포텐셜과 포텐셜에너지 그리고 물리학의 컨벤션
Physics/Math./Mech./Gen. Relativity2009. 3. 30. 23:33 |포텐셜에너지는 관계된 벡터필드가 포스필드일 때의 포텐셜을 말한다. 즉, 포텐셜 에너지는 포텐셜의 특수한 케이스이다. 굳이 포스필드임을 강조할 필요가 없을때는 그냥 포텐셜로 불러도 무방하다.
그러나 용어상 딱히 구분을 하지 않더라도, 포텐셜 에너지의 물리적 차원이 '에너지' 임은 항상 염두에 두어야 한다. 가령, 전위(V로 나타내자) 라고 부르는 일렉트릭 포텐셜의 경우, 전기장 E가 폴스필드가 아니기 때문에 V 는 포텐셜 에너지가 아님에도 에너지로 착각하는 경우가 많다. 디멘션을 따지자면 일/차지 이므로, 에너지가 되려면 차지를 곱해줘야한다.
보존 벡터장( conservative vector field ) 이란, 임의의 closed path 에 대한 line integral 이 0 인 벡터장을 말한다.
그런데 우리는, FTC for gradients ( = FTC for line integrals ) 로 부터, 임의의 그레이디언트 필드는 임의의 폐곡선에 대한 선적분이 항상 0 임을 알고있다. 결과적으로, 어떤 보존 벡터장 Γ 는 어떤 스케일러 펑션 T 의 그레이디언트 필드가 된다. ( 그러한 스케일러 펑션의 존재성은 이미 증명되어있다 ... 고 한다. 많은 경우, 물리학자들은 이러한 부류의 존재성 증명에 대해, 수학자들을 "활용"하는 경우가 많다. )
벡터장 Γ 가 어떠한 스케일러 함수 T 에 의해, Γ = ∇ T 로 표현되면, 그것의 컬 ∇ x Γ 는 ∇ x ( ∇ T ) 가 되어, 0 이 된다. 따라서, ∇ x Γ = 0 ( curl-free or curless ) 은 Γ 가 보존장일 필요충분 조건이 된다. 이와 유사하게, 그리고 대칭적으로, ∇ · Γ = 0 ( divergence-free or divergenceless ) 일때, Γ = ∇ x Ω 로 표현되는, 벡터장 Ω 이 존재한다.
요약하자면, 수학적으로는...
" ∇ x Γ = 0 인 경우, Γ = ∇ T 인 T 가 존재하여, T 를 Γ 의 스케일러 포텐셜 이라고 하고,
∇ · Γ = 0 인 경우, Γ = ∇ x Ω 인 경우, Ω 가 존재하여 Γ 의 벡터 포텐셜 이라고 한다. "
이제 물리로 넘어와서... ( 물리로 넘어온다는 말이 좀 그렇긴 하다. 원래는 모두 물리에서 나온 개념일 껀데, 항상 물리가 뭔가 창의적이고, 모티베이티브 한것을 하면, 수학은 그것을 엄밀히 분석하고, 제너럴라이즈시킨 후, 수학의 한 분야로 만들어 버리기 때문이다. )
아무튼, 보존장이 힘인 경우를 살펴보자. 그것을 특히 보존력장(conservative force filed) 이라고 하는데, 스케일러 포텐셜의 디멘션이 에너지가 된다. 아마도 우리는 그것을 포텐셜 에너지 라고 부르고 싶을 것이다.
하지만, "고립계의 역학적 에너지 보존법칙"을 만족시키기 위해서는 F = - ∇ U 가 되어야 한다. 그래서 우리는 보존력 F 에 대한 계의 포텐셜 에너지를 F = - ∇ U 를 만족하도록 정의해야 한다. ( 보통 포텐셜을 V , U , Φ 따위의 문자로 쓴다. )
대칭성의 측면에서는 약간 불만스러울수도 있겠지만, 현대물리실험1 교수님이 지적하신대로, 맥스웰 이퀘이션도 대칭성이 골때리게 많이 깨져있다는 것을 상기하자. 교수님께서는 맥스웰이퀘이션에 대해 상당한 불만을 보여주셨는데, 아예 모두 재정비해서, (가령 전하의 부호도 바꾼다거나... ), 수학적으로 아름다운 대칭성을 갖도록 만들고 싶으시다고.
아무튼, 보존력장의 경우에, 앞에 - 부호가 붙어야 하지만, 여전히 보통의 보존장에 대해서는 수학적 정의에서와 마찬가지로, 앞에 -가 붙어야 할 이유가 전혀 없다. 사실, 힘이 아닌 보통의 보존장의 경우, 부호는 별 의미가 없는데, 어차피 Γ = - ∇T 라고 써도, Γ = ∇(-T) 가 되므로, 본질적으로 같기 때문이다.
예를 들어보자.
물리학에서, 전기 포텐셜 V 는 E = - ∇V 를 만족하도록 정의하는데, 사실 이것은 물리학의 컨벤션이다.
E 가 force field 가 아니므로, E = ∇V 를 만족하도록 V를 정의해도 아무런 문제가 없다.
우리가 지켜야 할 룰은 전기력 F 와 일렉트릭 포텐셜 에너지 U 에 대해 F = - ∇ U 을 만족하는 것이지, 력장이 아닌 E 에 대해서는 제약이 없다. 설령, E = ∇V 를 만족하도록 V가 정의되더라도, F = qE = q∇V = ∇(qV) = - ∇ U 이면 되므로, U = - qV 로 세팅하면, 역학적 에너지 보존을 거스르지 않는다.
Griffiths , introduction to electrodynamics, 3ed. 에서 이에 대한 언급은 몇차례 등장하는데, 가령,
p.53. If the curl of a vector field (F) vanishes (everywhere), then F can be written as the gradient of a scalar potential (V) :
∇ x F = 0 ⇔ F = - ∇V ( the minus sign is purely conventional. )
( 이경우 F 는 단순히 벡터필드를 칭할 뿐, force field 가 아님에 주의 )
또, p.79 By the way, don't let the minus sign in equation E = - ∇V distract you; it is largely a matter of convention.
그런데, 한글번역판에는, 매번, 그리피스가 옳지않다는 역자의 주석과 반박 해설이 있는데, 사실은 그리피스가 모두 옳다.
( 한가지 드는 생각은... , 원저를 번역할때, 단순한 역자주가 아닌, 내용에 수정을 가할때는 , 원 저자와의 상의를 거쳐, 완전한 동의하에 행해져야 하는것이 아닌가 하는 생각이 든다. )
아무튼, E = - ∇V 로 세팅하면, U = qV 라고 놓으면 되고, E = ∇V 로 세팅하면, U = - qV 라고 놓으면 될 뿐이다.
양쪽모두 장단점은 있다. 한쪽은 미분식에 - 부호가 없어서 좋고, 한쪽은 U 와 V의 부호가 같아서 (즉, V = U / q ) 로 쓸수있어서 좋다.
우리는 아직 U 와 V 를 구체적으로 정의하지 않았음에도 불구하고, 미분식들로 부터, U = qV 혹은 U = -qV 따위의 언급을 할 수 있음에 유의하자.
그런데, 사실은 포텐셜에너지의 그레이디언트 앞에 붙는 부호도 관습이라고 한다.
이원종교수님 : 이 앞에 붙는 부호는 신경쓰지 마세요. 그냥 이렇게 정의하는 겁니다.
한학생 : ( 의문을 제기하며 ) 에너지 보존법칙 성립하려면 그렇게 정의해야만 하는거 아닙니까?
이원종교수님 : 그건 자네생각이고~. 아니 그건 자네생각이라니까?
전헌수교수님 : 앞에 마이너스는 이건 뭐 그냥 관습이구요.
한학생 : ( 의문을 제기하며 ) 에너지 보존법칙 성립하려면 마이너스 부호 있어야하는거 아닌가요?
전헌수교수님 : 아니요. 상관없죠. E = T + V 로 쓰려고 그렇게 한거구요.
에너지보존을 E = T - V 로 쓰고, 관련되는 부호를 모두 코히어런트하게 바꿔주면, 물리적으로 차이가 없어요.
즉, 모든게 정하기 나름인 것이다.
그러나 용어상 딱히 구분을 하지 않더라도, 포텐셜 에너지의 물리적 차원이 '에너지' 임은 항상 염두에 두어야 한다. 가령, 전위(V로 나타내자) 라고 부르는 일렉트릭 포텐셜의 경우, 전기장 E가 폴스필드가 아니기 때문에 V 는 포텐셜 에너지가 아님에도 에너지로 착각하는 경우가 많다. 디멘션을 따지자면 일/차지 이므로, 에너지가 되려면 차지를 곱해줘야한다.
보존 벡터장( conservative vector field ) 이란, 임의의 closed path 에 대한 line integral 이 0 인 벡터장을 말한다.
그런데 우리는, FTC for gradients ( = FTC for line integrals ) 로 부터, 임의의 그레이디언트 필드는 임의의 폐곡선에 대한 선적분이 항상 0 임을 알고있다. 결과적으로, 어떤 보존 벡터장 Γ 는 어떤 스케일러 펑션 T 의 그레이디언트 필드가 된다. ( 그러한 스케일러 펑션의 존재성은 이미 증명되어있다 ... 고 한다. 많은 경우, 물리학자들은 이러한 부류의 존재성 증명에 대해, 수학자들을 "활용"하는 경우가 많다. )
벡터장 Γ 가 어떠한 스케일러 함수 T 에 의해, Γ = ∇ T 로 표현되면, 그것의 컬 ∇ x Γ 는 ∇ x ( ∇ T ) 가 되어, 0 이 된다. 따라서, ∇ x Γ = 0 ( curl-free or curless ) 은 Γ 가 보존장일 필요충분 조건이 된다. 이와 유사하게, 그리고 대칭적으로, ∇ · Γ = 0 ( divergence-free or divergenceless ) 일때, Γ = ∇ x Ω 로 표현되는, 벡터장 Ω 이 존재한다.
요약하자면, 수학적으로는...
" ∇ x Γ = 0 인 경우, Γ = ∇ T 인 T 가 존재하여, T 를 Γ 의 스케일러 포텐셜 이라고 하고,
∇ · Γ = 0 인 경우, Γ = ∇ x Ω 인 경우, Ω 가 존재하여 Γ 의 벡터 포텐셜 이라고 한다. "
이제 물리로 넘어와서... ( 물리로 넘어온다는 말이 좀 그렇긴 하다. 원래는 모두 물리에서 나온 개념일 껀데, 항상 물리가 뭔가 창의적이고, 모티베이티브 한것을 하면, 수학은 그것을 엄밀히 분석하고, 제너럴라이즈시킨 후, 수학의 한 분야로 만들어 버리기 때문이다. )
아무튼, 보존장이 힘인 경우를 살펴보자. 그것을 특히 보존력장(conservative force filed) 이라고 하는데, 스케일러 포텐셜의 디멘션이 에너지가 된다. 아마도 우리는 그것을 포텐셜 에너지 라고 부르고 싶을 것이다.
하지만, "고립계의 역학적 에너지 보존법칙"을 만족시키기 위해서는 F = - ∇ U 가 되어야 한다. 그래서 우리는 보존력 F 에 대한 계의 포텐셜 에너지를 F = - ∇ U 를 만족하도록 정의해야 한다. ( 보통 포텐셜을 V , U , Φ 따위의 문자로 쓴다. )
대칭성의 측면에서는 약간 불만스러울수도 있겠지만, 현대물리실험1 교수님이 지적하신대로, 맥스웰 이퀘이션도 대칭성이 골때리게 많이 깨져있다는 것을 상기하자. 교수님께서는 맥스웰이퀘이션에 대해 상당한 불만을 보여주셨는데, 아예 모두 재정비해서, (가령 전하의 부호도 바꾼다거나... ), 수학적으로 아름다운 대칭성을 갖도록 만들고 싶으시다고.
아무튼, 보존력장의 경우에, 앞에 - 부호가 붙어야 하지만, 여전히 보통의 보존장에 대해서는 수학적 정의에서와 마찬가지로, 앞에 -가 붙어야 할 이유가 전혀 없다. 사실, 힘이 아닌 보통의 보존장의 경우, 부호는 별 의미가 없는데, 어차피 Γ = - ∇T 라고 써도, Γ = ∇(-T) 가 되므로, 본질적으로 같기 때문이다.
예를 들어보자.
물리학에서, 전기 포텐셜 V 는 E = - ∇V 를 만족하도록 정의하는데, 사실 이것은 물리학의 컨벤션이다.
E 가 force field 가 아니므로, E = ∇V 를 만족하도록 V를 정의해도 아무런 문제가 없다.
우리가 지켜야 할 룰은 전기력 F 와 일렉트릭 포텐셜 에너지 U 에 대해 F = - ∇ U 을 만족하는 것이지, 력장이 아닌 E 에 대해서는 제약이 없다. 설령, E = ∇V 를 만족하도록 V가 정의되더라도, F = qE = q∇V = ∇(qV) = - ∇ U 이면 되므로, U = - qV 로 세팅하면, 역학적 에너지 보존을 거스르지 않는다.
Griffiths , introduction to electrodynamics, 3ed. 에서 이에 대한 언급은 몇차례 등장하는데, 가령,
p.53. If the curl of a vector field (F) vanishes (everywhere), then F can be written as the gradient of a scalar potential (V) :
∇ x F = 0 ⇔ F = - ∇V ( the minus sign is purely conventional. )
( 이경우 F 는 단순히 벡터필드를 칭할 뿐, force field 가 아님에 주의 )
또, p.79 By the way, don't let the minus sign in equation E = - ∇V distract you; it is largely a matter of convention.
그런데, 한글번역판에는, 매번, 그리피스가 옳지않다는 역자의 주석과 반박 해설이 있는데, 사실은 그리피스가 모두 옳다.
( 한가지 드는 생각은... , 원저를 번역할때, 단순한 역자주가 아닌, 내용에 수정을 가할때는 , 원 저자와의 상의를 거쳐, 완전한 동의하에 행해져야 하는것이 아닌가 하는 생각이 든다. )
아무튼, E = - ∇V 로 세팅하면, U = qV 라고 놓으면 되고, E = ∇V 로 세팅하면, U = - qV 라고 놓으면 될 뿐이다.
양쪽모두 장단점은 있다. 한쪽은 미분식에 - 부호가 없어서 좋고, 한쪽은 U 와 V의 부호가 같아서 (즉, V = U / q ) 로 쓸수있어서 좋다.
우리는 아직 U 와 V 를 구체적으로 정의하지 않았음에도 불구하고, 미분식들로 부터, U = qV 혹은 U = -qV 따위의 언급을 할 수 있음에 유의하자.
그런데, 사실은 포텐셜에너지의 그레이디언트 앞에 붙는 부호도 관습이라고 한다.
이원종교수님 : 이 앞에 붙는 부호는 신경쓰지 마세요. 그냥 이렇게 정의하는 겁니다.
한학생 : ( 의문을 제기하며 ) 에너지 보존법칙 성립하려면 그렇게 정의해야만 하는거 아닙니까?
이원종교수님 : 그건 자네생각이고~. 아니 그건 자네생각이라니까?
전헌수교수님 : 앞에 마이너스는 이건 뭐 그냥 관습이구요.
한학생 : ( 의문을 제기하며 ) 에너지 보존법칙 성립하려면 마이너스 부호 있어야하는거 아닌가요?
전헌수교수님 : 아니요. 상관없죠. E = T + V 로 쓰려고 그렇게 한거구요.
에너지보존을 E = T - V 로 쓰고, 관련되는 부호를 모두 코히어런트하게 바꿔주면, 물리적으로 차이가 없어요.
즉, 모든게 정하기 나름인 것이다.