일반화된 평균값 정리(Generalized Mean Value Theorem)의 직관적 이해

스무드하고 연속인 곡선에 대한 직관적인 이해는, 다음의 정리들을, 적어도 직관적으로는, 상당히 straightforward 하게 느껴지게 만든다.

중간값 정리 (Intermediate Value Theorem): 부드럽고 연속인 곡선이 중간에 수평선을 자르고 지나지 않을 수 없음

Rolle의 정리 (Rolle's Theorem) & 평균값 정리 (Mean Value Theorem): 부드럽고 연속인 곡선은 중간에 평균기울기와 같은 기울기를 갖을 수 밖에 없음. 그려보면 당연하게 느껴진다.

물론, 당연하게 느껴지는 것들을 엄밀하게 증명하는 것은 수학의 중요한 일 중에 하나이다.

그리고, 간단한 (하지만 엄밀한) 증명을 통해, 위와같은 우리의 직관이 틀리지 않았음을 쉽게 확인할 수 있다. (텍스트북 참고)

그런데, 일반화된 평균값 정리 (Generalized Mean Value Theorem, Cauchy's Extended Mean Value Theorem 코시의 확장된 평균값 정리) 에 대해서는, 많은 텍스트북들이 직관적인 부분을 생략하곤 한다.

정리의 내용은, 간단히 말해, 다음과 같은 c 가 a 와 b 사이에 존재한다는 거다.

물론, 분모가 0 인 경우는 그냥 빼고, g 와 f 는 정하기 나름이므로, 바꿔써도 어차피 상관은 없다. f 를 identity function 으로 하고, g 대신 f 로 쓰면, mean value theorem 이 되므로, 확장된거 같긴 한데, mean value theorem 처럼 직관적으로 당연해 보이느냐고 물으면, 머뭇거리는 경우가 꽤 있다.

mean value theorem 은 y = f(x) 를 염두에 두면 상당히 직관적인데, 이번엔 다음과 같은 매개변수 그래프에 같은 직관을 적용해보자.

         

마찬가지로, 부드럽고 연속인 곡선에 대한 우리의 느낌은 다음과 같이 직선을 긋는것에 대해서도 당연하게 느껴지게 한다.

따라서, 다음과 같은 정리를 추측해 볼 수 있다.

매개변수 곡선에서 dy/dx 는 다음과 같으므로...

따라서, 우리는 원하던 추측을 얻는다. (평균값 정리에서와 마찬가지로, 증명은 보통 텍스트북에 나온다)

위와 같은 매개변수 곡선에서, f 와 g 에는 어떠한 차별도 없으므로, 굳이 f 가 분모로 가서 0이면 안되는 희생을 할 필요도 없고, g 도 마찬가지다. 

0이되면 안되는 상황을 제외시키는게 찝찝하면, 다음과 같이 써보자.

이렇게 적으면, 앞에서 제외시켰던 '분모가 0 이 되던 상황'은 f(b)=f(a) 인 경우라고 생각할 수 있고, 분자가 0이 아닌 경우, 매개변수 그래프에서 f(a)와 f(b)가 수직으로 놓인 경우가 된다.

매개변수 곡선에서는 괜찮지만, xy평면에서 y=f(x) 를 다룰땐, 기울기가 무한대가 되는 상황이다. 암튼, 분수꼴로 적지않은 식에서는 f '(c)=0 이 되게 만드는데, 이는 t가 변하는데도, x가 변하지 않는 상황으로 우리의 직관과 일치한다.

이처럼 우리는 엄밀한증명(from 텍스트북)과 함께 직관적인 느낌도 함께 가져가는 것이 좋다.