[구면기하] #003. 극삼각형 보각정리 ( polar triangular supplement theorem )
Math/Geometry2011. 2. 10. 11:17 |폴라 트라이앵글은 1부에서 도입을 했는데, 여기서 좀 더 자세히 살펴보도록 하겠다.
폴라 트라이앵글의 듀얼리티
극삼각형 보각정리
삼각형 ABC 가 있다고 할때, 다음과 같이 A'B'C' 을 결정하면 그것을 ABC의 극삼각형 이라고 부른다.
변AB 의 pole 중에서 C와 같은 반구에 있는 점 -> C'
변BC 의 pole 중에서 A와 같은 반구에 있는 점 -> A'
변CA 의 pole 중에서 B와 같은 반구에 있는 점 -> B'
이때, AA' , BB' , CC' 는 모두 90도 보다 작다.
가령, AA' 를 보면, A 는 BC 위에 있지 않고, A' 과 같은 반구에 있는데,
A' 이 pole 인 반구내에 A 가 있기 때문에 A' 으로부터의 거리가 90도보다 작게 된다.
폴라 트라이앵글의 듀얼리티
두 삼각형 ABC 와 A'B'C' 은 서로의 폴라 트라이앵글이다.
증명의 스케치는 다음과 같다.
1. A 가 B'C' 의 pole 이고
2. B'C'의 pole 중에 A 가 A' 과 가까운 pole 임
나머지에 대해서도 같은 논리가 적용되므로 이것으로 충분하다.
1)
B' 은 AC 의 pole 이므로, B'A 는 90 도 이다.
C' 는 AB 의 pole 이므로, C'A 는 90 도 이다.
B'A 와 C'A 가 모두 90 도 이므로, A는 B'C' 의 pole 이다.
2) AA' 이 90도 보다 작으므로, A의 반대편쪽 폴과 A' 사이의 거리는 90도 보다 크다. 즉, A가 A' 과 같은쪽에 있는 폴이다.
달리말하면, ABC 각 꼭지점을 극점으로 하는 대원들에 의한 삼각형중에 ABC의 폴라 삼각형이 있다고 할 수 있다.
보각(supplement)
보(supplement) 라고 하면, 합쳐서 어떠한 값이 되는 녀석들을 일컫는 경우가 많은데,
평면도형에서 보각이라고 하면, 합쳐서 평각이 되는 각을 말하고, 또, 수론에서 보수라고 하면, 합쳐서 어떤 정해진 값이 되는 수를 말한다.
여기서도 보각을 합쳐서 180도가 되는 각으로 정하기로 하자.
극삼각형 보각정리
ABC 와 A'B'C' 을 서로 극삼각형이라고 하면, A + B'C' = 180 도 이다.
증명)
역시, 간단한 스케치만 하도록 하자.
ABC 의 극삼각형을 A'B'C' 이라고 할때,
AB가 포함된 대원, AC가 포함된 대원이 B'C' 가 포함된 대원과 만나는 점을 각각 PQ 라고 하면
PQ는 B'C' 가 포함된 대원위의 호이고, 그것의 극점은 A 이므로...
A = PQ 가 된다.
또한, B' 은 AQ의 극점이므로, B'Q = 90도
C' 은 AP의 극점이므로, C'P = 90도 가 된다.
그러므로, B'Q + C'P = 180 도
= B'Q + C'Q + PQ = B'C' + PQ = B'C' + A 이 되어, 증명은 충분하다.
위의 정리를 이용하면, 구면삼각형의 내각의 합이 180도 보다 큼을 간단히 보일수 있다.
A + B'C' = 180
B + C'A' = 180
C + A'B' = 180
∴ B'C' + C'A' + A'B' = 540 - ( A + B + C )
그런데, 구면삼각형의 세변의 합은 360보다 작다는 것은 이미 알고 있다. ( 360도가 되면, 대원이 되어버린다. -_-)
∴ 0 < B'C' + C'A' + A'B' < 360
∴ 0 < 540 - ( A + B + C ) < 360
∴ -540 < - (A + B + C ) < - 180
∴ 180 < A + B + C < 540
4부에서는 구면삼각형에 대한 삼각함수 법칙들을 살펴보도록 하겠다.