[중학수학] 삼차함수 그래프 : 변곡점에 대해 대칭

삼차함수 그릴때 너무 멋대로 그리곤 했는데, 그러면 안되겠다. 가령

이따위로 그린다거나.... 하면 안되는거다. 별 신경안쓰고 저따위로 많이 그렸었는데... 아무튼, 변곡점에 대해서 대칭이라는 사실.


3차 함수 일반식을   f(x) = a x^3  + b x^2 + c x + d    라고 놓으면, 
변곡점에 대해 대칭이라는 게 그닥 당연스러워 보이지는 않는다.


증명을 위해, 일단 변곡점의 좌표를 ( p , f(p) ) 라고 놓자. 그러면 변곡점에선 두번미분하면 0 이니까...
f''(x) = 6 a x + 2 b  는 x = p 에서 0 이어야 할테고, 따라서...  


3 a p + b = 0  이다.


이제 3차함수의 그래프 y = a x^3  + b x^2 + c x + d 를 변곡점이 원점으로 오도록 , x축 방향으로 -p 만큼, y 축 방향으로 - f(p) 만큼 평행이동 해보자. 그러면...

y + f(p) = a ( x + p )^3 + b ( x + p )^2 + c ( x + p ) + d



전개하면...

y = a x^3 + ( 3 a p + b ) x^2 + ( 3 a p^2 + 2 b p + c ) x + a p^3 + b p^2 + c p + d - f(p)



그런데, f(p) = a p^3 + b p^2 + c p + d 이므로...

y = a x^3 + ( 3 a p + b ) x^2 + ( 3 a p^2 + 2 b p + c ) x    가 되고,



게다가, 3 a p + b = 0  였으므로,

y = a x^3 + ( 3 a p^2 + 2 b p + c ) x       이 된다. 보다시피 원점대칭이 된다.



따라서 본래의 3차함수 그래프는  변곡점에 대해 대칭이다.