[구면기하] #001. 구면삼각형 (spherical triangle) 과 극삼각형(polar triangle)
Math/Geometry2011. 1. 17. 00:57 |
great circle (대원) 과 small circle (소원)
구면은 한 점으로 부터 거리가 같은 모든 점들의 집합이다. 중심으로 부터 구면까지의 직선거리를 반지름(radius) 라고 부른다.
중심을 지나는 직선과 구면이 만나는 두점사이의 거리를 지름(diameter)이라고 부른다.
평면과 구가 만나서 생기는 원에 대하여, 평면이 구의 중심을 지날때 생기는 원을 그레이트 써클 (great circle, 대원) 이라고 부르고,
그렇지 않은 경우에 대해서 스몰 써클 ( small circle, 소원 ) 이라고 부르기로 한다.
보는 바와 같이, 그레이트 써클의 반지름은, 구의 반지름과 같고, 스몰서클의 반지름은 구의 반지름보다 작다.
지구를 구라고 하면, 적도나 경도선들은 그레이트서클을 이루고, 적도를 제외한 위도 선들은 스몰 서클을 이룬다.
따라서, 동이나 서쪽에 있는 지점으로 이동할때, 위도선을 따라, 정동, 정서 방향으로 이동하는 것은 최단거리로 가는 방법이 아니다.
가령, 정동진이 광화문기준으로 정 동쪽에 있다고 치자. 그럴때, 광화문에서 정동진으로 가는 최단경로는 정확히 동쪽으로 쭈욱 가는것이 아니라,
가면서, 약간 북쪽으로 올라갔다가 내려오는 경로를 택하는 것이 최던경로가 된다는 뜻이다.
pole (극)
그레이트 서클에 수직인 중심을 지나는 직선이 구면과 만나는 점을 그 그레이트 서클의 pole 이라고 부른다.
그레이트 서클이 주어지면, 폴 두개가 정해진다. 반대로 어느점이든 그점을 폴로 잡으면, 그 순간 반대편 건너에 또다른 폴이 정해지고, 대응되는 그레이트 서클도 정해진다.
지구를 구로 볼때, 남북극(south & north pole)에 대응되는 great circle 은 적도 ( equator ) 이다.
spherical distance ( 구면거리 )
구면상의 두점을 잇는 거리는, 구면상의 최단거리로, 두점을 지나는 그레이트서클의 호 중에 짧은 쪽이다.
( 길지않은쪽이라고 말해야 더 맞지만, 문맥상 뜻이 통하면 그냥 느낌이 더 오는 표현을 쓰도록 하겠다. )
구면거리는 평면에서의 선분에 대응된다.
반지름이 고정되면, 구면상의 거리는 각도로 측정된다. 간단히 반지름을 1 로 놓으면, 거리의 단위가 각도의 단위가 된다.
예를들어, 어떤 점 P 를 pole 이라고 할때, 그 폴에서 대응되는 great circle 상의 임의의 점 A 까지의 거리는 90 도 ( π/2 rad ) 이다.
spherical angle ( 구면각 ) 과 dihedral angle ( 이면각 )
구면각은 그 점에서의 접선사이의 각을 말한다.
이것은 두 대원 사이의 이면각과 같다. 즉, 두 대원면이 만드는 각.
구면삼각형 (spherical triangle )
평면삼각형의 각 변이 선분으로 이루어진것과 유사하게, 구면삼각형의 각 변은 그레이트 서클의 호로 이루어진다.
항상, 염두에 두어야 할 것은, 세 변 a , b , c 이 비록 변이라고 부르고 있지만, 모두 그레이트 서클의 중심각이라는 것이다.
삼각부등식 (triangle inequality)
구면 삼각형에 대해서도 삼각부등식은 성립한다. 즉, 두변의 길이의 합은 나머지 한변도다 항상 크다. 왜냐면, 구면의 변도, 두점사이의 최단거리이기 때문이다.
세변의 합
구면삼각형의 세변의 합은 360도 보다 작다. 세변의 합이 360도를 만들어보면, 그 삼각형은 그레이트 써클이 되어버린다.
극삼각형 (polar triangle)
주어진 구면삼각형 ABC 에 대하여, 각 대변을 a , b , c 라고 할때,
a 가 속한 그레이트 서클의 두 극점 중 A 쪽 반구에 있는 극점을 A ' , 마찬가지로, b 에 대해서 B' , c에 대해서 C' 을 정하면, A'B'C' 을 ABC 의 극삼각형 (polar triangle) 이라고 한다.