카디널리티(Cardinality)
Math2008. 12. 5. 17:46 |카디널리티(Cardinality)
집합에서, 원소의 개수라는 개념을 무한까지 확장할 수 있도록, 카디널리티(카디널 넘버)를 도입한다.
이것은 "개수를 센다 (counting) " 라는 것을 1대1 대응으로 이해한 것으로, 유한집합에 대해서는, 그 집합의 원소의 개수가 되고, 무한집합에 대해서는 1대1 대응이 존재하는 다른 집합들과 같은 카디널리티를 갖는다고 정의함으로서, 무한집합 사이의 '일종의 크기' 를 비교하는 척도를 제공한다.
집합 A 가 주어졌을때, 그것의 카디널리티를 |A| 로 표기하도록 한다.
equality of cardinality
두 집합 A 와 B 사이에 바이젝션이 존재할때, 두 집합의 카디널리티가 같다고 정의하고 |A| = |B| 로 표기한다.
가령, 모든 denumerable set 들은 모두 N 과 동일한 카디널리티, 즉 |N| 을 갖는다.
유한기수(finite cardinal numbers) 와 초한기수(transfinite cardinal numbers)
유한집합의 카디널 넘버를 finite cardinal number로, 무한집합의 카디널 넘버를 transfinite cardinal number 로 부르기로 한다.
그러면, finite cardinal numbers 는 정확히 논네거티브 인티저와 일치한다. 즉, 공집합은 0 , 원소가 1개인 집합은 1 , ...
자연수 집합은 무한집합이다. 즉, 이것은 transfinite cardinal number를 갖는다.
자연수집합의 카디널리티 |N|을 히브리문자 알레프를 사용하여, א0א로 쓰기로 한다. 알레프-넛(aleph-naught) , 알레프-널(aleph-null) , 알레프-제로(aleph-zero) 따위로 읽는다.
쉽게말해, 자연수집합의 원소의 개수정도를 나타내는 무한이라고 하겠다. 나중에 보게되겠지만, 실수의 원소수를 나타내는 무한은 이것보다 크다.
아무튼, 알레프 널은 무한이므로, 어떠한 자연수보다도 큰 수이다. 즉, 모든 finite cardinality 보다 크다.
이렇듯, 카디널리티는 기존의 자연수체계 위에 그보다 더 큰 수들 ( 그것도 무한대를 나타내는 더 큰 수들) 을 더 얹은것으로 생각할 수 있다.
모든 자연수는 알레프널 보다 작다고 했는데, 이렇듯 무한대를 나타내는 수들과의 대소비교를 위해 다음의 정의를 도입한다.
여기서 equipotent 라는 것은, bijection 이 있다는 뜻이다.
즉, A가 B의 어떤 부분집합에 대해서 일대일대응이 존재를 하는데, B 자체하고는 죽어도 1-1 대응이 존재하지 않을때, |A| < |B| 라고 정의한다.
또한, |A| > |B| 가 아닐때, |A| ≤ |B| 로 쓰기로 한다.
그리고, |A| ≤ |B| 는 A 에서 B 로의 injection 이 존재한다는 말과 동치이다.
가장 작은 transfinite cardinal number
모든 infinite set 은 그것의 부분집합으로 denumerable set (= 카디널리티 알레프널) 을 갖으므로, 그 부분집합의 카디널리티는 그것의 수퍼셋보다 크지않다. 따라서, 모든 인피닛 셋의 카디널리티는 알레프널 이상이다.
그러므로, א0א은 가장작은 transfinite cardinal number 이다.
집합에서, 원소의 개수라는 개념을 무한까지 확장할 수 있도록, 카디널리티(카디널 넘버)를 도입한다.
이것은 "개수를 센다 (counting) " 라는 것을 1대1 대응으로 이해한 것으로, 유한집합에 대해서는, 그 집합의 원소의 개수가 되고, 무한집합에 대해서는 1대1 대응이 존재하는 다른 집합들과 같은 카디널리티를 갖는다고 정의함으로서, 무한집합 사이의 '일종의 크기' 를 비교하는 척도를 제공한다.
집합 A 가 주어졌을때, 그것의 카디널리티를 |A| 로 표기하도록 한다.
equality of cardinality
두 집합 A 와 B 사이에 바이젝션이 존재할때, 두 집합의 카디널리티가 같다고 정의하고 |A| = |B| 로 표기한다.
가령, 모든 denumerable set 들은 모두 N 과 동일한 카디널리티, 즉 |N| 을 갖는다.
유한기수(finite cardinal numbers) 와 초한기수(transfinite cardinal numbers)
유한집합의 카디널 넘버를 finite cardinal number로, 무한집합의 카디널 넘버를 transfinite cardinal number 로 부르기로 한다.
그러면, finite cardinal numbers 는 정확히 논네거티브 인티저와 일치한다. 즉, 공집합은 0 , 원소가 1개인 집합은 1 , ...
자연수 집합은 무한집합이다. 즉, 이것은 transfinite cardinal number를 갖는다.
자연수집합의 카디널리티 |N|을 히브리문자 알레프를 사용하여, א0א로 쓰기로 한다. 알레프-넛(aleph-naught) , 알레프-널(aleph-null) , 알레프-제로(aleph-zero) 따위로 읽는다.
쉽게말해, 자연수집합의 원소의 개수정도를 나타내는 무한이라고 하겠다. 나중에 보게되겠지만, 실수의 원소수를 나타내는 무한은 이것보다 크다.
아무튼, 알레프 널은 무한이므로, 어떠한 자연수보다도 큰 수이다. 즉, 모든 finite cardinality 보다 크다.
이렇듯, 카디널리티는 기존의 자연수체계 위에 그보다 더 큰 수들 ( 그것도 무한대를 나타내는 더 큰 수들) 을 더 얹은것으로 생각할 수 있다.
모든 자연수는 알레프널 보다 작다고 했는데, 이렇듯 무한대를 나타내는 수들과의 대소비교를 위해 다음의 정의를 도입한다.
| For any two sets A and B, |A| < |B| if A is equipotent to a subset of B , but B is not equipotent to any subset of A. |
여기서 equipotent 라는 것은, bijection 이 있다는 뜻이다.
즉, A가 B의 어떤 부분집합에 대해서 일대일대응이 존재를 하는데, B 자체하고는 죽어도 1-1 대응이 존재하지 않을때, |A| < |B| 라고 정의한다.
또한, |A| > |B| 가 아닐때, |A| ≤ |B| 로 쓰기로 한다.
그리고, |A| ≤ |B| 는 A 에서 B 로의 injection 이 존재한다는 말과 동치이다.
가장 작은 transfinite cardinal number
모든 infinite set 은 그것의 부분집합으로 denumerable set (= 카디널리티 알레프널) 을 갖으므로, 그 부분집합의 카디널리티는 그것의 수퍼셋보다 크지않다. 따라서, 모든 인피닛 셋의 카디널리티는 알레프널 이상이다.
그러므로, א0א은 가장작은 transfinite cardinal number 이다.