베이시스 벡터와는 내적하면 분모분자가 같아지면서 1 이된다. 이것이 바로 리씨프로컬 벡터(reciprocal basis vector)들 이다.

따라서 다음과 같이 나타낼수 있다.

당신이 코베리언트 & 콘트라베리언트 벡터에 대한 상식이 있고, 대신 듀얼 스페이스는 처음 접하는 상황이라면, 위의 결과는 상당히 짜릿한 결과일 것으로 생각한다. 메트릭 텐서를 생각해보라. ( 갑자기 메트릭 텐서하니까 하는 말인데, 내가 matrix 를 굳이 메이트릭스라고 부르는 이유가 메트릭 때문이다. 터팔로지의 메트릭 스페이스와 리니어 앨지브라의 메이트릭스 스페이스가 듣기에 혼동될수 있기 때문이다. ) 3D 에서 a,b,c 를 e_1,e_2,e_3 의 서브스크립트 스타일로 쓰면, ( 물론 제너럴 베이시스 ) , a* , b* , c* 가 e^1 , e^2, e^3 의 수퍼스크립트로 쓴거랑 같다.

또한 이렇게 분리시키고, 임의의 오소노말 베이시스를 도입하면, 오소노말 베이시스 상에서 내적은 로우벡터와 컬럼벡터의 행렬곱이므로, 이것은 역행렬에 대한 또다른 인사이트를 준다.


참고로, 리씨프로컬 벡터 정의할때, 앞에 2π 같은 팩터를 붙이기도 하는데, 이것은 듀얼 스페이스와 푸리에 트랜스폼이 밀접하게 닿아있음을 강하게 시사한다. ( 일단 이건 넘어가자. )


리씨프로컬 벡터들의 차원을 보자. 분모가 분자에 비해, 텀하나를 더 가지고 있으므로, 원래 베이시스들의 차원의 역이 되고 있다. 물론, 원래의 베이시스가 오소노말이라서 피지컬리 무차원이면 듀얼베이시스도 무차원이다.


듀얼 스페이스는 원래의 스페이스와 커플드된 씨메트리를 준다.

위와 같은 직관으로 부터, 듀얼의 듀얼 ( 즉, 더블듀얼 ) 이 자기자신이 됨을 거부감없이 받아들일수 있다.


아래는 matter.org.uk 에서 퍼온 이미지이다.

크리스탈로그래피에서 래티스의 베이시스는 대부분 오소노말하지 않다. 위 그림에서 리얼스페이스에서 베이시스는 길이의 차원을 갖는다. 따라서, 리씨프로컬 래티스의 베이시스는 길이의 역수차원을 갖는다. 정확하게 기억은 안나지만 라우에 회절인가에서 가시적인 결과가 리씨프로컬로 나타났던것 같은데, 암튼, 어플리케이션에도 직접적으로 유용한 개념이다.


4편에 계속...