[관계] 동치류 ( Equivalence Classes ) 와 쿼션트 셑 ( Quotient Sets ) , 예: 잉여류 ( residue classes )

equivalence classes
equivalence class 란 동치관계에 있는 원소들의 집합을 말한다.

~ 가 equivalence relation on X 일때,  equivalence class of a ∈ X  는  { x ∈ X | x ~ a }  로 정의된다.
보통 [a]_~ 또는  a/~ 따위로 표기한다.   [a]_~ 의 경우, 암묵적으로 ~가 고정된 경우, 즉 생략해도 될때는 그냥 [a] 로도 나타낸다.

예. residue classes
congruence relation 이 equivalence relation 이므로, 이것으로 equivalence class 와 quotient set 을 만들수 있다.
congruence relation ≡ 에 의한 동치류(equivalence class) 를 잉여류(residue class) 라고 한다.

예. Z 위에서의 관계 ≡ (mod 3)   ,  간단히 ≡₃  이라고 쓰자.
그러면, 1/ ≡₃  =  4/ ≡₃   = { ... , -5, -2, 1, 4, 7, 10, ... }  와 같이 된다.

보통, a ∈ Z  에 대해,    a/ ≡_n  을  Z_a 로 쓰고, residue class of a modulo n 이라고 한다.


quotient sets
quotient set 은, equivalence class 들의 집합이다.
X 위에서의 이퀴벌런스 릴레이션 ~ 과 그에 의한 이퀴벌런스 클래스들이 정의된 상황에서, 그러한 이퀴벌런스 클래스들의 집합을 quotient set of X by ~ 라고 하고, 보통 X / ~ 로 나타낸다. 또는 X modulo ~ ( X mod ~ ) 따위로 부르기도 한다.

예.
가령 Z 위에서 congruence relation modulo n  ≡_n  에 의한 quotient set 은 다음과 같다.

Z /≡_n    =   {   Z₀ , Z₁ , ... ,  Z _n-1 }

참고로,  Z /≡_n  은 Z 의 파티션이기도 하다.