함수(functions)의 이미지(image) 포함관계
Math2008. 12. 4. 13:29 |Functions as Relations
relation 에 다음의 제한을 가한것을 함수라고 한다.
" 릴레이션이 정의된 수퍼셋( 즉, 카테션 프로덕트 )의 첫번째 집합의 모든 원소가, 해당 릴레이션의 원소인 순서쌍의 첫번째 성분으로서 반드시 한번 나와야한다. "
좀더 정제된 표현으로 정의해보자.
| A function from a set X to a set Y is a triple ( X , Y , f ) such that f is a relation from X to Y satisfying 1. Domain( f ) = X 2. (x,y) ∈ f ∧ (x,z) ∈ f ⇒ y=z |
여기서 순서세짝을 이용한 정의를 했는데, 이것은 릴레이션의 경우도 마찬가지 방식으로 정의할 수있다. 또한 순서세짝의 순서도 정의시에 임의로 셋팅할 수 있다. 가령 ( f, X, Y ) 의 순서로 정의해도 일관되게만 사용하면 문제될 것이 없다. triple을 쓰지 않고 정의해도 상관없다.
첫번째 제한조건의 경우, domain 이라는 용어를 텍스트북마다 달리하므로, 위에서 말하는 바를 이해하는데 주의를 요한다. 이경우에 domain은 relation 에서 preimage 들의 집합으로 사용되었다. 즉, X의 원소들이 모두 해당관계에 사용되어야 함을 의미한다.
두번째 제한조건은 X의 집합에서 Y로의 매핑에 있어 그 대응이 하나만 있어야 한다고 제한하고 있다.
즉, 관계중에서, X 의 모든 원소를 단 한번씩만 관계의 원소의 첫번째 좌표로 사용될것을 요구한 것이 함수라고 할 수 있다.
위의 조건을 만족할때, 해당 릴레이션을 함수라고 부르고, f : X → Y 로 쓴다.
또한, X의 임의의 원소 x 에 대해, 그것이 관계에서 한번만 사용되므로, 그것에 대응되는 Y의 원소를 f(x) 라는 표기로 사용하는것이 가능해진다. 즉, f(x) = y 라는 표현은 2번째 제한조건으로 부터 온다.
예.
X = { a ,b ,c } , Y = { 1 , 2 } 에 대해 f = { (a,1 ) , (b,2) , (c,1) } 은 함수이다. 이때, f(a) = 1 , f(b) = 2 , f(c) = 1 이다.
반면, g = { (a,2) , (b,1) } 또는 h = { (a,1) , (a,2), (b,2) , (c,1) } 따위는 함수가 아니다.
함수에서의 첫번째 조건에 의해, X 에서 Y 로의 함수에서 X는 항상 이 관계의 도메인이므로, 무조건, X를 함수의 도메인으로 정의할 수 있다.
이때 Y는 코도메인으로 칭하고, 실제 릴레이션의 원소의 두번째 성분으로 사용된 Y의 원소들을 묶어서 레인지(range)로 칭하기로 하자.
즉, 레인지는 코도메인의 부분집합이다. ( 이에 관한 용어정의는 텍스트북마다 차이가 있으므로 유의한다. )
Images and Preimages of Functions
f : X → Y 에 대해서, x ∈ X 에 대해, f(x) ∈ Y 를 x 의 image (under f ) 라고 한다. 또한, X 의 부분집합 A 에 대해서, A의 모든 원소들에 대한 이미지들의 집합을 A 의 이미지 ( under f ) 라고 한다
A ⊂ X 의 이미지를 종종 f(A) 로 나타내는데, 어떠한 경우에는 그러한 표현이 혼동을 유발할 수 있다. 그럴때는 f[A] 따위로 표기해서 혼동을 피한다.
앞으로 둘 다 사용할 것이나, 가능한한 f[A] 와 같은 표현을 사용하도록 하겠다.
가령, f : X → Y 에서, f( φ ) = φ 와 같은 표현은, X 의 원소 φ 에 Y 의 원소 φ 가 대응된다는 것인지, X 의 부분집합 φ 의 이미지가 Y의 부분집합 φ 이라는 것인지 혼동을 유발할 수 있다. 이러한 상황은 가령 X, Y가 멱집합이거나 할 때 자주 발생한다. 그럴때, f( φ ) = φ 와 f[ φ ] = φ 로 구분해서 표기하기로 약속하면 모호성이 제거된다.
이제, image 와 preimage ( inverse image ) 를 다음과 같이 정의하자.
| Let f : X → Y be a function. The image of x ∈X under f is f(x) = y such that (x,y) ∈ f The preimage of y ∈Range(f) under f is f -1 (y) = { x∈X | f(x) = y } The image of A ⊂X under f is f[A] = { f(x) ∈ Y | x ∈ A } The preimage of B ⊂Y under f is f -1[B] = { x ∈ X | f(x) ∈ B } |
주의할 것은, f 는 함수이지만, f -1 는 함수가 아니라 릴레이션 f 의 인버스 릴레이션의 개념이다. 함수의 제약조건을 만족하지 않기 때문이다.
따라서, 관계 f -1 에 의해 Y 에서 X로 갈때, Y의 원소중에는 f -1 의 선택을 받지 못하는 원소들이 있을 수 있고, 또한, 동시에 X의 두 원소로 갈수도 있따. f -1 에 의해 선택받지 못한 원소들은 실은 X에서 Y로의 f 에 의해 선택받지 못한 원소들이다. f -1 에 의해 X의 두개 이상의 원소로 매핑되는 원소들은 X의 두개이상의 원소에서 f 에 의해 Y 의 한원소로 매핑된 원소들이다.
앞으로 보게 되겠지만, 어떠한 경우에 그것은 함수의 제약조건을 충족시키게 되며, 그럴때는 f -1 도 함수가 되며, 인버스 '펑션'이라고 부를 것이다.
참고로, 위와 같은 정의와 표현으로 부터, Range(f) 대신 f[X] 를 쓸 수 있다.
image 와 preimage 에 대한 다음의 정리는 자명하다.
| Let f : X → Y be a function. Then 1. f[ φ ] = φ 2. f[{x}] = { f(x) } ∀ x ∈ X |
부분집합의 이미지 포함관계
| Let f : X → Y be a function. Then 1. A ⊂ B ⊂ X ⇒ f[A] ⊂ f[B] 2. C ⊂ D ⊂ Y ⇒ f -1[C] ⊂ f -1[D] |
위 정리는 자명하므로 생략한다.
합집합과 교집합의 이미지 포함관계
| Let f : X → Y be a function. For { Aα ⊂ X | α ∈ Ω } 1. f [ ∪Aα ] = ∪ f [ Aα ] 2. f [ ∩ Aα ] ⊂ ∩ f [ Aα ] |
( 위에서 합집합과 교집합은 모두 해당 인덱스 셋에 대해서 취한것임. 타이핑으로 나타내기가 빡세서 생략했음. )
증명.
1.
y ∈ f [ ∪Aα ] ⇔ ∃x ∈ ∪Aα : y = f(x)
⇔ ∃α ∈ Ω ∃x ∈ Aα : y = f(x)
⇔ ∃α ∈ Ω y ∈ f[Aα]
⇔ y ∈ ∪ f[Aα]
2.
이 것의 증명에는 1번과 같은 증명방식을 쓰지 않겠다. 1번과 같은 방식으로 논리를 전개하다보면, 중간에 전칭한정자와 존재한정자가 믹스돼서 나오기때문이다. 전칭만등장하거나 존재만 등장하면 처리가 쉬우나 믹스되면 처리에 매우 신중해야 한다.
우선, 다음의 사실을 확인하자.
∀β ∈ Ω : ∩Aα⊂Aβ 이므로, ∀β ∈ Ω : f[ ∩Aα ] ⊂ f[ Aβ ] 이다.
또한, ∀β ∈ Ω : f[ ∩Aα ] ⊂ f[Aβ ] ⇔ f[ ∩Aα ] ⊂ ∩ f[Aβ ] 이므로, 증명이 완료된다.
예를 들어보자. 이예는 반대쪽 포함관계가 안된다는 반례도 포함한다.
A = { 1 } , B = { 2 } , f(1) = c , f(2) = c 라고 하면...
f[A] = {c} , f[B] = {c} , A∩B = φ , f[A∩B] = f[φ] = φ , f[A] ∩ f[B] = {c}
따라서 φ ⊂ {c} 이므로 , f[A∩B] ⊂ f[A] ∩ f[B] 이 된다.
등호가 성립하기 위해서는 f가 injective 여야 하는데 , 이에 대해서는 나중에 살펴보도록 한다.
합집합과 교집합의 프리이미지 포함관계
Let f : X → Y be a function. For { Bα ⊂ f[ X ] | α ∈ Ω }
a) f -1[ ∪ Bα ] = ∪ f -1[ Bα ]
b) f -1[ ∩ Bα ] = ∩ f -1[ Bα ]
증명.
a)
x ∈ f -1[ ∪ Bα ] ⇔ f(x) ∈ ∪Bα
⇔ ∃α ∈Ω f(x) ∈ Bα
⇔ ∃α ∈Ω x ∈ f -1[ Bα ]
⇔ x ∈ f -1[ ∪ Bα ]
b)
x ∈ f -1[ ∩ Bα ] ⇔ f(x) ∈ ∩Bα
⇔ ∀α ∈Ω f(x) ∈ Bα
⇔ ∀α ∈Ω x∈ f -1[ Bα ]
⇔ x∈ f -1[ ∩ Bα ]
여집합의 이미지
Let f : X → Y be a function. For A ⊂ X
f[ Ac ] 는 f[ A ]c 와 무관
여집합의 프리이미지
Let f : X → Y be a function. For B ⊂ Y
f -1[ Bc ] = f -1[B]c
증명.
x ∈ f -1[ Bc ] ⇔ f(x) ∈ Bc ⇔ ￢( f(x) ∈ B ) ⇔ ￢( x ∈ f -1[ B ] ) ⇔ x ∈ f -1[ B ]c
preimages of images
Let f : X → Y be a function. For A ⊂ X
A ⊂ f -1[ f[A] ]
증명.
x ∈ A ⇒ f(x) ∈ f[A] ⇔ x ∈ f -1[ f[A] ]
주의. f(x) ∈ f[A] 라고 해서, x ∈ A 라곤 할 수 없다.
등호가 성립하려면, f 가 injective 여야 하는데, 이에 대해서는 나중에 다시 살펴보기로 한다.
images of preimages
Let f : X → Y be a function. For B ⊂ Y
f[ f -1[B] ] ⊂ B
증명.
y ∈ f[ f -1[B] ] ⇔ ∃x ∈ f -1[B] such that y = f(x)
⇒ f(x) ∈ B such that y = f(x)
⇔ y = f(x) ∈ B
등호가 되려면, B 가 f[X] 의 부분집합이어야 한다.
따라서, 임의의 B ⊂ Y 에 대해서 등호가 성립하려면, f 가 surjective 여야 하는데, 이에 대해서는 다음에 살펴보기로 한다.
