[열/통계물리] 기체상수 R에대한 디멘셔널 어낼러시스

열역학 하면서 기체상수 R을 모르고 무슨 얘기를 할수있을까. 기체상수 R , 볼츠만상수 k , 플랑스상수 h 이 세 상수사이의 관계만 얘기해도 제법 많은 이야기를 할 수 있다. 가벼운 얘기부터 해보자.

기체상수는 외우고 있는가. 사실 꼭 외워야 한다기 보다는 열역학하다보면 너무 자주 나와서 자동으로 외워지는 상수라고 할수 있다. 근데, 보통 비슷한 문제들을 겪어봤으리라 예상이 된다. 그렇다. 매번 문제마다 다른 단위를 주는 것이다. 역시, 우리는 단위변환에 능숙해져야 할 필요가 있다.

기본적으로, R 의 차원에 대해 생각해보자. 기체상수가 들어있는 식 중에서 가장 간단한 식은 이상기체상태식일 것이다. PV = nRT 여기서 우리는 이 식의 디멘션에 관심을 가질필요가 있다. PV .... 무슨 텀인가... 그렇다 에너지 텀이다 P = F / A  이고 A = L^2 , V = L^3 이므로 PV = FL = E  즉, 에너지 텀이다.

우변을 보면, n의 단위는 mol 이고, T 는 K (또는 ℃ ) 이므로 R 의 단위는 J / ( K mol ) 정도 되겠다. 그렇다. 열용량(Heat Capacity) 가 J / K 이니까.... R의 차원은 몰라열용량(Molar Heat Capacity) 인것이다. !! 다시말해, R의 차원은 이상기체 1몰을 1도 올리는데 드는 열량으로서 이상기체에 대한 Molar Heat Capacity 인 것이다 !  ( 참고: 단원자 모형의 이상기체에 대한, 정적 몰라 열용량 = 3/2 R )

물론 PV 자체가 에너지 텀이므로, ( atm L ) / ( K mol ) 이라든가 그밖에 다른 압력단위와 부피단위의 곱으로 분자를 쓸수도 있겠다. 사실 간단하게 R 이 대략 8.31 J / Kmol 이라는 것을 외우고 있어도 단위 변환만 능숙하다면 실제 문제푸는데는 어려움이 없다. 다른 단위들에 대해 정의나 개념정도만 정확하게 알고있다면 말이다.

가령, 부피단위 L 는 뭔가? 그렇다, 가로세로높이가 10cm 인 정육면체의 부피이다. 따라서 1 L = ( 10cm )³ = ( 10^ -1 m )³ = 10^ -3 m³ 가 된다. 다음 atm 은 뭔가. 그렇다 atmosphere 이다. 대기압스케일이다. 그러니 보통은 1 atm 이 되겠다. 초등학교때의 기억을 되살려 보면, 1 기압은 1013 hPa 이었다. 이런건 좀 기억해두는게 좋다. 헥토파스칼을 보고 100 Pa 이라고 외우고 있다면, 지금 당장 접시물에 코박고, 접두사부터 외우자. Pa 은 SI 단위다. 즉, N / m² 는 모를리 없을거다. 따라서, 단위변환에 어려움이 없으리라고 본다.

그런데, 사실 우리는 중학교때 이미 기체상수를 유도하는 법을 배웠다. 아보가드로의 가설이라고 해서 분명 배웠다. 아보가드로는 "모든 이상기체 1mol 은 STP 조건하에서 22.4 L 의 부피를 갖을 것 " 이라고 가설을 세웠다. 맞게 쓴건지 모르겠다. 가물가물... 적어도 22.4 L 는 기억이 난다. 저 말로 부터 기체상수를 유도해보자. 중학교 교과서에 나오는 이야기라는것이 새삼 놀랍다.

우선 STP가 걸린다. 스탠다드 템퍼러쳐 앤 프레셔 다. 표준온도압력조건...0℃ , 1기압 을 말한다. 암튼 이상기체니까 PV = nRT 에 넣어보자. R = PV / nT =  ( 1atm ) ( 22.4 L ) / (1 mol * 273 K ) 계산하면... R  = 0.082 atm L / K mol  그렇다. 저 외우기 복잡해 보이는 수치는 단지 22.4 나누기 273 이었던 것이다. ( 사실 복잡해 보이는건 단지 소수점 때문이다. )

아무튼, 이로써 분자(numerator)가 atm L 단위인 R 은 간단히 해결되었다. 이제, 1 atm = 1013 hPa , 1 L = 10^-3 m³ 을 대입하면... (수치적으로는 곱하기 101.3 만 하면 되겠다) R = 8.31 J / K mol  이 된다. 참고로 다른 단위로의 전환도 단위의 정의만 알면 문제될게 없다.

가령 mmHg 는 수은기둥의 높이이다. (Hg 가 수은) 1기압일때 수은기둥이 76cm 올라가니까 760 mmHg 이 1기압. Torr (토르) 는 수은기둥 세워서 높이잰애가 이름이 토리첼리였다는 거니까... 결국 mmHg 랑 같은 단위이다. bar 는 대략 atm 하고 비슷한 단위인데, SI 유닛으로 대충 atm 맞춘거니까 101300 Pa -> 대략 10^5 Pa = 1 Bar
psi 는 pound per square inch 니까 역시 문제없다.