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[복소변수함수] Single Residue Method ( as the sum of all finitely many residues ) f(z)의 싱귤러 포인츠가 유한개이고, 컨투어가 그것들을 모두 감싸고 있을때, 레지두 정리는 각각의 싱귤러 포인트에서 레지두를 구할것을 요구한다. 하지만, f(z)를 약간 변형해서, 레지두 한개로 적분을 계산하는 방법이 있다. 싱귤러 포인트가 유한개이므로, 그것을 감싼 컨투어 C 는 바운디드 되어있고, 따라서, 원점에서 충분한 반경 r 에 의해 C 를 포함하는 원 Cr 을 생각할 수 있다. 그러면, 코시-구르사 정리에 의해, C 에 대한 적분이나, Cr 에 대한 적분이나 같다. f(z) 가 , r < |z| < ∞ 에서 어낼러틱하므로, 그것을 수렴영역으로 하는 중심 0 의 로렌트 시리즈가 존재한다. 그리고 항별적분하면 다음과 같이 된다. 그런데 살아남은 -1 차항의 계수는 0 에서의 레지두가 아니다. 우.. 공감수 1 댓글수 5 2009. 8. 1.
[복소변수함수] Zeros & Poles ( 영점과 극점 ) 제로(zero) 는 복소함수를 0 으로 만드는 점들을 말한다. 번역은 영점이라고 하는듯. 폴(pole) 은 극점이라고 하고... 아무튼, 제로에도 오더를 주는데, 대충 중복도의 느낌으로... ( z - z0 ) 이런 때의 제로 z0 를 오더를 1 이라고 한다면, ( z - z0 )m 으로 m 번 중복된 제로 z0 를 오더 m 으로 생각하는 식이다. 같은 맥락인데, 함수가 어낼러틱해서 미분이 가능할때, 제로 오브 오더 m 을 다음과 같이 정의한다. 오더가 1 일때, 심플 제로 라는 표현을 쓰기도 하는데.. 잘 쓰지는 않는듯. 폴 오브 오더 m 에서 어낼러틱 펑션 나누기 ( z - z0 )m 에 대한 정리에 대응하는 , 제로에 대한 정리가 있는데, 어낼러틱 펑션 곱하기 ( z - z0 )m 으로 쓰는 방법이.. 공감수 1 댓글수 2 2009. 7. 31.
[복소변수함수] Residues at Poles 레지두에 대한 이야기를 더 전개하기 위해서, 우리는 isolated 싱귤러 포인트를 분류하려고 한다. 특히, 로렌트 시리즈의 음의지수 파트의 형태를 가지고 분류를 하는데, 그 음의지수 파트를 간단히 principal part of f at z0 라고 부르자 ( when f 를 싱귤러 포인트 z0 를 중심으로 로렌트 전개했을때... ) 프린서펄 파트에 의한 isolated 싱귤러 포인트는 다음과 같이 세가지로 분류할 수 있다. ( 여기서는 그것들의 본질적인 성질을 다루는것은 아니다. 가령 pole 을 왜 pole 이라고 부르는지 따위에 대해서는 나중에 더 생각해보자. ) 1. pole 2. removable singular point 3. essential singular point 1. pole pole.. 공감수 0 댓글수 6 2009. 7. 30.
Cauchy's Residue Theorem ( 유수 정리 ) 코시 인테그랄 포뮬러를 다시 살펴보자. 코시 인테그랄 포뮬러의 적분식을 보면, f(z)/(z-w) 형태인데, 특히 f가 어낼러틱해서, 컨투어에 의해 감싸진 영역에서는 싱귤러 포인트는 w 하나만 갖게 된다. 컨투어 내부에 싱귤러 포인트가 한개가 아니라 몇 개가 있는 경우에는 path deformation 을 해주면 되는데, 각 싱귤러 포인트들을 하나씩만 감싸는 작은 컨투어들을 잡으면 ( 당연히 positively oriented 로 다가.. ) 결과적으로 각 컨투어들에 대해서 적분한것들의 합이 전체를 감싼 컨투어 인테그랄과 같게 된다 by Cauchy-Goursat Thm. 그러니까, 각각의 싱귤러 포인트를 하나씩만 감싼 컨투어 인테그랄을 코시 적분공식으로 구해서 더하면 되는데, 그럴려면 각 싱귤러 포인트.. 공감수 1 댓글수 5 2009. 7. 29.
[복소변수함수] Laurent Series (로렌트 급수, 로랑 급수) 캘큘러스에서 배웠던 테일러 시리즈는 복소에서도 마찬가지로 유효하다. 대신, 수렴반경이 진짜 "반경" 이 된다. 그리고, 오픈디스크 내에서 holomorphic 이기만 하면 충분하다. 보통, 테일러 정리 증명은 시리즈의 파샬섬과 함수사이의 차이가 0 으로 다가간다는 것을 보이는 데, 우리는 그러한 엄밀한 방법 말고, 느낌만 얻을수 있는 스토리로 가자. f(z) 가 중심이 원점이고, 반경 R 인 반시계방향으로 도는 컨투어 위와 안쪽에서 어낼러틱하다고 하자. 그러면 임의의 내부점 z 에 대해서 f(z) 는 코시 인테그랄 포뮬러에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. 이때 피적분식에서 1 / ( w-z ) 를 기하급수로 전개하자. w 는 C 위에 있고, z 는 안쪽에 있으므로 수렴조건을 만족한다. 이제 서메이션 기호.. 공감수 5 댓글수 6 2009. 7. 27.
Cauchy Integral Formula ( 코시 적분공식 ) C 가 어떤 simple closed contour in the positive sense 라고 하고, f 는 C 위 & 내부에서 어낼러틱 하다고 하자. 그러면, C 의 내부에 있는 모든점 w 에 대해 다음이 성립하고, Cauchy Integral Formula 라고 부른다. 이때, f 는 C 안쪽에서 어낼러틱하지만, 1/(z-w) 가 곱해졌으므로, 내부영역의 어떠한 w 도, f(z) / (z-w) 에 대한 singluar point 임에 유의하자. 그렇지 않다면 코시-구르사 정리에 의해 적분값은 0 이 될 것이다. 특히, 피적분함수 f/(z-w) 가, 컨투어의 내부에서 싱귤러 포인트를 오직 하나 w 만 가지고 있음에 유의한다. 아무튼, 증명은 다음을 보이는 것으로 진행된다. 증명의 스케치는 이러하다. .. 공감수 1 댓글수 15 2009. 7. 25.
FTC & Cauchy - Goursat theorem ( 코시 - 구르사 정리 ) f(z) 가 도메인 D 상에서 연속일때, 다음은 모두 동치이다. 이런걸 보통 줄여서 TFAE 라고 쓰는데, The Following Are Equivalent . 라는 뜻. 일전에 대수 수업때 선생님께서 , following은 복수취급이고 그래서 are 를 써야된다 라고 말씀하신 적이있는데, 이것은 following 자체가 복수이기 때문이 아니라, 뒤따라 나오는 것들이 복수이므로 지칭하는 바가 복수라서 복수취급되는 것이다. 가령 "다음(한가지 사항일때)은 참이다" 라고 할때는 The following is true. 라고 쓴다. 아무튼... [TFAE] -------------------------------------------------------------- 1) f(z) has an antider.. 공감수 3 댓글수 17 2009. 7. 24.
Contour Integral 복소변수함수를 왜 하는가 에 대한 실용주의적 대답은 적분을 위해서? 라고 해도 과언이 아닐정도로, 복소함수의 이론은 적분에 있어서 강력한 도구를 제공한다. 그것이 진정 강력한 이유는 복소수가 전혀 등장하지 않는 실적분의 문제를 해결하는데 획기적인 방법을 제시한다는데에 있다. 가령, 아래와 같이 간단해 보이는 적분도, 실적분 테크닉만 가지고 풀어보면 드럽게 어렵다. ( 한번 도전해보는 것도 좋다. ) 앞으로 메인으로 다루게 될 테마는 칸투어(contour) 인테그레이션과 레지두(residue) 캘큘러스이다. 그전에, 전혀 새로울게 없지만 complex-valued 의 적분부터 시작하는게 순서다. Complex Variable Functions 가 복소수에서 복소수로 가는 함수임에 반해, Complex-va.. 공감수 3 댓글수 10 2009. 7. 22.
[복수변수함수] 초등함수(Elementary Functions) 복소지수를 정의할때 이미 지수함수와 로그함수는 정의했으므로, 얘네들은 간단히 미분만 살펴보자. 어떤 멀티벨류드 로그펑션의 임의의 브랜치를 잡아서 싱글벨류드로 만들었다고 하고 미분을 해보자. 따라서 브랜치를 어떻게 선택하던간에, 실수때 하던것처럼 로그의 미분을 하면된다. 지수함수도 미분해보자. 밑이 다른경우에, 밑을 e 로 바꾸고 지수에 로그를 올려서 정의했으므로, 그대로 하면되고, 해석때 합성함수의 미분을 임의의 메트릭 스페이스에서 증명했었으므로 그대로 쓰면 다음과 같이 된다. ( 메트릭 없이, 다른 방식으로 증명해도 마찬가지 ) Power Rule 을 살펴보자. 마지막 줄에, 지수 c 하고 지수 -1 을 지수법칙을 써서 붙여썼는데, 이것은 -1 이 정수이므로 가능하다. 이제 삼각함수(trigonomet.. 공감수 0 댓글수 4 2009. 7. 22.
[복소변수함수] 복소수 지수 ( Complex Exponents ) 수체계의 확장은 방정식과 결부시켜 이해할수 있다. 방정식 x + a = b 의 처리는 음수에 대한 요구를 발생시키고, a x + b = c 의 처리는 유리수로의 확장을 요구한다. 방정식 x² + 1 = 3 따위로 부터, 두수의 비로 나타낼수 없는 수 까지 수의 개념이 확대되었고, 그것의 실존성을 기하학이 제공해주었다는 것이 이채롭다. 이로서 실수체가 완공이 되고, 이전에 존재하던 개념들을 실수체까지 확장하는 것은 대중적으로 꽤 성공을 거둔다. 반면, x² + 3 = 1 따위는 "해가 없다" 정도로 충분했는데, 그것의 "해없음"에 어떤 의미를 부여하려고 해도, 기하학이 무리수 개념을 서포트해주었던 것과 같은 그러한 빽이 없다는 점이 오랜기간 그러한 행위를 한낱 실없는 장난 쯤으로 여기게 만들었다. 아무튼 .. 공감수 16 댓글수 12 2009. 7. 21.
복소평면 컴플렉스 플레인과 유클리디언 플레인의 차이를 통해 컴플렉스 플레인이 뭔지를 살펴보자. 메트릭 스페이스로만 보자면 컴플렉스 플레인이나 유클리디언 R² 플레인이나 똑같다. metric인 norm 도 같은걸 쓴다. algebraic structure 로서 살펴보면, 우선 addition 도 같은 걸 쓴다. 즉, (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) 그러니까 이상태에서 VS over R 을 구성하면 R² 나 C 나 완전하게 똑같은 VS 이다. 결국, 차이는 복소수 곱셈뿐이다. 그러니까 R² 에 (a,b) (c,d) = ( ac - bd , ad + bc ) 라는 곱셈을 추가한 algebraic structure 가 복소평면이라고 할수있다. 복소수의 곱셈을 위처럼 먼저 정의하고, 허수단위 i 를 ( 0,.. 공감수 1 댓글수 3 2008. 5. 7.

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