듀얼스페이스 (Dual Spaces) 1편 - 데피니션

그리피스의 Introduction to Quantum Mechanics 에 보면, 브라 벡터가 켓 벡터의 듀얼 베이시스라는 말이 나오는데, 이것은 켓이 오소노말임을 전제하고 한 말이다. 단지 헤르미트 컨주게이트 했다고 듀얼이 되는건 아니라는 말이다. 근데 뭐 어차피, 양자역학에서 고려하는, 그러니까 웨이브 펑션이 "살고있는" 힐베르트 스페이스는 베이시스가 모두 오소노말이므로 어차피 뭐 상관은 없다.

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사실, 듀얼 스페이스는 작년 여름부터 포스팅하려고 목록까지 만들어 놓고 벼르고 있었는데, "수학은 항상 원론부터 시작해야 합니다" 라는 모 교수님의 말씀처럼 지극히 기초적인 부분부터 이야기를 시작하려고 하다보니, 지나치게 많은 노동과 시간이 요구되었고, 결국 중간에 쓰다마는 일이 많아졌다. 그래서 결국은 내가 감동을 받았던 그부분에 대한 이야기는 시작도 해보지 못하고 얼버무리게 되는 일이 많아졌다. ( 예로, 텐서만 봐도 ㅡㅡ;;; ...,  뭐 언젠간 쓰겠지만... )

암튼, 그런데 이렇게 중도에 그만두는 일이 많아지면서, 가끔 포스팅의 목적에 대한 회의가 들곤한다. 사실 그것은 어떠한 학문적 감동에 대한 회상이고, 기본적으로 그것은 나 자신을 위한 것이다. 물론, 부수적으로 불특정다수와의 공감을 목적으로 하기도 하지만... 뭐, 아무튼 그래서, 그럴바에야 그냥 "중얼거림"의 형식이 가장 마음도 편하고 자연스럽지 않겠나 라는 결론을 내렸다. 누가 알아듣거나 말거나 말이다...

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일단 정의부터 살펴보자. 아래는 Friedberg, Linear Algebra, 4th ed. 에서 발췌했다.

리니어 트랜스포메이션 스페이스를 다음과 같이 정의하자.

Note. L(V,W) 도 벡터스페이스가 된다. 이것은 우리가 선형 대수학, 다시말해, 대수학 중에서 리니어한 분야를 공부하는데 왜 자꾸 행렬을 공부하는가에 대한 대답이기도 하다.

이제, 듀얼 스페이스를 다음과 같이 정의한다.

Note. 달리말하면, V 위에서의 Linear Functional 들의 공간이다.

듀얼 베이시스를 정의하기에 앞서, Coordinate Function 을 아래와 같이 정의하자.

아주 단순한 맵이다. 참고로 [x]β 라고 쓴것은 이책에서 자주 쓰이는 노테이션으로, 벡터 x 의 β 베이시스에 대한 컴포넌트 벡터를 말한다.

Note. 이 맵이 Linear Functional 임에 유의하자.

이제 위의 노테이션을 이용해서, 듀얼 베이시스를 정의하자.

이것으로 듀얼 스페이스와 듀얼 베이시스에 대한 정의는 끝났다.

근데, 이것이 정말로 듀얼 스페이스의 베이시스가 되는가 에 대한 의심을 갖을 수도 있을 것이다. 일단 듀얼 스페이스의 디멘션이 원래의 벡터 스페이스와 같다는 것 부터 짚고 넘어가자. (물리적 디멘션을 말하는게 아님.)

pf ) dim(V*) = dim(L(V,F)) = dim(V)dim(F) = dim(V) x 1 = dim(V)  ,   ∴ dim(V*) = dim(V)

그러니까 듀얼 베이시스가 원래 베이시스와 개수가 같은건 메익 센스 하다고 하겠다. 또한 각 f_i 들이 Linear Functional on V 니까, V* 의 원소들인것도 맞다.


아래의 정리는, 앞에서 정의한 듀얼 베이시스가, 듀얼스페이스에 대해서 정말로 베이시스가 된다는 것과, 동시에 그것이 유니크함을 보장해준다. 그니까 믿고 써도 좋다는 말씀.

뭐, 데피니션이 여러개 등장했지만, 별거 없다. 단지 여기선, 듀얼 스페이스와 듀얼 베이시스를 정의하려고 도입한 것뿐이다.

중요한 건, 이제 우리는 임의의 벡터스페이스에 대해 새 베이시스들로, 듀얼을  구성할 수 있다는 것이다.

일단 졸려서 안되겠다. 정의를 소개한데에 만족하기로 하고 ... 다음번 포스팅에서 그 물리적 의미를 살펴보도록 하겠다.

책을 스캔해서 올리는게, 생각했던것보다 더 귀찮다 ㅡㅡ  분명 데자부 파일 있었는데 어디로 간거지...

선형대수를 아예 접해본 적이 없는 사람들을 위해, 위의 정의들에 해설을 덧붙이는 것도 좋겠지만, 어차피 그런 상황이라면 앞으로의 논의가 별 감흥을 줄 것 같진 않다.