르장드르 변환 ( Legendre Transformation ) , 해밀토니안 , 헬름홀츠/깁스 프리에너지
Physics/Math./Mech./Gen. Relativity2010. 12. 1. 01:17 |
1. 정의
르장드르 변환은 변수를 바꾸는 변환인데, '어떻게 변환하는지' 는 이제부터 설명하도록 하겠다.
어떠한 함수 f 가 n 개의 변수를 갖는 다변수함수 라고 하자.
편의상 바꾸기를 희망하는 m 개의 변수를 x1 , x2 , ... , xm 로 놓고, 변환하지 않는 나머지 n-m 개의 변수들을 y1 , y2 , ... , yn-m 라고 놓자.
더 간단히, x = ( x1 , x2 , ... , xm ) , y = ( y1 , y2 , ... , yn-m ) 라고 놓으면, f = f ( x1 , x2 , ... , xm , y1 , y2 , ... , yn-m ) = f ( x, y ) 라고 쓸 수 있다. ( x , y 는 여기서 편의상 이렇게 부르자는 것이지, 실제 변수명이 x, y 일때, x는 변환하고 y는 그대로 두고 한다는 말은 아니다.-_-; )
또한, "변환할 변수 공간" 에서의 del 을 ∇x = ∂/∂x = ( ∂/∂x1 , ∂/∂x2 , ... , ∂/∂xm ) 으로 쓰기로 하자.
그러면, 변수 x 를 ∇x f (즉, ∂f /∂x ) 로 변환하는 르장드르 변환의 정의는 다음과 같다.
여기서 < , > 는 내적이다. 앞의 +, - 부호는 컨벤션이다. 어차피 변수가 변하는 것은 마찬가지다. 단지, 식의 부호가 바뀔 뿐이다. 아무거나 원하는 것을 써도 좋다.
일단 여기서는 간단히 + 컨벤션을 택하도록 하자. ( 필요하면 언제든지 - 컨벤션도 사용하겠다.)
참고로, 아래와 같은 벡터 노테이션도 많이 쓰인다.
위의 르장드르 변환에 의해, 변수 x = ( x1 , x2 , ... , xm ) 가 ∇x f = ∂ f/∂x = ( ∂ f/∂x1 , ∂ f/∂x2 , ... , ∂ f/∂xm ) 로 바뀌게 되는데,
변환된 새로운 변수를 편의상 u = ∇x f = ∂ f/∂x = ( ∂ f/∂x1 , ∂ f/∂x2 , ... , ∂ f/∂xm ) 라고 놓으면,
( 즉, u1 = ∂ f/∂x1 , ... , um = ∂ f/∂xm 라고 놓은 것이다. )
르장드르 변환은 서메이션 컨벤션과 함께, 다음과 같이 간단히 표현된다.
( 주의, 서메이션 컨벤션이 쓰임. )
위에 나열한 세가지 표현은 모두 동일한 것이다. ( 참고로, 세번째 노테이션 이 가장 선호된다. )
2. 변수와 함수의 변환 과정
함수의 르장드르 변환에 의해 변수의 변환이 이루어지는 과정을 살펴보자.
처음에 f 는 n 개의 변수를 갖는 다변수 함수였고, 이중에 선택된 m 개를 우리가 편의상 x 로 나타내었고, 나머지는 y 로 나타내었다.
르장드르 변환을 통해, f ( x , y ) 이 g ( u , y ) 로 변환된다.
여기서 g = x u - f 이고, u와 곱해져있는 x 뿐 아니라, f 안에 들어있는 x 는 모두 u 의 함수로 써진다. ( = 좌표변환식 )
3. 르장드르 컨주게이트 와 역변환
르장드르 변환의 중요한 성질 중 하나는, 역변환이 자기 자신이라는 것이다.
즉, f 를 르장드르 변환해서 g 가 되었는데, 르장드르 변환을 한번 더하면, 다시 f 가 된다.
따라서, 르장드르 변환을 L 이라고 하면, L ( L( f ) ) = f 가 된다. 이는 L2 = I , L -1 = L 따위로 쓸 수 있다. ( I 는 identity 변환 )
증명을 하기전에 다음의 사실을 관찰하자.
즉, ∂ g / ∂ u 가 다시 x 가 되는 것만 보이면, 역변환이 르장드르 변환 그 자신이 된다는 것은 자명하다.
증명은 간단하다.
이것으로, 르장드르 변환의 중요한 성질 " 르장드르 변환의 역변환은 자기 자신이다 " 가 증명되었고, 이 때, 가장 중요한 역할을 한 것은 바로, 위의 파란별표친 박스이다.
파란별표친 박스는, 변환된 변수에서 본래의 변수로 돌아가는 방법을 말해주고 있으며, 그것이 원래의 변수변환과 같은 형태임을 보여준다.
이러한 변환의 대칭성은 다음과 같이 나타낼수 있으며, 서로를 르장드르 컨주게이트 라고 부른다.
간단히 말해서, 르장드르 변환에있어 변환 전후의 변수들을 서로 르장드르 컨주게이트 라고 부른다.
4. 듀얼리티
르장드르 컨주게이트 베리어블들은 f (또는 g ) 를 기준으로, 서로 리씨프로컬한 디멘션을 갖는다. 르장드르 변환식에서 보듯, f 와 g 는 같은 디멘션이고, x u 가 곱해져서, 그러한 디멘션이 된다. 이렇게, 르장드르 컨주게이트 변수들은 서로 완전하게 대응되는 쌍이면서, 동시에 서로 다른 공간에 살고있다고 할 수 있다.
또한, f 와 g 는 물론 같은 디멘션을 갖지만, 사는 공간이 각각 x,y 스페이스와 , u,y 스페이스로, 서로 다른 공간에 사는 함수가 된다.
5. 간단한 예제
변수가 몇개 안되는 간단한 수식으로, 르장드르 변환을 해보자.
ex1. 1변수
ex2. 2변수 중에 2변수 모두 변환
ex3. 2변수 중에 1변수만
이정도면 충분 한듯. 같은 식에서 y를 변환해도 된다. 직접해보길.
또, 삼변수, 사변수 일때도, 변환변수 임의로 잡은다음, 르장드르 변환을 하는 것도 어렵지 않게 해볼 수 있다.
6. 라그랑지안에서 해밀토니안으로
라그랑지안은 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 벨로시티들의 컨피규레이션 스페이스에 살고 있다.
여기서, 제너럴라이즈드 코디네이트는 그대로 두고, 제너럴라이즈드 벨로시티만 변환을 하도록 한다.
그럼 라그랑지안의 르장드르 변환 (w.r.t. 제너럴라이즈드 벨로시티) 는 다음과 같다.
특히, 변환된 변수가 제너럴라이즈드 모멘텀의 정의 이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
해밀토니안의 변수들은 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀이므로, 헤밀토니안으로 운동을 기술하면, 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀에 의해 기술됨을 알 수 있다.
결과적으로, 헤밀토니안은 컨피규레이션 페이즈 스페이스에 살게 된다. 여기서, 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀을 서로 캐노니칼 컨주게이트라고 부른다. 또한, 르장드르 변환의 성질들을 그대로 가져오면... 제너럴라이즈드 벨로시티와 제너럴라이즈드 모멘텀은 서로 르장드르 컨주게이트이다.
간단히 도식화 하면 다음과 같다.
H 가 L 의 르장드르 변환인 관계로, 라그랑지 운동방정식도 모두 변환되어, 해밀턴's equations 이 된다.
7. 내부에너지/엔탈피 에서 헬름홀츠/깁스 프리에너지로
내부에너지와 엔탈피의 변화는 각각 dU = T dS - p dV , dH = T dS + V dp 로, U = U ( S , V ) , H = H ( S , p ) 이다.
그런데 실제적으로, 엔트로피 S 는 컨트롤하는게 쉽지 않으므로, 르장드르 변환을 통해, S 를 다른 변수로 바꾼다.
참고로, 이때, 르장드르 변환의 - 사인 컨벤션을 쓴다.
이것이 헬름홀츠 프리에너지와 깁스 프리에너지의 정의이다.
각각 르장드르 변환을 통해, S 에서 ∂ U / ∂S = T 로, S 에서 ∂ H / ∂S = T 로 변수가 변환되었다.
진짜로, (S, V ) , ( S, p ) 에서 (T,V) 와 (T, p) 로 변수가 바뀌었는지를 확인하면서 글을 마무리 짓도록 하겠다.
르장드르 변환은 변수를 바꾸는 변환인데, '어떻게 변환하는지' 는 이제부터 설명하도록 하겠다.
어떠한 함수 f 가 n 개의 변수를 갖는 다변수함수 라고 하자.
편의상 바꾸기를 희망하는 m 개의 변수를 x1 , x2 , ... , xm 로 놓고, 변환하지 않는 나머지 n-m 개의 변수들을 y1 , y2 , ... , yn-m 라고 놓자.
더 간단히, x = ( x1 , x2 , ... , xm ) , y = ( y1 , y2 , ... , yn-m ) 라고 놓으면, f = f ( x1 , x2 , ... , xm , y1 , y2 , ... , yn-m ) = f ( x, y ) 라고 쓸 수 있다. ( x , y 는 여기서 편의상 이렇게 부르자는 것이지, 실제 변수명이 x, y 일때, x는 변환하고 y는 그대로 두고 한다는 말은 아니다.-_-; )
또한, "변환할 변수 공간" 에서의 del 을 ∇x = ∂/∂x = ( ∂/∂x1 , ∂/∂x2 , ... , ∂/∂xm ) 으로 쓰기로 하자.
그러면, 변수 x 를 ∇x f (즉, ∂f /∂x ) 로 변환하는 르장드르 변환의 정의는 다음과 같다.
여기서 < , > 는 내적이다. 앞의 +, - 부호는 컨벤션이다. 어차피 변수가 변하는 것은 마찬가지다. 단지, 식의 부호가 바뀔 뿐이다. 아무거나 원하는 것을 써도 좋다.
일단 여기서는 간단히 + 컨벤션을 택하도록 하자. ( 필요하면 언제든지 - 컨벤션도 사용하겠다.)
참고로, 아래와 같은 벡터 노테이션도 많이 쓰인다.
위의 르장드르 변환에 의해, 변수 x = ( x1 , x2 , ... , xm ) 가 ∇x f = ∂ f/∂x = ( ∂ f/∂x1 , ∂ f/∂x2 , ... , ∂ f/∂xm ) 로 바뀌게 되는데,
변환된 새로운 변수를 편의상 u = ∇x f = ∂ f/∂x = ( ∂ f/∂x1 , ∂ f/∂x2 , ... , ∂ f/∂xm ) 라고 놓으면,
( 즉, u1 = ∂ f/∂x1 , ... , um = ∂ f/∂xm 라고 놓은 것이다. )
르장드르 변환은 서메이션 컨벤션과 함께, 다음과 같이 간단히 표현된다.
위에 나열한 세가지 표현은 모두 동일한 것이다. ( 참고로, 세번째 노테이션 이 가장 선호된다. )
2. 변수와 함수의 변환 과정
함수의 르장드르 변환에 의해 변수의 변환이 이루어지는 과정을 살펴보자.
처음에 f 는 n 개의 변수를 갖는 다변수 함수였고, 이중에 선택된 m 개를 우리가 편의상 x 로 나타내었고, 나머지는 y 로 나타내었다.
르장드르 변환을 통해, f ( x , y ) 이 g ( u , y ) 로 변환된다.
여기서 g = x u - f 이고, u와 곱해져있는 x 뿐 아니라, f 안에 들어있는 x 는 모두 u 의 함수로 써진다. ( = 좌표변환식 )
3. 르장드르 컨주게이트 와 역변환
르장드르 변환의 중요한 성질 중 하나는, 역변환이 자기 자신이라는 것이다.
즉, f 를 르장드르 변환해서 g 가 되었는데, 르장드르 변환을 한번 더하면, 다시 f 가 된다.
따라서, 르장드르 변환을 L 이라고 하면, L ( L( f ) ) = f 가 된다. 이는 L2 = I , L -1 = L 따위로 쓸 수 있다. ( I 는 identity 변환 )
증명을 하기전에 다음의 사실을 관찰하자.
즉, ∂ g / ∂ u 가 다시 x 가 되는 것만 보이면, 역변환이 르장드르 변환 그 자신이 된다는 것은 자명하다.
증명은 간단하다.
이것으로, 르장드르 변환의 중요한 성질 " 르장드르 변환의 역변환은 자기 자신이다 " 가 증명되었고, 이 때, 가장 중요한 역할을 한 것은 바로, 위의 파란별표친 박스이다.
파란별표친 박스는, 변환된 변수에서 본래의 변수로 돌아가는 방법을 말해주고 있으며, 그것이 원래의 변수변환과 같은 형태임을 보여준다.
이러한 변환의 대칭성은 다음과 같이 나타낼수 있으며, 서로를 르장드르 컨주게이트 라고 부른다.
간단히 말해서, 르장드르 변환에있어 변환 전후의 변수들을 서로 르장드르 컨주게이트 라고 부른다.
4. 듀얼리티
르장드르 컨주게이트 베리어블들은 f (또는 g ) 를 기준으로, 서로 리씨프로컬한 디멘션을 갖는다. 르장드르 변환식에서 보듯, f 와 g 는 같은 디멘션이고, x u 가 곱해져서, 그러한 디멘션이 된다. 이렇게, 르장드르 컨주게이트 변수들은 서로 완전하게 대응되는 쌍이면서, 동시에 서로 다른 공간에 살고있다고 할 수 있다.
또한, f 와 g 는 물론 같은 디멘션을 갖지만, 사는 공간이 각각 x,y 스페이스와 , u,y 스페이스로, 서로 다른 공간에 사는 함수가 된다.
5. 간단한 예제
변수가 몇개 안되는 간단한 수식으로, 르장드르 변환을 해보자.
ex1. 1변수
ex2. 2변수 중에 2변수 모두 변환
ex3. 2변수 중에 1변수만
이정도면 충분 한듯. 같은 식에서 y를 변환해도 된다. 직접해보길.
또, 삼변수, 사변수 일때도, 변환변수 임의로 잡은다음, 르장드르 변환을 하는 것도 어렵지 않게 해볼 수 있다.
6. 라그랑지안에서 해밀토니안으로
라그랑지안은 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 벨로시티들의 컨피규레이션 스페이스에 살고 있다.
여기서, 제너럴라이즈드 코디네이트는 그대로 두고, 제너럴라이즈드 벨로시티만 변환을 하도록 한다.
그럼 라그랑지안의 르장드르 변환 (w.r.t. 제너럴라이즈드 벨로시티) 는 다음과 같다.
특히, 변환된 변수가 제너럴라이즈드 모멘텀의 정의 이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
해밀토니안의 변수들은 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀이므로, 헤밀토니안으로 운동을 기술하면, 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀에 의해 기술됨을 알 수 있다.
결과적으로, 헤밀토니안은 컨피규레이션 페이즈 스페이스에 살게 된다. 여기서, 제너럴라이즈드 코디네이트와 제너럴라이즈드 모멘텀을 서로 캐노니칼 컨주게이트라고 부른다. 또한, 르장드르 변환의 성질들을 그대로 가져오면... 제너럴라이즈드 벨로시티와 제너럴라이즈드 모멘텀은 서로 르장드르 컨주게이트이다.
간단히 도식화 하면 다음과 같다.
H 가 L 의 르장드르 변환인 관계로, 라그랑지 운동방정식도 모두 변환되어, 해밀턴's equations 이 된다.
7. 내부에너지/엔탈피 에서 헬름홀츠/깁스 프리에너지로
내부에너지와 엔탈피의 변화는 각각 dU = T dS - p dV , dH = T dS + V dp 로, U = U ( S , V ) , H = H ( S , p ) 이다.
그런데 실제적으로, 엔트로피 S 는 컨트롤하는게 쉽지 않으므로, 르장드르 변환을 통해, S 를 다른 변수로 바꾼다.
참고로, 이때, 르장드르 변환의 - 사인 컨벤션을 쓴다.
이것이 헬름홀츠 프리에너지와 깁스 프리에너지의 정의이다.
각각 르장드르 변환을 통해, S 에서 ∂ U / ∂S = T 로, S 에서 ∂ H / ∂S = T 로 변수가 변환되었다.
진짜로, (S, V ) , ( S, p ) 에서 (T,V) 와 (T, p) 로 변수가 바뀌었는지를 확인하면서 글을 마무리 짓도록 하겠다.