[관계] 이항관계(Binary Relation), 역관계(Inverse Relation), 동치관계(Equivalence Relation)

Binary Relations
A에서 B로의 관계 R (A relation R  from A to B) 은 A X B 의 부분집합이다.   즉, R ⊂ A X B
관습적으로, (a,b) ∈ R  을 a R b  와 같이 쓰고, " a is R-related to b " 따위로 읽는다.

또한, (a,b) 가 R  에 포함되지 않을때, R  에 사선을 그어서 표기한다. 참고로 ∈ 도 릴에이션이다.

예.
A 와 B 를 모두 실수집합이라고 하면, 실수에서의 등호관계 = 는 유클리디안 평면  R²  의 부분집합이다. 즉,  = ⊂ R²  
= 는 R²  상에서 1사분면과 3사분면을 45도 기울기로 지나는 직선이다. 어떠한 (a,b) 가 그 직선상에 속해있을때,
즉, (a,b) ∈ =   일때,  이것을 a = b 로 쓴다.


R 은 또한 매핑으로, 집합 R 의 첫번째 성분들의 집합을 이 관계의 도메인이라고 하고, 두번째 성분들의 집합이 이 관계의 이미지라고 한다.
( 함수를 이미 알고있다고 할때, 매핑 R 은 함수일 필요는 없다.)

특히, A와 B가 같은 경우, relation in A 라고 하고, 거기에 Domain(R) 이 A 와 같기까지하면 relation on A 라고 한다.

Inverse Relations
AXB 의 부분집합, 관계 R  에 대해, 그것의 역관계 R ^-1  는 B X A 의 부분집합으로서 다음과 같이 정의된다.

R ^-1  =  {  ( b , a )  |  ( a , b ) ∈  R  }

Equivalence Relations
 R  을 relation in X 라고 할때, 다음의 3가지 조건을 모두 만족하면, equivalence relation 이라고 부르고, 종종 ~ 나 E 따위로 나타낸다.

1. Reflective   :    x R x   ∀x ∈ X
2. Symmetric  :    x R y   ⇒  y R x  
3. Transitive   :   x R y ∧ y R z  ⇒  x R z  

이것은 실수체계의 등호 = 를 모델로 컨스트럭트 된것이다. 따라서, 당연히, 등호 = 는 equivalence relation 이다. 체크해보면,  reflective , symmetric , transitive 모두를 만족함을 알 수 있다. 참고로, 정수론의 congruence relation ≡  도 equivalence relation 이다.