아인슈타인 노테이션, 서메이션 컨벤션

텐서 표기시 또 빠질수 없는것이 아인슈타인 서메이션 컨벤션인데, 인덱스의 위치라던가, 행열의 구분등 다양한 버전이 존재한다. 그런데 그러한 다양한 표기들은 각각의 상황에 맞게 쓰면 된다.

우리가 처한 상황은 아직까지는 아주 단순하고, 단지 써메이션 기호의 홍수가 부담스러울 뿐이므로, 가장 단순한 버전의 컨벤셔널 노테이션을 사용하도록 하겠다. 좀더 복잡하게 수퍼스크립트와 서브스크립트를 구분하는건 코베리언트, 콘트라베리언트의 구분이 필요한 시점이 되면 그때 도입하도록 하겠다.

아인슈타인 노테이션의 가장 간단한 버전은, 수퍼스크립트와 서브스크립트로 구분하지 않고 그냥 모두 서브스크립트로 쓰는 것으로, (2중) 중복첨자가 있으면, 서메이션기호를 빼버리고, 마치 그 첨자에 대한 서메이션이 있는것으로 생각한다.


이게 익숙해지면 상당히 편하다. 텐서의 성질중에 중복첨자에 대한 서메이션이 그 첨자를 사라지게 하기 때문이다. 물론 단점도 있다. 서메이션이라는 사실을 깜빡하거나 하면 엉뚱한 결론에 이를수도 있으니 조심해야한다.


그래도 항상 오해를 불러 일으킬 소지가 있으므로, 되도록 그것이 아인슈타인 노테이션이라는것을 종종 환기시키도록 하겠다. 가령 e.n. 이라 귀퉁이에 써주거나... 그런데, 안쓰더라도 아인슈타인 노테이션인지 아닌지 알아서 문맥상 파악하는 것이 좋다.


가장 간단한 예로, 앞에서 살펴본 직교회전 변환을 살펴보면....

위에서 보듯이 중복첨자j 에 대한 서메이션이므로 기호를 생략하고, j에 대한 서메이션이라는 것을 그냥 염두에 둔다. 또한, λ_ij = e_i ' 내적 e_j 였으므로, 첫번째 첨자는 primed 였다고 생각할 수 있다. 그러므로 위에서 보듯이 중복되는 첨자가 캔슬링되고 남는건 i 만 남게된다. ( 이걸 컨트랙션 이라고 한다.)

앞으로 이표기를 자주 사용하겠지만, 종종 첨자가 중복되고도 서메이션이 아닌경우가 발생하는데, 그땐 또 아인슈타인 노테이션이 아니라고 되도록 언급을 하겠다. 가령 첨자밑에 밑줄을 친다던가...


주의할 것은, 첨자가 2개가 중복될때만 쓰는것이다. 세개가 되면 그건 아인슈타인노테이션이 아니다. 만약 아인슈타인 노테이션인데 3개의 첨자가 중복되었다면 수식어딘가에서 오류를 범했을 확률이 높다.