대우법칙과 귀류법의 차이

앞서 추론규칙(inferrence rules) 편에서, 대우법칙과 귀류법을 알아보았다. 가끔 보면, 귀류법과 대우법칙을 헷갈려들하는데, 여기서 그 차이를 짚고 넘어가도록 한다.

일단 두가지 법칙의 정의부터 살펴보자.
Contrapositive Law (Contrap.)                                  Reductio ad Absurdum (R.A.)
p → q    ≡    ￢q → ￢p                                                           ￢p → F  ≡ p       

우선, 대우법칙의 경우 합성명제, 즉 컨디셔널에 대한 이야기이다.  이는 직접적으로 해당 컨디셔널 p→q 자체를 증명하는데, 그것의 대우가 참임을 보이는것이 그와 동치라는 것이다. 반면, 귀류법은 명제에 대한 제약이 없다.

귀류법으로 컨디셔널을 증명하는 것은, 귀류법 정의식의 p자리에 컨디셔널 p→q 만 넣어주면 된다.
즉, ￢(p→q) → F  ≡    p→q   이 되고, 좌변은   ￢(p→q) → F  ≡   ￢(￢p∨q) → F   ≡   (p∧￢q) → F  이 되므로, 컨디셔널에 대한 귀류법은 다음과 같다.

(p∧￢q) → F  ≡   p→q            :  컨디셔널에 대한 귀류법

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대우법칙이 비록 컨디셔널에 대한 법칙이지만, 추가적으로 가정명제가 참임이 보장되면, 결론명제를 증명하는데 사용할 수 있다.
이것은  Modus Ponens  :  (p→q) ∧ p ⇒ q   의 컨디셔널 부분을 대우명제로 증명하여, q를 이끌어내는 것이다.

결과적으로, 그것은 다음과 같이 Modus Tollens 가 된다.
(￢q →￢p) ∧ p   ⇒   q

종종, 마치 ￢p 와  p 가 모순되는어 귀류법으로 증명한것처럼 오해할 수 있는데, ￢q →￢p 이 참이라고 했지, ￢p 가 참이라고 한적이 없으므로 이는 귀류법이 아니다.